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逻辑代数的基本知识
1. 逻辑代数的基本定律
根据逻辑变量和逻辑运算的基本定义，可得出逻辑代数的基本定律。
①交换律： A+B = B+A， A • B = B • A；
②结合律： A+(B+C) = (A+B)+ C， A • (B • C) = (A • B) • C；
③分配律: A•(B+C) = A • B+A • C， A+B • C=(A+B) • (A+C)；
④互非定律: A+A = l，A • A = 0 ；，；
⑤重叠定律（同一定律）：A • A=A， A+A=A；
⑥反演定律(摩根定律）：A • B=A+B9 A+B=A • B ，；
⑦还原定律:
2. 逻辑代数的基本运算规则
（1）代入规则
在逻辑函数表达式中凡是出现某变量的地方都用另一个逻辑函数代替，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。例如，已知A+AB=A，将等式中所有出现A的地方都以函数(C+D)代替则等式仍然成立，即（C+D) + (C+D)B = C+D。
（2）反演规则
对于任意的Y逻辑式，若将其中所有的“ • ”换成“ + ”换成“ • ”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原函数Y的反函数，运用它可以简便地求出一个函数的反函数。
运用反演规则时应注意两点：
① 要注意运算符号的优先顺序，不应改变原式的运算顺序。
例：应写为
证：
② 不属于单变量上的非号应保留不变。
　　例：　　则
　　　　　　则　
（3）对偶规则
对于任何一个逻辑函数，如果将其表达式Y中所有的算符“ • ”换成“ + ”换成“ •”，常量 “0”换成换成“0”，而变量保持不变，则得出的逻辑函数式就是Y的对偶式，记为Y’。例如：若Y=A •(B + C)，则Y'=A + B • C；若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。
使用对偶规则时，同样要注意运算符号的先后顺序和不是一个变量上的“非”号应保持不变。
3. 逻辑代数的表示方法
逻辑函数可以用逻辑真值表、逻辑表达式、逻辑图、卡诺图、波形图等方法来表示。
（1）真值表
以表格的形式反映输入逻辑变量的取值组合与函数值之间的对应关系。它的特点是直观、明了，特别是在把一个实际逻辑问题抽象为数学问题时，使用真值表最为方便。因此，在进行数字电路的逻辑设计时，首先就是根据设计要求，列出真值表。
（2）函数表达式
用与、或、非等逻辑运算表示逻辑函数中各个变量之间逻辑关系的代数式，叫做函数表达式或逻辑表达式。这种表示方法书写简洁、方便，其主要优点是便于利用逻辑代数的公式和定理进行 运算、变换。它的缺点是不如真值表直观，尤其是在逻辑函数比较复杂时，难以直接从变量取值看 出函数的值。
（3）逻辑图
逻辑图是指用逻辑图形符号来表示逻辑函数与变量之间的逻辑关系。一般图形符号都有相 应的电路器件，所以逻辑图也叫逻辑电路图，它比较接近工程实际。
（4）卡诺图
卡诺图实际上是真值表的另一种表示形式，我们将在下面逻辑函数的化简部分中详细介绍。
（5）波形图
波形图是由输入变量的所有可能取值组合的高、低电平及其对应的输出函数值的高、低电平所构成的图形。
【例5.1】已知函数的逻辑表达式为Y= B + C。要求：
（1)列出相应的真值表；
（2)已知输入波形，画出输出波形；
（3)画出逻辑图。
【解】
①将A，B，C的所有组合代入逻辑表达式计算，得到真值表如表5-6所示。
②根据真值表，画出例5.1的输出波形，如图5-13所示。
根据逻辑表达式，画出逻辑图如图5-14所示。

图5-13 例5.1 波形图 图5-14 逻辑图
表5-6 例5.1真值表

4.逻辑代数的化简
同一逻辑函数可以写成不同的逻辑式，而这些逻辑式的繁简程度又相差甚远。逻辑形式越简单，它所表示的逻辑关系就越明显，同时也有利于用最少的电子器件实现这个逻辑关系。因此，经常需要通过化简的手段来找出逻辑函数的最简形式。
（1）逻辑函数的最简形式
化简的形式一般称为与或逻辑式，最简与或逻辑式的标准如下：
①逻辑函数式中乘积项（与项）的个数最少；
②每个乘积项中的变量数最少。
（2）逻辑函数的代数化简法
1）并项法
利用公式，将两项合并为一项，消去一个变量。
例如：

2) 吸收法
利用公式A+AB=A及AB+AC+BC=AB+AC，消去多余乘积项。
例如：

3) 配项法
利用公式A+A=1，给某个乘积项配项，以达到进一步简化。
例1.

例2.

