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选修44坐标系与参数方程市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

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资源描述

1、选修4-4 坐标系与参数方程,第1页,第一节 坐 标 系,第2页,三年16考 高考指数:,1.了解坐标系作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形改变情况.,2.了解极坐标基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点位置,能进行极坐标和直角坐标互化.,3.能在极坐标系中求简单曲线(如过极点直线、过极点圆或圆心在极点圆)极坐标方程.,第3页,1.直线和圆极坐标方程是高考考查重点;,2.极坐标方程与直角坐标方程相互转化及其综合应用是难点;,3.高考考查极坐标方程多以解答题形式考查,属低、中等题.,第4页,1.平面直角坐标系中坐标伸缩变换,设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换,作用下,

2、点P(x,y)对应到点,P(x,y),称,为平面直角坐标系中坐标伸缩变换,简,称,.,伸缩变换,第5页,【即时应用】,在平面直角坐标系中,已知变换,:则,点P(3,2)经过变换,后点坐标为_;,椭圆 经过变换,后曲线方程为_.,第6页,【解析】,点P(3,2)经过变换,后得到,所以点P(3,2)经过变换,后点坐标为(1,1).,由变换,:得到,代入椭圆方程,化简,得x,2,+y,2,=1,即x,2,+y,2,=1.,答案:,(1,1)x,2,+y,2,=1,第7页,2.极坐标系与点极坐标,(1)极坐标系:在平面内取一个定点O,叫做,,自极点,O引一条射线Ox,叫做,;再选定一个长度单位、一个角

3、度,单位(通常取弧度)及其,(通常取逆时针方向),这,样就建立了一个极坐标系.,(2)点极坐标:对于极坐标系所在平面内任一点M,若设,|OM|=(0),以极轴Ox为始边,射线OM为终边角为,,则点M可用有序数对,表示.,极点,极轴,正方向,(,),第8页,(3)极坐标与直角坐标互化公式:,设点P直角坐标为(x,y),它极坐标为(,),则其,互化公式为,第9页,【即时应用】,(1)思索:若0,02,怎样将点直角坐标(-3,,4)化为极坐标?,提醒,:,由 得,2,=x,2,+y,2,=25,tan=,因为点,(-3,4)在第二象限,故为钝角,,所以点(-3,4)极坐标为点(5,),其中为钝角,且

4、tan=,.,第10页,(2)判断以下命题是否正确.(请在括号中填写“”或“”),极坐标系中点M极坐标是惟一 (),极坐标为(2,)点在第一象限 (),极坐标系中,点(3,)与点(3,-)相同 (),第11页,【解析】,极坐标系中点,当0,2)时,除极点以,外,M极坐标才是唯一,当R时,M极坐标不唯一,,故不正确;,点极坐标(2,)中,极角终边在第二象限,极径大,于0,故点在第二象限,故不正确;,极坐标系中,点(3,)与点(3,-)极角终边相,同,极径相等,两点相同,所以正确.,答案:,第12页,3.直线极坐标方程,(1)特殊位置直线极坐标方程:,直线,极坐标方程,图形,过极点,,倾斜角为,=

5、_(R)或=_,(R)(=_和=_,(0),过点(a,0),与极轴垂直,_=a,+,+,cos,第13页,直线,极坐标方程,图形,_=a,(0),过点(a,),与极轴平行,sin,第14页,(2)普通位置直线极坐标方程:若直线,l,经过点M(,0,,,0,),且极轴到此直线角为,直线,l,极坐标方程为:,sin(-)=,.,0,sin(,0,-),第15页,【即时应用】,判断以下命题是否正确.(请在括号中填写“”或“”),(1)过极点射线,l,上任意一点极角都是 ,则射线,l,极坐,标方程为=(0).(),(2)过极点,倾斜角为 直线极坐标方程为=(0).,(),第16页,【解析】,依据极径意

6、义=|OM|,可知0;若0,则,-0,要求点M(,)与点N(-,)关于极点对称,,所以可得,,(1)过极点射线,l,上任意一点极角都是 ,则射线,l,极坐,标方程为=(0).所以(1)正确.,(2)过极点,倾斜角为 直线分为两条射线OM、OM,它,们极坐标方程为=、=(0),所以过极点,倾,斜角为 直线极坐标方程为=和=(0)(也,能够表示为=(R).所以(2)不正确.,答案:,(1)(2),第17页,4.半径为r圆极坐标方程,(1)特殊位置圆极坐标方程:,圆心,极坐标方程,图形,(0,0),(r,0),=_,(02),r,=_,2rcos,第18页,直线,极坐标方程,图形,(r,),=2rs

