选修44坐标系与参数方程市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

选修4-4 坐标系与参数方程,第1页,第一节 坐 标 系,第2页,三年16考 高考指数:,1.了解坐标系作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形改变情况.,2.了解极坐标基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点位置，能进行极坐标和直角坐标互化.,3.能在极坐标系中求简单曲线（如过极点直线、过极点圆或圆心在极点圆）极坐标方程.,第3页,1.直线和圆极坐标方程是高考考查重点；,2.极坐标方程与直角坐标方程相互转化及其综合应用是难点；,3.高考考查极坐标方程多以解答题形式考查，属低、中等题.,第4页,1.平面直角坐标系中坐标伸缩变换,设点P（x,y）是平面直角坐标系中任意一点，在变换,作用下，点P(x,y)对应到点,P(x,y),称,为平面直角坐标系中坐标伸缩变换，简,称,.,伸缩变换,第5页,【即时应用】,在平面直角坐标系中，已知变换,:则,点P(3,2)经过变换,后点坐标为_;,椭圆 经过变换,后曲线方程为_.,第6页,【解析】,点P(3,2)经过变换,后得到,所以点P(3,2)经过变换,后点坐标为(1,1).,由变换,:得到,代入椭圆方程,化简，得x,2,+y,2,=1,即x,2,+y,2,=1.,答案：,(1,1)x,2,+y,2,=1,第7页,2.极坐标系与点极坐标,（1）极坐标系：在平面内取一个定点O，叫做,，自极点,O引一条射线Ox,叫做,；再选定一个长度单位、一个角度,单位（通常取弧度）及其,（通常取逆时针方向），这,样就建立了一个极坐标系.,（2）点极坐标：对于极坐标系所在平面内任一点M，若设,|OM|=（0），以极轴Ox为始边，射线OM为终边角为,，则点M可用有序数对,表示.,极点,极轴,正方向,（,）,第8页,（3）极坐标与直角坐标互化公式：,设点P直角坐标为（x,y），它极坐标为（，），则其,互化公式为,第9页,【即时应用】,(1)思索：若0,02,怎样将点直角坐标（-3，,4）化为极坐标？,提醒,：,由 得,2,=x,2,+y,2,=25,tan=,因为点,(-3,4)在第二象限，故为钝角，,所以点(-3,4)极坐标为点(5,),其中为钝角，且tan=,.,第10页,(2)判断以下命题是否正确.（请在括号中填写“”或“”）,极坐标系中点M极坐标是惟一 (),极坐标为（2，）点在第一象限 (),极坐标系中，点（3，）与点（3，-）相同 (),第11页,【解析】,极坐标系中点，当0,2)时，除极点以,外，M极坐标才是唯一，当R时，M极坐标不唯一，,故不正确；,点极坐标（2，）中，极角终边在第二象限，极径大,于0，故点在第二象限，故不正确；,极坐标系中，点（3，）与点（3，-）极角终边相,同，极径相等，两点相同，所以正确.,答案：,第12页,3.直线极坐标方程,(1)特殊位置直线极坐标方程：,直线,极坐标方程,图形,过极点，,倾斜角为,=_(R)或=_,(R)(=_和=_,(0),过点(a,0),与极轴垂直,_=a,+,+,cos,第13页,直线,极坐标方程,图形,_=a,(0),过点(a,),与极轴平行,sin,第14页,(2)普通位置直线极坐标方程：若直线,l,经过点M(,0,，,0,)，且极轴到此直线角为，直线,l,极坐标方程为：,sin(-)=,.,0,sin(,0,-),第15页,【即时应用】,判断以下命题是否正确.（请在括号中填写“”或“”）,（1）过极点射线,l,上任意一点极角都是 ，则射线,l,极坐,标方程为=（0）.(),（2）过极点，倾斜角为 直线极坐标方程为=(0).,(),第16页,【解析】,依据极径意义=|OM|，可知0；若0，则,-0，要求点M（,）与点N（-,）关于极点对称，,所以可得，,（1）过极点射线,l,上任意一点极角都是 ，则射线,l,极坐,标方程为=（0）.所以（1）正确.,（2）过极点，倾斜角为 直线分为两条射线OM、OM，它,们极坐标方程为=、=（0），所以过极点，倾,斜角为 直线极坐标方程为=和=（0）（也,能够表示为=（R）.所以(2)不正确.,答案：,（1）(2),第17页,4.