专题质量评估(一).doc

专题质量评估(一)
(时间:120分钟,满分:160分)
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)
1.(2012届江苏盐城摸底)已知集合P={-2,0,2,4},Q={x|0<x<3},则 .
【答案】 {2}
2.函数y=(2x-1)的图象在(0,-1)处的切线的斜率是 .
【解析】 y′=3(2x-1)(2x-1)
∴k=f′(0)=6.
【答案】 6
3.(2012届江苏梁丰高级中学一模)函数f(x)=ln2x+8)的单调递增区间是 .
【解析】 由得-2<x<4,∴函数f(x)的定义域为(-2,4).
∵函数的图象的对称轴是直线x=1,
∴函数f(x)=ln的单调递增区间是(-2,1).
【答案】 (-2,1)
4.设变量x,y满足约束条件: 则z=x-3y的最小值是 .
【解析】 画出可行域与目标函数线如图可知,目标函数在点(-2,2)取最小值-8.

【答案】 -8
5.若函数在x=1处取极值,则a= .
【解析】 ∵f′
∴f′解得a=3.
【答案】 3
6.已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当0<x<3时,f(x)的图象如图所示,那么不等式xf(x)<0的解集为 .

【解析】 由f(x)是奇函数,结合已知图象知,时时,f(x)>0,
∴的解集为.
【答案】
7.设a>0,b>0.若是与的等比中项,则的最小值为 .
【解析】 ∵∴a+b=1.
=4,
当且仅当即时“=“成立.
【答案】 4
8.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则f(-25)、f(11)、f(80)的大小关系是 .
【解析】 因为f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x-4)=-f(x),即-f(x-4)=f(x).
所以f(4-x)=f(x).所以函数图象关于直线x=2对称,且f(0)=0.
由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),
故函数是以8为周期的周期函数,
∴f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(8+3)=f(3).
∵f(4-x)=f(x),∴f(3)=f(4-3)=f(1).
由于函数f(x)在[0,2]上是增函数,
∴f(x)在[-2,0]上也是增函数,故f(-1)<f(0)<f(1).
∴f(-25)<f(80)<f(11).
【答案】 f(-25)<f(80)<f(11)
9.已知是函数的一个零点.若则下列判断中正确的是 (将正确结论的序号填在横线上).
①;②;③;④.
【解析】 求导,得f′ln
∴f(x)在和上都是增函数.
又∵是函数f(x)的一个零点,且,
∴.
【答案】 ②③
10.已知函数f(x)满足:当时当x<4时,f(x)=f(x+1),则f(2+log等于 .
【解析】 ∵2+log
∴f(2+logloglog.
又3+log∴f(3+log.
【答案】
11.已知函数f(x)=|lgx|.若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是 .
【解析】 函数f(x)=|lgx|的图象如图所示.

由图知0<a<1,b>1.
∵f(a)=|lga|=-lga=lgf(b)=|lgb|=lgb,∴.∴.
令
g(a)在(0,1)上为减函数,
∴2=3.
【答案】
12.方程的解可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标,若的各个实根…所对应的点2,…,k)均在直线y=x的同侧,则实数a的取值范围是 .
【解析】 .
如图所示,当的图象从过点A向下平移时,或图象从过点B向上平移时,交点均在y=x的同侧,

把A(2,2),B(-2,-2)代入y=得a=6或a=-6,∴.
【答案】
13.当时,函数x-3在x=2时取得最大值,则a的取值范围是 .
【解析】 由题意知
即a(x-2)(x+2)+4(a-1.
当x=2时R;
当时,有a(x+2)
故 解得.
综上.
【答案】
14.(2011上海高考,理13)设g(x)是定义在R上,以1为周期的函数.若函数f(x)=x+g(x)在区间[3,4]上的值域[-2,5],则f(x)在区间[-10,10]上的值域为 .
【解析】 设.
∵g(x)是定义在R上的以1为周期的函数,
∴当时;
时[0,7];…;
时[4,11].
同理,当时.
综上分析知,当时,函数的值域为[-15,11].
【答案】 [-15,11]
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)设函数f(x)定义在R上,对于任意实数m,n恒有f(m+n)=f(m)f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.
(1)求证:f(x)在R上是减函数;
(2)解不等式1.
【解】 (1)证明:令m=1,n=0,得f(1)=f(1)f(0).
∵f(1)>0,∴f(0)=1.
又f(x)f(-x)=f(0)=1,若x>0,则-x<0.
由0<f(x)<1知f(-x)>1.
故对任意的R,都有f(x)>0.
设则.
∴