7、in,(0),(r,),=-2rcos,第19页,直线,极坐标方程,图形,=-2rsin,(2),(r,),第20页,(2)普通位置圆极坐标方程:若圆心为M(,0,0,),半径,为r,则圆极坐标方程是,2,-2,0,cos(-,0,)+,0,2,-r,2,=0.,第21页,【即时应用】,(1)极坐标方程=4sin(0,0)表示曲线,中心极坐标为_.,(2)圆心为(2,),半径为3圆极坐标方程为_.,第22页,【解析】,(1)曲线=4sin,由特殊位置圆极坐标方程得半,径为2,所以曲线中心为(2,).,(2)圆心(2,)直角坐标为(),且半径为3,,所以圆直角坐标方程为(x+),2,+(y-),

8、2,=9,,即x,2,+y,2,+2 x-2 y-5=0.,由公式,得圆极坐标方程为,2,-4cos(-)-5=0.,答案:,(1)(2,)(2),2,-4cos(-)-5=0,第23页,伸缩变换,【方法点睛】,伸缩变换公式应用,(1)平面直角坐标系中,点P(x,y)在变换,作用下,得点P(x,y),变换,简称为伸缩变换.,(2)求曲线经过伸缩变换公式变换后曲线方程时,通常利用“代点法”,普通经过设定变换前与变换后曲线上点坐标建立联络,这能够经过上标符号进行区分.,第24页,【例1】(1)求正弦曲线y=sinx按 变换后函数,解析式;,(2)将圆x,2,+y,2,=1变换为椭圆 一个伸缩变换公

9、式为,求,、,值,.,第25页,【解题指南】,设变换前方程曲线上任意一点坐标为,P(x,y),变换后对应点为P(x,y),代入伸缩变换公式,即可.,第26页,【规范解答】,(1)设点P(x,y)为正弦曲线y=sinx上任意,一点,在变换,:作用下,点P(x,y)对应到点,P(x,y),即 ,代入y=sinx得2y=sin3x,,所以y=sin3x,即y=sin3x为所求.,第27页,(2)将变换后椭圆 改写为 ,伸缩变,换为,代入上式得 即,与x,2,+y,2,=1比较系数得,第28页,【反思感悟】,1.曲线伸缩变换是经过曲线上任意一点坐标伸缩变换实现,解题时需要区分变换前点P坐标(x,y)与

10、变换后点P坐标(x,y),再利用伸缩变换公式,建立联络即可.,2.已知变换后曲线方程f(x,y)=0,普通都要改写为方程,f(x,y)=0,再利用换元法确定伸缩变换公式.,第29页,【变式训练】,(1)求将正弦曲线y=sinx变换为曲线y=2sin3x,伸缩变换公式;,(2)求将圆x,2,+y,2,=1按照伸缩变换公式 变换后所得椭圆,标准方程和焦距.,【解析】,(1)将变换后曲线y=2sin3x改写为 y=sin3x,令 即得伸缩变换公式,第30页,(2)将圆x,2,+y,2,=1按伸缩变换公式 变换后所得椭圆方,程为,即 .,a,2,=25,b,2,=9,c,2,=a,2,-b,2,=25

11、-9=16.,c=4,2c=8.,即所得椭圆标准方程为 ,焦距为8.,第31页,极坐标与直角坐标相互转化,【方法点睛】,1.极坐标与直角坐标互化公式三个基本条件,(1)取直角坐标原点为极点;,(2)x轴非负半轴为极轴;,(3)要求长度单位相同,第32页,2.极坐标与直角坐标互化公式,设点P直角坐标为(x,y),它极坐标为(,),依据三角函数定义,当0时,有:,(极坐标化为直角坐标公式);,(直角坐标化为极坐标公式).,第33页,【提醒】,当0时,公式也成立,因为点M(,)与点,M(-,)关于极点对称,即点M极坐标也就是(-,+),此时,有,第34页,【例2】(1)将点极坐标(2,)化为直角坐标

12、;,(2)若0,02,将点直角坐标(-2,2)化为极,坐标;,【解题指南】,由公式 将极坐标化为直角坐标,由公,式 将直角坐标化为极坐标.,第35页,【规范解答】,(1)x=2cos =-,y=2sin =-1,,点极坐标(2,)化为直角坐标为(-,-1).,(2),2,=x,2,+y,2,=8,tan=-1,且角终边过点(-2,,2),,=2 ,=,,点直角坐标(-2,2)化为极坐标为(2 ,).,第36页,【反思感悟】,1.在把点P直角坐标(x,y)化为极坐标(,),求极角时,应注意判断点P所在象限(即角终边过点(x,y),方便正确地求出02内角.,2.过极点倾斜角为 直线极坐标方程能够表

