关于两类超复数矩阵的若干性质.pdf

第 44 卷第 3 期2023 年 6 月喀什大学学报Journal of Kashi UniversityVol.44 No.3Jun.2023DOI：10.13933/ki.2096-2134.2023.03.001关于两类超复数矩阵的若干性质邓勇（喀什大学 数学与统计学院，新疆 喀什 844000）摘要：借助 22复矩阵表示，探讨复四元数和复分裂四元数这两类超复数矩阵的基本性质，给出了一种求复四元数矩阵和复分裂四元数矩阵行列式的方法，并研究了复四元数和复分裂四元数的一些特殊矩阵.关键词：复四元数矩阵；复分裂四元数矩阵；复矩阵表示中图分类号：O151.21文献标志码：A文章编号：2096-2134（2023）03-0001-050引言实四元数集是复数域C的扩展系统.1843年，爱尔兰数学家 Hamilton 提出了实四元数的概念，并将它表示为H=a=m=03amem|am R,m=0,1,2,3，其中：e0,e1,e2,e3表示R4的基元，并且满足e21=e22=e23=e1e2e3=-1，e1e2=-e2e1=e3,e2e3=-e3e2=e1,e3e1=-e1e3=e2.因e2e3=e1 e3e2=-e1，故实四元数乘法非交换.此外，任何实四元数均可用2 2复矩阵表示1.复 四 元 数q也 称 双 四 元 数，它 可 写 成q=m=03amem(a0,a1,a2,a3 C)的 形 式，其 中 基 元e0,e1,e2,e3的乘法规则与实四元数基元的乘法规则相同.文献2给出了用于表示对应复四元数基元的2 2复矩阵表示.1849 年，James Cockle 引入了实分裂四元数集，并将它表示为HS=p=m=03bmem|bm R,m=0,1,2,3的 形 式，其 中:e0=1，e21=-1，e22=e23=1，e1e2e3=1.实分裂四元数乘法也非交换3.此外，任何实分裂四元数均可用2 2复矩阵表示，其基元的乘法规则与实四元数乘法规则相同4.复分裂四元数是指形如p=m=03bmem(b0,b1,b2,b3 C)的向量，其基元e0,e1,e2,e3具有性质:e21=-1,e22=e23=e1e2e3=1,e1e2=-e2e1=e3,e2e3=-e3e2=-e1,e3e1=-e1e3=e2.有关复分裂四元数的更多细节可见文献5.1预备知识设a=m=03amem H(am R,m=0,1,2,3)是实四元数，称Sa=a0e0和Va=m=03amem分别为实四元数a的标量部分和向量部分.于是，a可写成a=Sa+Va的形式.对a=m=03amem H，定义a的共轭为a =Sa-Va，a的范数为a=a a=aa =a20+a21+a22+a236.复四元数q是指形如q=m=03Amem(Am C,m=0,1,2,3)的向量，其基元 e0,e1,e2,e3的乘法规则与实四元数基元的乘法规则相同.此外，复四元数还可写成q=m=03(am+ibm)em的 形 式，其 中：am,bm R(m=0,1,2,3)；i表示虚数单位且与e0,e1,e2,e3可交换.对q=m=03Amem(Am C,m=0,1,2,3)，称Sq=A0e0和Vq=m=03Amem分别为复四元数q的标量部分和向量部分.于是，q可写成q=Sq+Vq的形式，而q的共轭、复共轭和 Hermitian 共轭分别定义收稿日期：2022-12-10基金项目：国家自然科学基金资助项目（11201411）.作者简介：邓勇（1967-），男，教授，主要从事非交换代数上的矩阵理论研究.喀什大学学报第 44 卷为7：q =Sq-Vq(q=q q=qq =m=03|A2m|)，qc=m=03Amem，(q)c=A0e0-A1e1-A2e2-A3e3.对q=m=03(am+ibm)em，其 中am,bm R(m=0,1,2,3)，下列等式qcq=a2+b2+2i(Va Vb)，qqc=a2+b2-2i(Va Vb)，(q)cq=a2+b2+2i(SaVb-SbVa-Va Vb)，q(q)c=a2+b2+2i(SaVb-SbVa+Va Vb)成立，其中：a=m=03amem(am R),b=m=03bmem(bm R)是实四元数，符号表示R3中的向量积.72复四元数矩阵复四元数矩阵Q是指形如Q=m=03QmEm=Q0E0+Q1E1+Q2E2+Q3E3的矩阵，其中Q0,Q1,Q2,Q3 C.