.
即故f(x)在R上是减函数.
(2)原不等式等价于0).
又f(x)是减函数,∴解得-3<x<1.
故原不等式的解集为(-3,1).
16.(本小题满分14分)(2012浙江杭州学军中学第一次月考)已知x满足不等式(loglog求函数R)的最小值.
【解】 解不等式(loglog
得所以.
1=.
当a<2时;
当时;
当a>16时.
17.(本小题满分14分)(2012江苏盐城摸底)某市出租汽车的收费标准如下:在3 km以内(含3 km)的路程统一按起步价7元收费,超过3 km以外的路程按2.4元/km收费.而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分:一是固定费用约为2.3元;二是燃油费,约为1.6元/km;三是折旧费,它与路程的平方近似成正比,且当路程为100 km时,折旧费约为0.1元.现设一次载客的路程为x km.
(1)试将出租汽车一次载客的收费F与成本C分别表示为x的函数;
(2)若一次载客的路程不少于2 km,则当x取何值时,该市出租汽车一次载客每千米的收益取得最大值?
【解】 (1)F(x)= =
设折旧费将点(100,0.1)代入,得0.解得.
所以C(x)=2.3+1..
(2)因为
所以y=

① 当x>3时,由基本不等式,得..79(当且仅当x=500时取等号);
②当,由.6在[2,3]上单调递减,
得.6=0..79.
答:该市出租汽车一次载客路程为500 km时,每千米的收益y取得最大值.
18.(本小题满分16分)(2011江西高考,理19)设f(x)=.
(1)若f(x)在上存在单调递增区间,求a的取值范围;
(2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]上的最小值为,求f(x)在该区间上的最大值.
【解】 (1)由f′
当时,f′(x)的最大值为f′2a;令2a>0,得
所以,当时,f(x)在上存在单调递增区间.
(2)令f′(x)=0,得两根.
所以f(x)在上单调递减,在(上单调递增.
当0<a<2时,有所以f(x)在 上的最大值为f(x.
又f(4)-f即f(4)<f(1),
所以f(x)在上的最小值为 f(4)=8a-4,
得从而f(x)在的最大值为f（2）=.
19.(本小题满分16分)(2012届江苏泗阳中学第一次调研)已知R,函数.
(1)如果实数m,n满足m>1,mn=1,函数f(x)是否具有奇偶性?如果有,求出相应的k值,如果没有,说明为什么?
(2)如果m>1>n>0,判断函数f(x)的单调性;
(3)如果且求函数y=f(x)的对称轴或对称中心.
【解】 (1)如果f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),
即恒成立,
即
即0,即.
由不恒成立,得k=1.
如果f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),
即恒成立,
即
即
即由恒成立,得k=-1.
综上所述,当k=1时,f(x)为偶函数;
当k=-1时,f(x)为奇函数.
(2)∵m>1>n>0,∴∴当时,显然f(x)=在R上为增函数;
当k>0时,f′lnlnlnm+kln
由得lnm+klnn=0,
得-klog
得x=loglog.
∴当loglog时,f′(x)<0,f(x)为减函数;
当loglog时,f′(x)>0,f(x)为增函数.
(3)当时
如果
则f(logx),∴函数y=f(x)的对称中心为log.
如果
则f(log∴函数y=f(x)的对称轴为x=log.
20.(本小题满分16分)设函数f(x)=1-e
(1)证明:当x>-1时;
(2)设当时求a的取值范围.
【解】 (1)证明:当x>-1时当且仅当e.
令g(x)=e则g′(x)=e.
当时,g′在上是增函数;
当时,g′在上是减函数.
于是g(x)在x=0处达到最小值,因而当R时,g(x)即e.
所以当x>-1时.
(2)由题设此时.
当a<0时,若则不成立;
当时,令h(x)=axf(x)+f(x)-x,则
当且仅当
h′(x)=af(x)+axf′(x)+f′(x)-1
=af(x)-axf(x)+ax-f(x).
(ⅰ)当时,
由(1)知x),
h′a(x+1)f(x)-f(x)=(2a
h(x)在上是减函数
即.
(ⅱ)当时
h′(x)=af(x)-axf(x)+ax-f(x)
af(x)-f(x)
=(2a-1-ax)f(x),
当时,h′(x)>0,
所以h(x)>h(0)=0,即
综上,a的取值范围是.