5.卡诺图化简法
（1）最小项
1）最小项的定义
对于N个变量，如果P是一个含有N个因子的乘积项，而在P中每一个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，那么就称P是N个变量的一个最小项。
因为每个变量都有以原变量和反变量两种可能的形式出现，所以N个变量有 个最小项。
2） 最小项的性质
P24表-16列出了三个变量的全部最小项真值表。由表可以看出最小项具有下列性质：
性质1：每个最小项仅有一组变量的取值会使它的值为“1”，而其他变量取值都使它的值为“0”。
性质2：任意两个不同的最小项的乘积恒为“0”。
性质3：全部最小项之和恒为“1”。
由函数的真值可以很容易地写出函数的标准与或式，此外，利用逻辑代数的定律、公式，可以将任何逻辑函数式展开或变换成标准与或式。
例：

例：
3）最小项编号及表达式
为便于表示，要对最小项进行编号。编号的方法是：把与最小项对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其对应的十进制数，就是该最小项的编号。
在标准与或式中，常用最小项的编号来表示最小项。如：
常写成或

（2）逻辑函数的卡诺图表达法
1）逻辑变量卡诺图
卡诺图是指按相邻性原则排列的最小项的方格图，也叫最小项方格图，它将最小项按一定的规则排列成方格阵列。根据变量的数目N，则应有个小方格，每个小方格代表一个最小项。
卡诺图中将N个变量分成行变量和列变量两组，行变量和列变量的取值，决定了小方格的编号，也即最小项的编号。行、列变量的取值顺序一定要按格雷码排列。P26列出了二变量、三变量和四变量的卡诺图。
卡诺图的特点是形象地表达了各个最小项之间在逻辑上的相邻性。图中任何几何位置相邻的最小项，在逻辑上也是相邻的。
所谓逻辑相邻，是指两个最小项只有一个是互补的，而其余的变量都相同，
所谓几何相邻，不仅包括卡诺图中相接小方格的相邻，方格间还具有对称相邻性。对称相邻性是指以方格阵列的水平或垂直中心线为对称轴，彼此对称的小方格间也是相邻的。
卡诺图的主要缺点是随着变量数目的增加，图形迅速复杂化，当逻辑变量在五个以上时，很少使用卡诺图。
2） 逻辑函数卡诺图
用卡诺图表示逻辑函数就是将函数真值表或表达式等的值填入卡诺图中。
可根据真值表或标准与或式画卡诺图，也可根据一般逻辑式画卡诺图。若已知的是一般的逻辑函数表达式，则首先将函数表达式变换成与或表达式，然后利用直接观察法填卡诺图。观察法的原理是：在逻辑函数与或表达式中，凡是乘积项，只要有一个变量因子为0时，该乘积项为0；只有乘积项所有因子都为1时，该乘积项为1。如果乘积项没有包含全部变量，无论所缺变量为1或者为0，只要乘积项现有变量满足乘积项为1的条件，该乘积项即为1。
例1：
可写成
例2：
（3）逻辑函数的卡诺图化简法
1）合并最小项的规律
根据公式AB+AB=A或知，两逻辑上相邻的最小项之和或以合并成一项，并消去一个变量；四个相邻最小项可合并为一项，并消去两个变量。卡诺图上能够合并的相邻最小项必须是2的整次幂。
2） 用卡诺图化简逻辑函数
用卡诺图化简逻辑函数一般可分为三步进行：首先是画出函数的卡诺图；然后是圈1合并最小项；最后根据方格圈写出最简与或式。
在圈1合并最小项时应注意以下几个问题：圈数尽可能少；圈尽可能大；卡诺图中所有“1”都要被圈，且每个“1”可以多次被圈；每个圈中至少要有一个“1”只圈1次。一般来说，合并最小项圈1的顺序是先圈没有相邻项的1格，再圈两格组、四格组、八格组……。
两点说明
：
① 在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。

例：
1
② 在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。如图1

6.具有约束条件的逻辑函数化简
（1）约束、约束条件、约束项
在实际的逻辑问题中，决定某一逻辑函数的各个变量之间，往往具有一定的制约关系。这种制约关系称为约束。
例如，设在十字路口的交通信号灯，绿灯亮表示可通行，黄灯亮表示车辆停，红灯亮表示不通行。如果用逻辑变量A、B、C分别代表绿、黄、红灯，并设灯亮为1，灯灭为0；用Y代表是否停车，设停车为1 ，通行为0 。则Y的状态是由A、B、C产状态决定的，即Y是A、B、C是函数。
在这一函数关系中，三个变量之间存在着严格的制约关系。因为通常不允许两种以上的灯同时亮。如果用逻辑表达式表示上述约束关系，有：
AB=0 BC=0 AC=0 或 AB+BC+AC=0
通常把反映约束关系的这个值恒等于0的条件等式称为约束条件。
将等式展开成最小项表达式，则有

由最小项性质可知，只有对应的变量取值组合出现时，其值才为1。约束条件中包含的最小项的值恒为0，不能为1，所以对应的变量取值组合不会出现。这种不会出现的变量取值组合所对应的最小项称为约束项。
约束项所对应的函数值，一般用Х表示。它表示约束项对应的变量取值组合不会出现，而函数值可以认为是任意的。
约束项可写为：
（2）具有约束的逻辑函数的化简
约束项所对应的函数值，既或看作0，也可看作1。当把某约束项看作0时，表示逻辑函数中就不包括该约束项，如果是看作1，则说明函数式中包含了该约束项，但因其所对应的变量取值组合不会出现，也就是说加上该项等于加0，函数值不会受影响。
例：