复四元数矩阵中的基元 E0,E1,E2,E3是满足乘法规则E21=E22=E23=-E0(2.1)和E1E2=-E2E1=E3,E2E3=-E3E2=E1,E3E1=-E1E3=E2(2.2)的2 2复矩阵8：E0=1001,E1=i00-i,E2=0 1-1 0,E3=0ii0.由(2.1)和(2.2)可 以 看 出，2 2复 矩 阵E0,E1,E2,E3的乘法规则与基元 E0,E1,E2,E3的乘法规则一致.因此，复四元数的向量形式和矩阵形式之间存在同构关系.用HC表示复四元数矩阵代数.于是，它可以用2 2复矩阵代数表示为HC=Q=m=03QmEm=Q0+iQ1Q2+iQ3-Q2+iQ3Q0-iQ1|QmC,m=0,1,2,3.对Q=m=03QmEm HC，称SQ=Q0E0和ImQ=m=13QmEm分别是Q的标量矩阵部分和向量矩阵部分.复四元数矩阵Q的共轭、复共轭和全共轭分别用Q，QC和(Q)C表示，即Q=Q0E0-Q1E1-Q2E2-Q3E3=SQ-ImQ，(2.3)QC=m=03QmEm=Q0E0-Q1E1+Q2E2-Q3E3，(2.4)(Q)C=-(QC)=Q0E0-m=13QmEm=Q0E0+Q1E1-Q2E2+Q3E3.此外，对Q=m=03QmEm HC，分别用QT和AdjQ表示Q的转置矩阵和伴随矩阵，则QT=Q0E0+Q1E1-Q2E2+Q3E3，AdjQ=Q0E0-Q1E1-Q2E2-Q3E3.由此可得AdjQ=Q，QC=(Q)T.复四元数矩阵Q=m=03QmEm=Q0+iQ1Q2+iQ3-Q2+iQ3Q0-iQ1=q11q12-q 12q 11的范数定义为Q=|q11|2+|q12|2，其中：q11=Q0+iQ1，q12=Q2+iQ3.定义2.1复四元数矩阵Q HC的行列式定义为detQ=m=03Q2mdetEm.(2.5)若利用复四元数矩阵基的行列式结果detEm=1(m=0,1,2,3)，则(2.5)式可以写为detQ=Q20+Q21+Q22+Q23=m=03Q2m.(2.6)定理2.1对Q,P HC和 C，下列性质成立：（1）detQ=det(Q)=det(QC)=det(QT)；（2）det(Q)=2detQ；（3）det(QP)=detQdetP.证明（1）设Q=m=03QmEm HC.利用复四元数矩阵行列式的定义(2.6)式，很容易得出detQ=det(Q)=det(QC)=det(QT)=m=03Q2m.（2）对 C，因为Q=m=03(Qm)Em，所以det(Q)=m=03(2Q2m)=2(m=03Q2m)=2detQ2第 3 期邓勇：关于两类超复数矩阵的若干性质.（3）设Q=m=03QmEm和P=m=03PmEm是两个复四元数矩阵，通过直接计算可得QP=(Q0P0-Q1P1-Q2P2-Q3P3)E0+(Q0P1+Q1P0+Q2P3-Q3P2)E1+(Q0P2+Q2P0-Q1P3+Q3P1)E2+(Q0P3+Q3P0+Q1P2-Q2P1)E3,于是，由(2.6)式可得det(QP)=(Q0P0-Q1P1-Q2P2-Q3P3)2+(Q0P1+Q1P0+Q2P3-Q3P2)2+(Q0P2+Q2P0-Q1P3+Q3P1)2+(Q0P3+Q3P0+Q1P2-Q2P1)2=(m=03Q2m)(m=03P2m).由（1）可知，detQ=m=03Q2m，detP=m=03P2m.因此，det(QP)=detQdetP.此外，利用复四元数矩阵的复共轭和转置，可以获得复四元数矩阵的行列式.事实上，因为QTQC=QCQT=(Q20+Q21+Q22+Q23)E0，于是，由(2.6)式可得det(QTQC)=det(QCQT)=(Q20+Q21+Q22+Q23)2.再由定理2.1的（3）和（1），可得det(QTQC)=detQTdetQC=(detQ)2，所以有(detQ)2=det(QTQC)=det(QCQT).若detQ 0，则复四元数矩阵的逆矩阵定义为Q-1=1detQQ.(2.7)由(2.3)、(2.6)和(2.7)式，可将复四元数矩阵的逆矩阵写为Q-1=Q0E0-Q1E1-Q2E2-Q3E3Q20+Q21+Q22+Q23.