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第八章 常微分方程数值解
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习题主要考察点：欧拉方法的构造，单步法的收敛性和稳定性的讨论，线性多步法中亚当姆斯方法的构造和讨论。
1 用改进的欧拉公式，求以下微分方程

的数值解（取步长），并与精确解作比较。（改进的尤拉公式的应用）
解：原方程可转化为 ，令，有
解此一阶线性微分方程，可得 。
利用以下公式

求在节点处的数值解，其中，初值为。
MATLAB程序如下：
x(1)=0;%初值节点
y(1)=1;%初值
fprintf('x(%d)=%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%f\n',1,x(1),1,y(1),1,y(1));
for i=1:5
yp=y(i)+0.2*(y(i)-2*x(i)/y(i));%预报值
yc=y(i)+0.2*(yp-2*x(i)/yp);%校正值
y(i+1)=(yp+yc)/2;%改进值
x(i+1)=x(i)+0.2;%节点值
yy(i+1)=sqrt(2*x(i+1)+1);%精确解
fprintf('x(%d)=%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%f\n',i+1,x(i+1),i+1,y(i+1),i+1,yy(i+1));
end
程序运行的结果如下：
x(1)=0.000000, y(1)=1.000000, yy(1)=1.000000
x(2)=0.200000, y(2)=1.220000, yy(2)=1.183216
x(3)=0.400000, y(3)=1.420452, yy(3)=1.341641
x(4)=0.600000, y(4)=1.615113, yy(4)=1.483240
x(5)=0.800000, y(5)=1.814224, yy(5)=1.612452
x(6)=1.000000, y(6)=2.027550, yy(6)=1.732051
2用四阶龙格－库塔法求解初值问题，取, 求时的数值解. 要求写出由直接计算的迭代公式，计算过程保留3位小数。（龙格－库塔方法的应用）
解：四阶龙格-库塔经典公式为

由于，在各点的斜率预报值分别为：

四阶经典公式可改写成以下直接的形式：

在处，有

在处，有

注：这两个近似值与精确解在这两点的精确值十分接近。
3 用梯形方法解初值问题

证明其近似解为

并证明当时，它收敛于原初值问题的准确解。
解：显然，是原初值问题的准确解。
求解一般微分方程初值问题的梯形公式的形式为

对于该初值问题，其梯形公式的具体形式为
，，
于是：

亦即：
注意到：，，令，有

从而
即：当时，收敛于原初值问题的准确解。
4对于初值问题，证明当时，欧拉公式绝对稳定。（显式和隐式欧拉公式的稳定性讨论）
证明：显式的欧拉公式为
从而，由于，，
因此，显式欧拉公式绝对稳定。
隐式的欧拉公式为
，
由于，，
因此，隐式的欧拉公式也是绝对稳定的。
5证明：梯形公式无条件稳定。（梯形公式的稳定性讨论）
解：对于微分方程初值问题

其隐式的梯形公式的具体形式可表示为
，，
从而
由，可知，，故隐式的梯形公式无条件稳定。
6设有常微分方程的初值问题，试用泰勒展开法，构造线性两步法数值计算公式，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项。（局部截断误差和主项的计算）
解：假设，，利用泰勒展式，有