半径为r圆极坐标方程,（1）特殊位置圆极坐标方程：,圆心,极坐标方程,图形,（0，0）,(r,0),=_,(02),r,=_,2rcos,第18页,直线,极坐标方程,图形,(r,),=2rsin,(0),(r,),=-2rcos,第19页,直线,极坐标方程,图形,=-2rsin,(2),(r,),第20页,（2）普通位置圆极坐标方程：若圆心为M(,0,0,)，半径,为r，则圆极坐标方程是,2,-2,0,cos(-,0,)+,0,2,-r,2,=0.,第21页,【即时应用】,（1）极坐标方程=4sin（0，0）表示曲线,中心极坐标为_.,（2）圆心为（2,），半径为3圆极坐标方程为_.,第22页,【解析】,(1)曲线=4sin，由特殊位置圆极坐标方程得半,径为2，所以曲线中心为(2,).,（2）圆心（2，）直角坐标为（），且半径为3，,所以圆直角坐标方程为（x+）,2,+（y-）,2,=9，,即x,2,+y,2,+2 x-2 y-5=0.,由公式,得圆极坐标方程为,2,-4cos(-)-5=0.,答案：,(1)(2,)(2),2,-4cos(-)-5=0,第23页,伸缩变换,【方法点睛】,伸缩变换公式应用,（1）平面直角坐标系中，点P（x,y)在变换,作用下，得点P(x,y)，变换,简称为伸缩变换.,（2）求曲线经过伸缩变换公式变换后曲线方程时，通常利用“代点法”，普通经过设定变换前与变换后曲线上点坐标建立联络，这能够经过上标符号进行区分.,第24页,【例1】（1）求正弦曲线y=sinx按 变换后函数,解析式；,(2)将圆x,2,+y,2,=1变换为椭圆 一个伸缩变换公式为,求,、,值,.,第25页,【解题指南】,设变换前方程曲线上任意一点坐标为,P(x,y)，变换后对应点为P(x,y)，代入伸缩变换公式,即可.,第26页,【规范解答】,（1）设点P(x,y)为正弦曲线y=sinx上任意,一点，在变换,:作用下，点P(x,y)对应到点,P(x,y)，即 ，代入y=sinx得2y=sin3x，,所以y=sin3x，即y=sin3x为所求.,第27页,（2）将变换后椭圆 改写为 ，伸缩变,换为,代入上式得 即,与x,2,+y,2,=1比较系数得,第28页,【反思感悟】,1.曲线伸缩变换是经过曲线上任意一点坐标伸缩变换实现,解题时需要区分变换前点P坐标(x,y)与变换后点P坐标(x,y),再利用伸缩变换公式,建立联络即可.,2.已知变换后曲线方程f(x,y)=0,普通都要改写为方程,f(x,y)=0，再利用换元法确定伸缩变换公式.,第29页,【变式训练】,(1)求将正弦曲线y=sinx变换为曲线y=2sin3x,伸缩变换公式；,(2)求将圆x,2,+y,2,=1按照伸缩变换公式 变换后所得椭圆,标准方程和焦距.,【解析】,(1)将变换后曲线y=2sin3x改写为 y=sin3x,令 即得伸缩变换公式,第30页,(2)将圆x,2,+y,2,=1按伸缩变换公式 变换后所得椭圆方,程为,即 .,a,2,=25,b,2,=9,c,2,=a,2,-b,2,=25-9=16.,c=4,2c=8.,即所得椭圆标准方程为 ,焦距为8.,第31页,极坐标与直角坐标相互转化,【方法点睛】,1.极坐标与直角坐标互化公式三个基本条件,(1)取直角坐标原点为极点；,(2)x轴非负半轴为极轴；,(3)要求长度单位相同,第32页,2.极坐标与直角坐标互化公式,设点P直角坐标为（x,y），它极坐标为（,），依据三角函数定义，当0时，有：,（极坐标化为直角坐标公式）；,（直角坐标化为极坐标公式）.,第33页,【提醒】,当0时,公式也成立,因为点M（,）与点,M（-,）关于极点对称，即点M极坐标也就是（-,+），此时，有,第34页,【例2】(1)将点极坐标(2,)化为直角坐标；,（2）若0，02，将点直角坐标（-2,2）化为极,坐标；,【解题指南】,由公式 将极坐标化为直角坐标，由公,式 将直角坐标化为极坐标.,第35页,【规范解答】,（1）x=2cos =-，y=2sin =-1，,点极坐标(2,）化为直角坐标为(-,-1).,（2）,2,=x,2,+y,2,=8，tan=-1，且角终边过点（-2，,2），,=2 ，=，,点直角坐标（-2，2）化为极坐标为(2 ,).,第36页,【反思感悟】,1.在把点P直角坐标（x,y）化为极坐标(,)，求极角时，应注意判断点P所在象限（即角终边过点（x,y），方便正确地求出02内角.,2.