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偏微分方程数值解偏微分方程数值解(Numerical Solution of Partial Differential Equations)主讲：王曰朋主讲：王曰朋1参考数目1.George J.Haltiner,Roger Terry Williams,Numerical Prediction and Dynamic Meteorology(2nd Edition),the United States of America,1979.2.Curtis F.Gerald and Patrick O.,Applied Numerical Analysis,Person Education,Inc.,2004.3.Eugenia Kalnay,Atmospheric Modeling,Data Assimilation and Predictability,the press Syndicate of the University of Cambridge,2003.4.Arieh Iserles,A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations,Cambridge University Press,1996.5.李荣华，冯国忱.微分方程数值解.北京：人民教育出版社，1980.6.徐长发，李红.实用偏微分方程数值解法.华中科技大学出版社，2003.7.沈桐立，田永祥等.数值天气预报.北京：气象出版社，2007.2数值天气预报PDE数值解1.挪威气象学家V.Bjerknes（1904）提出数值预报的思想：通过求解一组方程的初值问题可以预报将来某个时刻的天气思想；2.L.F.Richardson(1922)：开创了利用数值积分进行预报天气的先例，由于一些原因（如，计算稳定性问题“Courant,1928”）并没有取得预期的效果尝试；3.Charney,Fjortoft,and Von Neumann(1950),借助于Princeton大学的的计算机(ENIAC)，利用一个简单的正压涡度方程（C.G.Rossby,1940）对500mb的天气形式作了24小时预报-成功；3The Electronic Numerical Integrator and Computer(ENIAC).4常微分方程的数值解大气科学中常微分方程和偏微分方程的关系 1.大气行星边界层(近地面具有湍流运动特性的大气薄层,11.5km),埃克曼（V.W.Ekman）（瑞典）螺线的导出；2.1963年，美国气象学家Lorenz在研究热对流的不稳定问题时，使用高截断的谱方法，由Boussinesq流体的闭合方程组得到了一个完全确定的三阶常微分方程组，即著名的Lorenz系统。5Lorenz系统dx/dt=a(y-x)dy/dt=x(b-z)-y dz/dt=xy-c z 其中，a=10,(Prandtl number);b=28(Rayleigh number);c=8/3;(x,y,z)_0=(0.01;0.01;1e-10)678910Franceshini 将Navier-Stokes方程截断为五维的截谱模型如下：11欧拉法折线法常微分方程能直接进行积分的是少数，而多数是借助于计算机来求常微分方程的近似解；有限差分法是常微分方程中数值解法中通 常有效的方法；建立差分算法的两个基本的步骤：1.建立差分格式，包括：a.对解的存在域剖分；b.采用不同的算法可得到不同的逼近误差截断误差（相容性）；c.数值解对真解的精度整体截断误差（收敛性）；d.数值解收敛于真解的速度；e.差分算法舍人误差（稳定性）.122.差分格式求解将积分方程通过差分方程转化为代数方程求解，一般常用递推算法。在常微分方程差分法中最简单的方法是Euler方法，尽管在计算中不会使用，但从中可领悟到建立差分格式的技术路线，下面将对其作详细介绍:13差分方法的基本思想“就是以差商代替微商”考虑如下两个Taylor公式：（1）（2）从（1）得到：14从（2）得到：从（1）-（2）得到：从（1）+（2）得到：15对经典的初值问题满足Lipschitz条件保证了方程组的初值问题有唯一解。16一、算法构造：0tuT1.在求解域上等距离分割：2.在 有：微分方程的精确解差分方程的精确解173.应用时采用如下递推方式计算：4.例题对初值问题用Euler法求解，用即，185.Euler法的几何意义0t在递推的每一步，设定过点作 的切线，该切线的方程为：即：19二、误差分析构造算法后，这一算法在实际中是否可行呢？也就是说是否使计算机仿真而不失真，这还需要进一步分析。1.局部截断误差-相容性为了分析分析数值方法的精确度，常常在成立的假定下，估计误差这种误差称为“局部截断误差”，如图。局部截断误差是以点的精确解为出发值，用数值方法推进到下一个点而产生的误差。20整体截断误差是以点的初始值为出发值，用数值方法推进i+1步到点，所得的近似值 与精确值 的偏差：2.整体截断误差收敛性称为整体截断误差。21特例，若不计初始误差，即则即3.舍入误差稳定性假设一个计算机仅表示4个数字（小数点后面），那么计算22我们的要求是：最初产生的小误差在以后的计算中虽然会传递下去，但不会无限制的扩大，这就是稳定性所描述的问题。下面引进稳定性的概念：设由初值得到精确解 ，由初值得到精确解 ，若存在常数和充分小的步长使得则称数值方法是稳定的。