资源描述
1 证明:都是的倍数。
存在个整数使
又是任意个整数
即是的整数
2 证:
从而可知
3 证: 不全为
在整数集合中存在正整数,因而
有形如的最小整数
,由带余除法有
则,由是中的最小整数知
下证第二题
(为任意整数)
又有
故
4 证:作序列则必在此序列的某两项之间
即存在一个整数,使成立
当为偶数时,若则令,则有
若 则令,则同样有
当为奇数时,若则令,则有
若 ,则令
则同样有
综上 存在性得证 下证唯一性
当为奇数时,设则
而 矛盾 故
当为偶数时,不唯一,举例如下:此时为整数
5.证:令此和数为S,根据此和数的结构特点,我们可构造一个整数M,使MS不是整数,从而证明S不是整数
(1) 令S=,取M=这里k是使最大整数,p是不大于n的最大奇数。则在1,2,3,┄,n中必存在一个,所以
MS=
由M=知,必为整数,显然不是整数,
MS不是整数,从而S不是整数
(2) 令M=则 SM=,
由M=知,而
不为整数
SM不为整数,从而也不是整数
1. 证:设是a,b的任一公因数,|a,|b
由带余除法
。
|, |,┄, |,
即是的因数。
反过来|且|,若则,所以的因数都是的公因数,从而的公因数与的因数相同。
2. 见本书P2,P3第3题证明。
3. 有§1习题4知:使。,
,使如此类推知:
且
而b是一个有限数,使
,存在
其求法为
4。证:由P3§1习题4知在(1)式中有
,而
, ,即
1,证:必要性。若,则由推论1.1知存在两个整数s,t满足:,
充分性。若存在整数s,t使as+bt=1,则a,b不全为0。
又因为,所以 即。又,
2.证:设,则
又设则
。反之若,则,。
从而,即=
3.证:设(1)的任一有理根为,。则
(2)
由,
所以q整除上式的右端,所以,又,所以;
又由(2)有
因为p整除上式的右端,所以 ,,所以
故(1)的有理根为,且。
假设为有理数,,次方程为整系数方程,则由上述结论,可知其有有理根只能是
,这与为其有理根矛盾。故为无理数。
另证,设为有理数=,则
但由知,矛盾,故不是有理数。
1. 见书后。
2. 解:因为8|848,所以,
又8|856,所以8|B,,
又4|32,所以4|C,
又9|(3+2+3+4+3+3),所以9|D,,
又9|(3+5+9+3+7),所以9|E,
又
所以;同理有。
3.证:,
,.
,又显然
,同理可得,
推广.设,,
(其中为质数为任意n个正整数)
则
4.证:由,,有
从而有.
5.证:(反证法)设为奇数)则
,为合数矛盾,故n一定为2的方幂.
2.(i)证::设.则由性质II知,所以,
所以,所以,又在m与m+1之间只有唯一整数m,所以.
(ii}[证一]设,则
①当时, ;
②当时,;
[证二]令,
是以为周期的函数。
又当,即。
[评注]:[证一]充分体现了 常规方法的特点,而[证二]则表现了较高的技巧。
3.(i)证:由高斯函数[x]的定义有。则
当
当
故
(ii)证:设,则有
下面分两个区间讨论:
①若,则,所以,所以
②若,则,所以。所以
2.3
1 证:由知 及都是单位圆周上的有理点。
另一方面,单位圆周上的有理点可表示为,于是得,又的一切非整数解都可表示为:,于是第一象限中上的有理点可表示为,由于单位圆周上的有理点的对称性,放上的任意有理点可表为 及,其中a,b不全为0,号可任意取。
3.2
1.证:由的取值可得个数,若,则,又,。
又,又,。
为同一数,矛盾,故原命题成立。
3.(i)的引理
对任何正整数a,可以唯一的表示成的形式,其中。
证:(i)
设
由于取值故取值为0,1,2。这样的数有2H+1个,其中最小的 数为0,最大的数为2H,所以A+H可以表示下列各数:0,1,2,,上列数中减去H得,则A可表示上列各数,且表示唯一。
(ii)事实上,只需这样的(n+1)个砝码即可。由(I)知 1到H中任一斤有且仅有一种表示法,当时,将砝码放在重物盘中;当时,不放砝码;当时,将砝码放在砝码盘中。如此即可。
3.3
1. 证:由定理1知所在的模m的剩余系是与模m互质的。又已知 两两对模m不同余,所以这 个整数分别属于不同的模m的剩余类。再由定理1知结论成立。
2 .证:设模m的一个简化剩余系是,即,由于,当通过m的简化剩余系时,由定理3知,也通过模m的剩余系。故对,存在使,
.
3.(i)证:由定理5知:p为质数时,。
所以即证。
(ii)证:设整数m的所有正约数是,考察m的完全剩余系 (1)
对(1)中任一数,设(a, m)=d,则,即(1)中任一数与的最大公约数是中的数。反之,对每一个(1)中必有一数a使(例如),而且对(1)中任一数不可能出现,于是,将(1)中的数按其与m的最大公约数的情形分类:(1)中与m的最大公约数是的数有个;(1)中与m的最大公约数是的数有个;┄,(1)中与m的最大公约数是的数有个;所以,即,注意是m的约数,所以
2. 4
1. 解:,即,因为,由欧拉定理有,所以
所以从今天起再过天是星期五.
3.(i)证:对用数学归纳法.①当a=2时,证明, ,对有为整数,
又因为,所以。,所以可设为整数。。
所以。
②假设命题对成立,即,则对于有
所以命题对也成立。综合①,②可知对一切自然数a,命题成立。
(ii)证:。
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