13、示为=,(R),也能够表示为=和=(0).,第37页,【变式训练】,(1)极坐标系中,求直角坐标为(-1,)点极径和极角.,【解析】,直角坐标为(-1,)点到极点距离为,=2,又tan=-,且点在第二象限,得=2k+,kZ.,于是点(-1,)极坐标为(2,2k+)(kZ),,所以此点极径为2,极角为2k+(kZ).,第38页,(2)判断极坐标方程=sin-2cos所表示曲线形状.,【解析】,极坐标方程=sin-2cos,即,2,=sin-2cos,化为直角坐标方程为x,2,+y,2,=y-2x,即(x+1),2,+(y-),2,=,这是直角坐标系中,圆心坐标为(-1,),半径为,圆.,第39页

14、,【变式备选】,1.将极坐标方程=sin化为直角坐标方程标准形式.,【解析】,由极坐标方程=sin,得,2,=sin,化为直角坐,标方程为x,2,+y,2,=y,即,2.将直线方程x-y=0化为极坐标方程.,【解析】,将直线方程x-y=0化为极坐标方程为cos-,sin=0,即tan=1,(R).,第40页,极坐标方程综合题,【方法点睛】,直线与圆综合问题,(,1)直线与圆位置关系有三种:相离、相切、相交.,设圆半径为r,圆心到直线距离为d,则有:,第41页,直线与圆位置关系,公共点,个数,d与r,关系,图形,相离,相切,相交,无,dr,一个,d=r,两个,dr,第42页,(2)若直线与圆相交

15、于点A、B,圆半径为r,圆心到直线AB,距离为d,则弦长公式为|AB|=,第43页,【例3】在极坐标系中,已知曲线C,1,与C,2,极坐标方程分别为,=2sin与cos=-1(02),求:,(1)两曲线(含直线)公共点P极坐标;,(2)过点P被曲线C,1,截得弦长为 直线极坐标方程.,【解题指南】,(1)利用极坐标方程与直角坐标方程互化公式,求点极坐标;,(2)利用数形结合思想,转化为几何性质处理.,第44页,【规范解答】,(1)由公式 得曲线C,1,:=2sin与C,2,:,cos=-1(02)直角坐标方程分别为x,2,+y,2,=2y,x=,-1联立方程组,解得,由公式 得点P(-1,1)

16、极坐标为(,),第45页,(2)方法一:由(1)可知,曲线C,1,:,=2sin即圆x,2,+(y-1),2,=1,如图所表示,,过P(-1,1)被曲线C,1,截得弦长为,直线有两条:,一条过原点O,倾斜角为 ,直线普通方程为y=-x,极坐标,方程为=(R);,另一条过点A(0,2),倾斜角为 ,直线普通方程为y=x+2,,极坐标方程为(sin-cos)=2,即sin(-)=.,第46页,方法二:由(1)可知,曲线C,1,:=2sin即圆x,2,+(y-1),2,=1,,过点P(,)被曲线C,1,截得弦长为 直线有两条:一,条过原点O,倾斜角为 ,极坐标方程为=(R);,另一条倾斜角为 ,,极

17、坐标方程为sin(-)=sin(-),,即sin(-)=.,第47页,【反思感悟】,相关直线与圆极坐标方程综合问题,经常转化为直角坐标方程,结合几何图形,利用几何法进行判断和计算,这么可使问题简便.,第48页,【变式训练】,已知圆O,1,和圆O,2,极坐标方程分别为=4cos,,=-sin.,(1)把圆O,1,和圆O,2,极坐标方程化为直角坐标方程;,(2)求经过圆O,1,,圆O,2,两个交点直线直角坐标方程,第49页,【解析】,以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐,标系,两坐标系中取相同长度单位,(1)x=cos,y=sin,由=4cos得,2,=4cos,x,2,+y,2,=4x

18、,即x,2,+y,2,-4x=0为圆O,1,直角坐标方程,同理x,2,+y,2,+y=0为圆O,2,直角坐标方程,(2)由 相减得过交点直线直角坐标方程,为4x+y=0,第50页,【变式备选】,在极坐标系中,圆=2cos与直线3cos+4sin+a=0相切,求实数a值.,【解题指南】,先将直线和圆极坐标方程化为直角坐标方程,再进行计算.,第51页,【解析】,由圆=2cos得,2,=2cos,2,=x,2,+y,2,所以圆=2cos与直线3cos+4sin+a=0直角坐标方程分别为x,2,+y,2,=2x,3x+4y+a=0.,将圆方程配方得(x-1),2,+y,2,=1,依题意,得圆心C(1,0)到直线3x+4y+a=0距离为1,即,整理得3+a=5,,解得a=2或a=-8.所以实数a值为2或-8.,第52页,第53页,第54页,

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