又
欲使其具有尽可能高的局部截断误差，必须
，，
从而 ，，
于是数值计算公式为 。
该数值计算公式的局部截断误差的主项为

7已知初值问题

取步长，利用阿当姆斯公式，求此微分方程在[0，10]上的数值解，求此公式的局部截断误差的首项。（阿当姆斯公式的应用）
解：假设，，利用泰勒展开，有
，，

而

该阿当姆斯两步公式具有2阶精度，其局部截断误差的主项为。
取步长，节点（），注意到，其计算公式可改写为

仅需取一个初值，可实现这一公式的实际计算。
其MATLAB下的程序如下：
x0=0;%初值节点
y0=0;%初值
for n=0:99
y1=y0+0.02*n+0.01;
x1=x0+0.1;
fprintf('x(%3d)=%10.8f,y(%3d)=%10.8f\n',n+1,x1,n+1,y1);
x0=x1;
y0=y1;
end
运行结果如下：
x( 1)=0.10000000,y( 1)=0.01000000
x( 2)=0.20000000,y( 2)=0.04000000
x( 3)=0.30000000,y( 3)=0.09000000
x( 4)=0.40000000,y( 4)=0.16000000
x( 5)=0.50000000,y( 5)=0.25000000
x( 6)=0.60000000,y( 6)=0.36000000
x( 7)=0.70000000,y( 7)=0.49000000
x( 8)=0.80000000,y( 8)=0.64000000
x( 9)=0.90000000,y( 9)=0.81000000
x( 10)=1.00000000,y( 10)=1.00000000
x( 11)=1.10000000,y( 11)=1.21000000
x( 12)=1.20000000,y( 12)=1.44000000
x( 13)=1.30000000,y( 13)=1.69000000
x( 14)=1.40000000,y( 14)=1.96000000
x( 15)=1.50000000,y( 15)=2.25000000
x( 16)=1.60000000,y( 16)=2.56000000
x( 17)=1.70000000,y( 17)=2.89000000
x( 18)=1.80000000,y( 18)=3.24000000
x( 19)=1.90000000,y( 19)=3.61000000
x( 20)=2.00000000,y( 20)=4.00000000
x( 21)=2.10000000,y( 21)=4.41000000
x( 22)=2.20000000,y( 22)=4.84000000
x( 23)=2.30000000,y( 23)=5.29000000
x( 24)=2.40000000,y( 24)=5.76000000
x( 25)=2.50000000,y( 25)=6.25000000
x( 26)=2.60000000,y( 26)=6.76000000
x( 27)=2.70000000,y( 27)=7.29000000
x( 28)=2.80000000,y( 28)=7.84000000
x( 29)=2.90000000,y( 29)=8.41000000
x( 30)=3.00000000,y( 30)=9.00000000
x( 31)=3.10000000,y( 31)=9.61000000
x( 32)=3.20000000,y( 32)=10.24000000
x( 33)=3.30000000,y( 33)=10.89000000
x( 34)=3.40000000,y( 34)=11.56000000
x( 35)=3.50000000,y( 35)=12.25000000
x( 36)=3.60000000,y( 36)=12.96000000
x( 37)=3.70000000,y( 37)=13.69000000
x( 38)=3.80000000,y( 38)=14.44000000
x( 39)=3.90000000,y( 39)=15.21000000
x( 40)=4.00000000,y( 40)=16.00000000
x( 41)=4.10000000,y( 41)=16.81000000
x( 42)=4.20000000,y( 42)=17.64000000
x( 43)=4.30000000,y( 43)=18.49000000
x( 44)=4.40000000,y( 44)=19.36000000
x( 45)=4.50000000,y( 45)=20.25000000
x( 46)=4.60000000,y( 46)=21.16000000
x( 47)=4.70000000,y( 47)=22.09000000
x( 48)=4.80000000,y( 48)=23.04000000
x( 49)=4.90000000,y( 49)=24.01000000
x( 50)=5.00000000,y( 50)=25.00000000
x( 51)=5.10000000,y( 51)=26.01000000
x( 52)=5.20000000,y( 52)=27.04000000
x( 53)=5.30000000,y( 53)=28.09000000
x( 54)=5.40000000,y( 54)=29.16000000
x( 55)=5.50000000,y( 55)=30.25000000
x( 56)=5.60000000,y( 56)=31.36000000
x( 57)=5.70000000,y( 57)=32.49000000
x( 58)=5.80000000,y( 58)=33.64000000
x( 59)=5.90000000,y( 59)=34.81000000
x( 60)=6.00000000,y( 60)=36.00000000
x( 61)=6.10000000,y( 61)=37.21000000
x( 62)=6.20000000,y( 62)=38.44000000
x( 63)=6.30000000,y( 63)=39.69000000
x( 64)=6.40000000,y( 64)=40.96000000
x( 65)=6.50000000,y( 65)=42.25000000
x( 66)=6.60000000,y( 66)=43.56000000
x( 67)=6.70000000,y( 67)=44.89000000
x( 68)=6.80000000,y( 68)=46.24000000
x( 69)=6.90000000,y( 69)=47.61000000
x( 70)=7.00000000,y( 70)=49.00000000
x( 71)=7.10000000,y( 71)=50.41000000
x( 72)=7.20000000,y( 72)=51.84000000
x( 73)=7.30000000,y( 73)=53.29000000
x( 74)=7.40000000,y( 74)=54.76000000
x( 75)=7.50000000,y( 75)=56.25000000
x( 76)=7.60000000,y( 76)=57.76000000
x( 77)=7.70000000,y( 77)=59.29000000
x( 78)=7.80000000,y( 78)=60.84000000
x( 79)=7.90000000,y( 79)=62.41000000
x( 80)=8.00000000,y( 80)=64.00000000
x( 81)=8.10000000,y( 81)=65.61000000
x( 82)=8.20000000,y( 82)=67.24000000
x( 83)=8.30000000,y( 83)=68.89000000
x( 84)=8.40000000,y( 84)=70.56000000
x( 85)=8.50000000,y( 85)=72.25000000
x( 86)=8.60000000,y( 86)=73.96000000
x( 87)=8.70000000,y( 87)=75.69000000
x( 88)=8.80000000,y( 88)=77.44000000
x( 89)=8.90000000,y( 89)=79.21000000
x( 90)=9.00000000,y( 90)=81.00000000
x( 91)=9.10000000,y( 91)=82.81000000
x( 92)=9.20000000,y( 92)=84.64000000
x( 93)=9.30000000,y( 93)=86.49000000
x( 94)=9.40000000,y( 94)=88.36000000
x( 95)=9.50000000,y( 95)=90.25000000
x( 96)=9.60000000,y( 96)=92.16000000
x( 97)=9.70000000,y( 97)=94.09000000
x( 98)=9.80000000,y( 98)=96.04000000
x( 99)=9.90000000,y( 99)=98.01000000
x(100)=10.00000000,y(100)=100.00000000