(2.8)例1设Q=E0+iE1+kE3 HC，即Q=0jj2.于是，Q-1=E0-iE1-kE3=2-j-j0.定理 2.2对Q=m=03QmEm HC和c C，下列性质成立:（1）E1c=cE1,E2c=cE2,E3c=cE3；（2）Q2=S2Q-det(ImQ)E0+2SQImQ；（3）Q可表为Q=Z1+Z2i的形式，其中Z1=Q0Q2-Q2Q0和Z2=Q1Q3Q3-Q1 M2(C).证明很容易验证（1）和（3）成立.这里只证明（2）.由于Q2=QQ=(Q20-Q21-Q22-Q23)E0+2Q0(Q1E1+Q2E2+Q3E3)，而SQ=Q0E0，ImQ=Q1E1+Q2E2+Q3E3，det(ImQ)=Q21+Q22+Q23，所以Q2=S2Q-det(ImQ)E0+2SQImQ.定理2.3对Q,P HC，下列性质成立:（1）Q=(Q)TC；（2）QT=-(QC)；（3）(QP)C=QCPC；（4）若Q，P均可逆，则(QP)-1=P-1Q-1；（5）若Q可 逆，则(QC)-1=(Q-1)C，(Q)-1=-(Q-1)，(QT)-1=(Q-1)T.证明这里，只证明（2）、（4）和（5），其它结果类似可证.设Q=m=03QmEm HC,P=m=03PmEm.（2）因为QC=Q0E0-Q1E1+Q2E2-Q3E3，由(2.3)可得-(QC)=Q0E0+Q1E1-Q2E2+Q3E3.又QT=Q0E0+Q1E1-Q2E2+Q3E3.所以，QT=-(QC).（4）设Q和P均可逆.为简单起见，令QP=AE0+BE1+CE2+DE3，其中A=Q0P0-Q1P1-Q2P2-Q3P3,B=Q0P1+Q1P0+Q2P3-Q3P2,C=Q0P2-Q1P3+Q2P0+Q3P1,D=Q0P3+Q1P2-Q2P1+Q3P0.由(2.6)式，det(QP)=A2+B2+C2+D2，其中A2+B2+C2+D2=m=03Q2mm=03P2m.再由(2.8)式可求出(QP)-1=-(QP)det(QP)=AE0-BE1-CE2-DE3A2+B2+C2+D2.另一方面，由(2.8)式，P和Q的逆矩阵可分别可写为P-1=P0E0-P1E1-P2E2-P3E3P20+P21+P22+P23和3喀什大学学报第 44 卷Q-1=Q0E0-Q1E1-Q2E2-Q3E3Q20+Q21+Q22+Q23，则它们的乘积为P-1Q-1=AE0-BE1-CE2-DE3A2+B2+C2+D2，由此可得(QP)-1=P-1Q-1.（5）设Q可逆.因为QC=Q0E0-Q1E1+Q2E2-Q3E3，所以由(2.8)式可得(QC)-1=Q0E0+Q1E1-Q2E2+Q3E3Q20+Q21+Q22+Q23；再由(2.8)和(2.4)式可得(Q-1)C=Q0E0+Q1E1-Q2E2+Q3E3Q20+Q21+Q22+Q23.由此可得(QC)-1=(Q-1)C.同样，(Q)-1=-(Q-1)和(QT)-1=(Q-1)T可类似验证，这里从略.推论设Q,P HC.一般地，(QP)C PCQC；(QP)-1 Q-1P-1；Q(Q)C(Q)CQ.定义2.2设Q=Q0E0+Q1E1+Q2E2+Q3E3HC.（1）若Q的非对角元全为0，则称它为对角矩阵且具有Q=Q0E0+Q1E1的形式；（2）若QT=Q，则称它为对称矩阵且具有Q=Q0E0+Q1E1+Q3E3的形式；（3）若QT=Q-1，则称它为正交矩阵且具有Q=Q0E0+Q2E2（detQ=1）的形式；（4）若(Q)T=Q，则称它为厄米特矩阵且有Q=Q0E0+Q2E2的形式；（5）若(Q)T=Q-1，则称它为酉矩阵且具有Q=Q0E0+Q1E1+Q3E3（detQ=1）的形式.3复分裂四元数矩阵复分裂四元数矩阵P的形式为P=m=03PmEm=P0E0+P1E1+P2E2+P3E3，其中：P0,P1,P2,P3 C；分裂四元数矩阵中的基元 E0,E1,E2,E3满足等式E21=-E0,E22=E23=E0,(3.1)E1E2=-E2E1=E3,E2E3=-E3E2=-E1,E3E1=-E1E3=E2，(3.2)并且它们是2 2复矩阵8E0=1 00 1,E1=i00-i,E2=0 11 0,E3=0i-i 0.