八常微分方程初值问题的数值解2解析.pptx

6.5 6.5 Runge-Kutta(龙格龙格-库塔库塔)方法方法在高精度的单步法中在高精度的单步法中,应用最广泛的是应用最广泛的是Runge-Kutta(Runge-Kutta(龙格龙格-库塔库塔)方法方法一一、Runge-Kutta法的基本思想（法的基本思想（1）Runge-Kutta法的基本思想（法的基本思想（2）Runge-Kutta法的基本思想（法的基本思想（3）二、二阶龙格库塔方法二、二阶龙格库塔方法三、三阶龙格库塔方法三、三阶龙格库塔方法四、四阶龙格库塔方法四、四阶龙格库塔方法解：解：例例2：用用经典的经典的Runge-Kutta方法方法求解下列初值问题求解下列初值问题 。经典的四阶经典的四阶Runge-Kutta公式：公式：0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.4832 1.5492 1.6125 1.6733 1.7321同保留同保留5位的位的精确值精确值完全一致：完全一致：0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.4832 1.5492 1.6125 1.6733 1.7321二、二、高阶高阶和隐式和隐式Runge-Kutta方法方法注注：对于显式对于显式N级级R-K方法，最多只能得到方法，最多只能得到N级方法；级方法；N 1,2,3,4 5,6,7 8,910,11,N N-1 N-2已经证明已经证明N级级R-K方法的方法的阶阶 具有下列关具有下列关系：系：若要得到若要得到N阶以上方法，则使用阶以上方法，则使用N级隐式级隐式R-K方法方法 N级隐式级隐式R-K方法的一般形式：方法的一般形式：N级隐式级隐式R-K法法可以达到可以达到2N阶阶(1)(1)一一级级二阶二阶的隐式的隐式中点中点方法：方法：(2)(2)二二级级四阶四阶的隐式的隐式R-K方法：方法：三、三、变步长变步长方法方法基本基本思想思想：根据精度：根据精度自动自动地选择地选择步长步长对于对于经典经典Runge-Kutta方法：方法：Step1:设从设从 出发，以出发，以 为步长，经过为步长，经过一步一步计算得到计算得到Step2:取取 为步长，再从为步长，再从 出发，经过出发，经过两步两步计算得到计算得到记记如果如果 ，则将步长，则将步长折半折半进行计算，直到进行计算，直到 为止为止此时取此时取 为最终结果；为最终结果；如果如果 ，则将步长，则将步长加倍加倍进行计算，直到进行计算，直到 为止为止此时将步长此时将步长折半折半一次计算，得到的为最终结果。一次计算，得到的为最终结果。一、一、收敛性收敛性/*Convergence*/3 单步法的单步法的收敛性收敛性、相容性相容性和和绝对稳定性绝对稳定性对于初值问题对于初值问题 的一种的一种单步法单步法 产生的近似解，如果产生的近似解，如果 对于任一对于任一固定固定的的 ，均有，均有 ，则称该单步法是则称该单步法是收敛收敛的。的。类似地可以定义类似地可以定义隐式隐式单步法、多步法（单步法、多步法（4）的）的收敛性收敛性设初值问题（设初值问题（*）对应的下列）对应的下列单步法单步法是是 阶的，阶的，且函数且函数 满足对满足对 的的Lipschitz条件，即存在常数条件，即存在常数则该则该单步法单步法是收敛的，且是收敛的，且证明：证明：记记由由截断截断误差的定义误差的定义因为因为单步法单步法是是 阶的：阶的：满足满足其中其中二、二、绝对稳定性绝对稳定性 /*Absolute Stibility*/计算过程中产生的计算过程中产生的舍入误差舍入误差对计算结果的影响对计算结果的影响首先以首先以Euler公式为例，来讨论一下公式为例，来讨论一下舍入误差舍入误差的传播的传播:设设实际实际计算得到的点计算得到的点 的的近似近似函数值为函数值为 ，其中其中 为为精确值精确值，为误差为误差如果如果 ，则误差是，则误差是不增不增的，故可认的，故可认为是为是稳定稳定的的例如：例如：对于初值问题对于初值问题精确解精确解为为而而实际求解实际求解的初值问题为的初值问题为精确解精确解为为在在 处的误差处的误差为为可见误差随着可见误差随着 的增加呈的增加呈指数函数指数函数增增长长如果初值问题为如果初值问题为精确解精确解为为实际求解实际求解的初值问题为的初值问题为精确解精确解为为在在 处的误差处的误差为为可见误差随着可见误差随着 的增加呈的增加呈指数函数指数函数递递减减当当 时，微分方程是时，微分方程是不稳定不稳定的；的；而而 时，微分方程是时，微分方程是稳定稳定的。的。上面讨论的上面讨论的稳定性稳定性，与，与数值方法数值方法和方程中和方程中 有关有关实验实验方程：方程：对单步法对单步法 应用应用实验实验方程，方程，如果如果 ，当，当 时，则称该时，则称该单步法是单步法是绝对稳定绝对稳定的，在复平面上复变量的，在复平面上复变量 满满足足的区域，称为该单步法的绝对稳定的区域，称为该单步法的绝对稳定域域，它与它与实轴实轴的的交集交集称为绝对稳定称为绝对稳定区间区间。若单步法是若单步法是 阶的，则阶的，则由由实验实验方程可得：方程可得：例例3：分别求分别求Euler法和法和经典的经典的R-K法的法的绝对稳定绝对稳定区间区间。解：解：Euler公式：公式：将其应用于将其应用于实验实验方程方程绝对稳定绝对稳定域：域：当当 时，时，绝对稳定绝对稳定区间：区间：经典的经典的R-K公式：公式：当当 时，时，绝对稳定绝对稳定区间：区间：可以证明：可以证明：存在唯一存在唯一极小值点极小值点由由 得得例例4：求求梯形梯形公式（公式（隐式隐式方法）方法）的的绝对稳定绝对稳定区间区间。解：解：梯形梯形公式：公式：将其应用于将其应用于实验实验方程方程当当 时，时，绝对稳定绝对稳定区间：区间：