过极点倾斜角为 直线极坐标方程能够表示为=,(R)，也能够表示为=和=(0).,第37页,【变式训练】,（1）极坐标系中，求直角坐标为(-1,)点极径和极角.,【解析】,直角坐标为(-1,)点到极点距离为,=2，又tan=-,且点在第二象限，得=2k+,kZ.,于是点(-1,)极坐标为（2，2k+）(kZ)，,所以此点极径为2，极角为2k+(kZ).,第38页,(2)判断极坐标方程=sin-2cos所表示曲线形状.,【解析】,极坐标方程=sin-2cos，即,2,=sin-2cos,化为直角坐标方程为x,2,+y,2,=y-2x,即(x+1),2,+(y-),2,=,这是直角坐标系中，圆心坐标为(-1,),半径为,圆.,第39页,【变式备选】,1.将极坐标方程=sin化为直角坐标方程标准形式.,【解析】,由极坐标方程=sin,得,2,=sin,化为直角坐,标方程为x,2,+y,2,=y,即,2.将直线方程x-y=0化为极坐标方程.,【解析】,将直线方程x-y=0化为极坐标方程为cos-,sin=0,即tan=1,(R).,第40页,极坐标方程综合题,【方法点睛】,直线与圆综合问题,（,1）直线与圆位置关系有三种：相离、相切、相交.,设圆半径为r,圆心到直线距离为d,则有:,第41页,直线与圆位置关系,公共点,个数,d与r,关系,图形,相离,相切,相交,无,dr,一个,d=r,两个,dr,第42页,(2)若直线与圆相交于点A、B,圆半径为r，圆心到直线AB,距离为d，则弦长公式为|AB|=,第43页,【例3】在极坐标系中，已知曲线C,1,与C,2,极坐标方程分别为,=2sin与cos=-1（02），求：,（1）两曲线（含直线）公共点P极坐标；,（2）过点P被曲线C,1,截得弦长为 直线极坐标方程.,【解题指南】,（1）利用极坐标方程与直角坐标方程互化公式,求点极坐标；,（2）利用数形结合思想，转化为几何性质处理.,第44页,【规范解答】,(1)由公式 得曲线C,1,：=2sin与C,2,：,cos=-1（02）直角坐标方程分别为x,2,+y,2,=2y,x=,-1联立方程组，解得,由公式 得点P（-1，1）极坐标为（，）,第45页,（2）方法一:由（1）可知，曲线C,1,：,=2sin即圆x,2,+(y-1),2,=1，如图所表示，,过P（-1，1）被曲线C,1,截得弦长为,直线有两条：,一条过原点O，倾斜角为 ，直线普通方程为y=-x，极坐标,方程为=（R）；,另一条过点A（0,2），倾斜角为 ，直线普通方程为y=x+2，,极坐标方程为(sin-cos)=2，即sin(-)=.,第46页,方法二：由（1）可知，曲线C,1,：=2sin即圆x,2,+(y-1),2,=1，,过点P（，）被曲线C,1,截得弦长为 直线有两条：一,条过原点O，倾斜角为 ，极坐标方程为=（R）；,另一条倾斜角为 ，,极坐标方程为sin(-)=sin(-)，,即sin(-)=.,第47页,【反思感悟】,相关直线与圆极坐标方程综合问题,经常转化为直角坐标方程,结合几何图形,利用几何法进行判断和计算,这么可使问题简便.,第48页,【变式训练】,已知圆O,1,和圆O,2,极坐标方程分别为=4cos，,=-sin.,（1）把圆O,1,和圆O,2,极坐标方程化为直角坐标方程；,（2）求经过圆O,1,，圆O,2,两个交点直线直角坐标方程,第49页,【解析】,以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐,标系，两坐标系中取相同长度单位,（1）x=cos，y=sin，由=4cos得,2,=4cos,x,2,+y,2,=4x,即x,2,+y,2,-4x=0为圆O,1,直角坐标方程,同理x,2,+y,2,+y=0为圆O,2,直角坐标方程,（2）由 相减得过交点直线直角坐标方程,为4x+y=0,第50页,【变式备选】,在极坐标系中，圆=2cos与直线3cos+4sin+a=0相切，求实数a值.,【解题指南】,先将直线和圆极坐标方程化为直角坐标方程，再进行计算.,第51页,【解析】,由圆=2cos得,2,=2cos,2,=x,2,+y,2,所以圆=2cos与直线3cos+4sin+a=0直角坐标方程分别为x,2,+y,2,=2x,3x+4y+a=0.,将圆方程配方得（x-1）,2,+y,2,=1,依题意，得圆心C（1，0）到直线3x+4y+a=0距离为1，即,整理得3+a=5，,解得a=2或a=-8.所以实数a值为2或-8.,第52页,第53页,第54页,