由于E0,E1,E2,E3的乘法规则(3.1)式和(3.2)式与复分裂四元数的基元 E0,E1,E2,E3的乘法规则一致.因此，复分裂四元数的向量形式与矩阵形式之间存在一个同构关系.用符号HCS表示复分裂四元数矩阵代数.于是，HCS可用2 2复矩阵代数表示为HCS=P=m=03PmEm=P0+iP1P2+iP3P2-iP3P0-iP1|P0,P1,P2,P3 C.对P=m=03P0E0 HCS(Pm C)，称SP=P0E0和ImP=m=13PmEm分别为P的标量矩阵部分和向量矩阵部分；分别用符号P，PC，(P)C表示复分裂四元数矩阵P的共轭、复共轭和全共轭，并定义为P=P0E0-P1E1-P2E2-P3E3,(3.3)PC=P0E0+P1E1+P2E2+P3E3=P0E0-P1E1+P2E2-P3E3,(P)C=-(PC)=P0E0-P1E1-P2E2-P3E3=P0E0+P1E1-P2E2+P3E3.此外，对P=m=03PmEm HCS，分别用PT和AdjP表示P的转置矩阵和伴随矩阵，分别定义为PT=P0E0+P1E1+P2E2-P3E3，AdjP=P0E0-P1E1-P2E2-P3E3，显然，AdjP=P.复分裂四元数矩阵P=m=03PmEm=P0+iP1P2+iP3P2-iP3P0-iP1=p11p12p 12p 11的范数定义为P=|p11|2-|p12|2,其中:p11=P0+iP1，p12=P2+iP3.定义3.1复分裂四元数P HCS的行列式定义为detP=m=03P2mdetEm.(3.4)利用复分裂四元数基的行列式结果，(3.4)式可以写为detP=P20+P21-P22-P23.(3.5)定理3.1对P,Q HCS和 C，下列性质成立:（1）detP=det(P)=det(PC)=det(PT)；（2）det(P)=2detP；（3）det(PQ)=detPdetQ.证明（1）设P=m=03PmEm HCS.由(3.5)式可得detP=det(P)=det(PC)=det(PT)=P20+P21-P22-P23.（2）对 C和P=m=03PmEm HCS.因为P4第 3 期邓勇：关于两类超复数矩阵的若干性质=m=03(Pm)Em，所以det(P)=2P20+2P21-2P22-2P23=2(P20+P21-P22-P23)=2detP.（3）设P=m=03PmEm和Q=m=03QmEm是两个复分裂四元数矩阵.通过直接计算，可得PQ=(P0Q0-P1Q1+P2Q2+P3Q3)E0+(P0Q1+P1Q0-P2Q3+P3Q2)E1+(P0Q2+P2Q0-P1Q3+P3Q1)E2+(P0Q3+P3Q0+P1Q2-P2Q1)E3.由(3.5)式，PQ的行列式为det(PQ)=P20Q20+P20Q21+P21Q20+P21Q21+P22Q22+P22Q23+P23Q22+P23Q23-P20Q22-P20Q23-P21Q22-P21Q23-P22Q20-P22Q21-P23Q20-P23Q21.另 一 方 面，因 为detP=P20+P21-P22-P23，detQ=Q20+Q21-Q22-Q23，所以detPdetQ=P20Q20+P20Q21+P21Q20+P21Q21+P22Q22+P22Q23+P23Q22+P23Q23-P20Q22-P20Q23-P21Q22-P21Q23-P22Q20-P22Q21-P23Q20-P23Q21.由此可得det(PQ)=detPdetQ.此外，复分裂四元数矩阵的行列式也可由它的复共轭和全共轭来表示.事实上，因为PC(P)C=(P)CPC=(P20+P21-P22-P23)E0，并且由(3.5)式可以求出det(PC(P)C)=(P20+P21-P22-P23)2,因此，复分裂四元数矩阵的行列式可以写为(detP)2=det(PC(P)C).若detP 0，则复分裂四元数矩阵P的逆可定义为P-1=1detPP.(3.6)由(3.3)、(3.5)和(3.6)式，P-1可进一步写成P-1=P0E0-P1E1-P2E2-P3E3P20+P21-P22-P23.定理3.2对P=m=03PmEm HCS和c C，下列性质成立:（1）E1c=cE1,E2c=cE2,E3c=cE3；（2）P2=S2P-det(ImP)E0+2SPImP；（3）P可以唯一地表示成P=Z1+Z2i的形式，其中:Z1=P0P2P2P0和Z2=P1P3-P3-P1 M2(C).定理3.3对P,Q HCS.下列性质成立:（1）detP=P2；（2）若P可 逆，则(P)-1=-(P-1)，(PC)-1=(P-1)C，(P)T-1=-(P-1)T；（3）若P和Q均可逆，则(PQ)-1=Q-1P-1.例2设P=E0+E2+E3，Q=E0+E1.（1）(PQ)C=E0-E1+2E2E0-E1-2E2=QCPC；（2）P(P)C=E0-2E1+2E3E0+2E1+2E3=(P)CP.根据例2的结果，可以得出复分裂四元数矩阵的如下推论:推论3.1设P,Q HCS.一般地，有：（1）(PQ)C QCPC；（2）P(P)C(P)CP.定义3.2对P=m=03PmEm HCS.（1）若P的非对角元全为 0，则称它为对角矩阵且有P=P0E0+P1E1的形式；（2）若PT=P，则 称 它 为 对 称 矩 阵 且 有P=P0E0+P1E1+P2E2的形式；（3）若PT=P-1，则称它为正交矩阵且有P=P0E0+P3E3（detP=1）的形式；（4）若(P)T=P，则称它为厄米特矩阵且有P=P0E0+P3E3的形式；（5）若(P)T=P-1，则 称 它 为 酉 矩 阵 且 有P=P0E0+P1E1+P2E2（detP=1）的形式.4结语本文利用复四元数和复分裂四元数矩阵的22复矩阵表示，分别探讨了它们的主要代数性质，得到了一些重要结果.在此基础上，给出了计算复四元数和复分裂四元数矩阵的形式行列式的方法，并运用类似的方法研究了这两类超复数矩阵的形式行列式的性质、共轭积和特殊矩阵.值得注意的是，由于这两类四元数矩阵的基元不同，所以得到的结果也迥然不同.参考文献：1 李树海.Hamilton四元数代数的三种同构表示J.甘肃高师学报，2010，（2）:13-15.2 陈光.复四元数与狭义Lorentz群J.汕头大学学报(自然科学版)，1993，8（2）:45-51.3 zdemir M.The Roots of A Split Quaternion J.AppliedMathematics Letters，2009，22:258-63.4 Yasemin Alagoz，Kursat Hakan Oral，et al.Split QuaternionMatrices J.Miskolc Mathematical Notes，2012，13（2）:223-232.5 Erdogdu M，zdemir M.On Complex Split Quaternion Matrices J.Adv.Appl.Clifford Algebra.，2013，23（3）:625-（下转第32页）5喀什大学学报第 44 卷影响因素研究J.华东经济管理,2022,36（7）:1-9.11 李逢春.对外直接投资的母国产业升级效应来自中国省际面板的实证研究J.国际贸易问题,2012,（6）:124-134.Research on the Impact of Industrial Structure Upgradingon the Digital Economy Developmentin the Yangtze River Economic BeltJIANG Yan-ting，HAN Hui-xia（School of Mathematics and Finance,Chuzhou University,Chuzhou 239000,Anhui,China）Abstract:Digital economy is a rapidly developing new economic form，it is closely in contact with industrialdevelopment,it has important theoretical and practical significance to study the influence mechanism of indus-trial structure upgrading on the digital economy development.Firstly,this paper constructs a digital economydevelopment evaluation index system in the Yangtze River Economic Belt,measuring the digital economy de-velopment level in provinces and cities of the Yangtze River Economic Belt from 2013 to 2020 by principalcomponent analysis,Then,structuring a spatial econometric model to analyze the direct and spillover effect ofthe upgrading of the industrial structure on the development of the digital economy in the Yangtze River Eco-nomic Belt.The research conclusions are as follows:the digital economy development is quite different in theregion of the Yangtze River Economic Belt,the upgrading of the industrial structure has an important impact inpromoting the development of the digital economy,whether it is for the province or neighboring provinces andcities.Key words:digital economy;industrial structure upgrade;spatial econometric model;influence mechanism638.6 Ron Goldman.Understanding quaternions J.GraphicalModels，2011，73:21-49.7 Yongge Tian.Matrix Theory over the Complex QuaternionAlgebraJ/OL.Math.RA，v1 Sat，1 Apr 2000.https:/doi.org/10.48550/arXiv.math/0004005.8 武秀美，李诚举，等.分裂四元数环上的代数结构J.数学的实践与认识，2018，48（21）:297-301.Some Properties of Two Types of Hyper-Complex MatricesDENG Yong(College of Mathematics and Statistics，Kashi University，Kashi 844000，Xinjiang，China)Abstract:The basic properties of complex quaternion and complex split quaternion are discussed by 22 com-plex matrix representation.Based on this method for computing the determinant of complex quaternion matrixand complex split quaternion matrix is given.Finally，some special matrices of complex quaternion and com-plex split quaternion are studied.Key words:complex quaternion matrix；complex split quaternion matrix；complex matrix representation（上接第5页）32