tu023计算例题其解析解为：x=0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000y=1.0000 1.2000 1.3733 1.5315 1.6811 1.82692425三、改进的Euler法将微分方程在区间上积分，得到用梯形法计算积分的近似值，有于是这是一个隐式格式，一般需要用迭代法来求 ，而用显式的Euler法提供初值。26为了简化计算的过程，在此基础上进一步变为如下算法：此式称为“改进的Euler法。接下来讨论其几何意义预估校正其局部截断误差为这个问题将在下节讨论。27tu028Euler法、改进的Euler法和解析解的比较29四、（龙格-库塔）Runge-Kutta方法简单的Euler法是建立在Taylor级数的一项展开；改进的Euler法是以两项Taylor级数为基础建立的，如：如果我们截取Taylor级数的更多项会得到什么样的求解方法呢？两个德国数学家（C.Runge&M.kutta）以这种思想为基础建立了求解微分方程的龙格-库塔方法。它是常微分方程数值解法中使用最为广泛的方法之一。30一般地，一个K阶的Runge-Kutta方法可用下面的公式表示：其中，是待定的加权系数，是待定的系数。Euler法就是的R-K法。其系数的确定如下：将展开成的幂级数，并与微分方程的精确解在点的Taylor展开式相比较，使两者的前项相同，这样确定的R-K法，其局部截断误差为，根据所得关于待定系数的方程组，求出它们的值后代入公式，就成为一个阶R-K方法。31例题以二阶R-K法为例说明上述过程把代入中，有32经比较得到取 为自由参数：从而得到不同的但都是二阶的R-K方法，对应的有中点法、Heun（亨）法以及改进的Euler法。33基于相同的过程，通过比较五次Taylor多项式，得到更加复杂的结果，给出了包含13个未知数的11个方程。得到多组系数，其中常用的是以下四阶R-K法：改进的Euler法、R-K法以及解析解的比较：3435五、线性多步（Linear Multistep Method）法1.预备知识：插值多项式插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。从几何上理解：对一维而言，已知平面上n1个不同点，要寻找一条n次多项式曲线通过这些点。插值多项式一般常见的是拉格朗日插值多项式。2.气象应用不均匀站点上的气象要素数据均匀网格点上的数据插值 3.拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式逼近可能是求插值节点不均匀的插值多项式的最简单的方法。实验观察结果或原始测量数据的分布通常是非均匀的。例如，四个点可以确定一个三次多项式，其拉格朗日形式为：364.Adams-Bashforth（阿达姆斯贝雪福斯）公式首先，用以下四个点对进行三次Langrage插值：则于是，有容易算出，例如，我们可以算得*2*137将（*2）代入（*1）得到Adams-Bashforth公式：基于同样的计算过程，可以得到另外一个计算公式：这称为Adams-Moulto公式。预估校正38偏微分方程数值解主讲：王曰朋39一、区域的离散1.2.3.40则函数可表示为：二、1.（一维）一、二阶导数的有限差分近似表达式412.（二维）一、二阶偏导数的有限差分近似423.抛物型方程抛物型方程初条：精确解为（以热传导或磁扩散方程为例）（以热传导或磁扩散方程为例）初值问题不论初始分布如何集中，它总在瞬间影响于无穷远，虽该影响随距离按指数衰减，然而它是以无限速度传播。此乃抛物型方程解的特征。43三、热传导方程（抛物方程）1.热传导方程的介绍2.离散化（1）向前差分格式：44计算：这是一个显式格式（四点格式）每一层各个节点上的值是通过一个方程组求解得到的。这可以从下面的计算过程看出来。45系数矩阵为46计算实例：47482.向后差分格式当知道第n层上的 时，要确定第n+1层上各点值 必须通过求解一个线性代数方程组。49其矩阵表达式如下：50这是一个古典四点向后差分格式。计算实例51523.Crank-Nicolson格式，亦称六点对称格式5354554.Richardson格式这是一个五点三层差分显式格式56讨论：假若由于 的作用，导致差分方程的近似解设为：于是，我们可得到差分格式的误差方程如下：xtRichardson格式是不稳定的。575.稳定性判别 Von-Neumann 稳定性在判断有限差分近似的稳定性方法中，以Von-Neumann方法使用较为广泛，它仅适用于线性常系数的有限差分近似。其过程如下：首先，要研究的差分方程可写为：如，其次，对进行变量分离：58最后将代入所考察的有限差分方程。定义为放大系数59下面说明，在什么条件下能使对所有的成立。从上式，我们看出，60.交替显隐式格式（）显式预测隐式校正格式在n+1/2层上用古典显式格式计算出过度值，再在n+1层上用古典隐格式校正预测值，即：61(2).跳点格式首先将网格点（j,n）按j+n等于偶数或奇数分成两组，分别称为偶数网点和奇数网点。从 到的计算过程中，先在偶数网格点上用古典显式格式计算，再在奇数网点上用古典隐格式计算，即：62三三 双曲型方程双曲型方程（a）一阶常系数线性双曲型方程（b）二阶常系数线性双曲型方程（波动方程）其中a为常数主要对象主要对象主要对象主要对象为为 这些方程的定解条件，可仅有初始条件，也可以有初始条件和边界条件。其中a为常数 同椭圆型方程与抛物型方程相比，双曲型方程差分格式的性质与定解问题解析解的性质有更密切的关系。631 1 一阶线性双曲型方程一阶线性双曲型方程一阶线性双曲型方程一阶线性双曲型方程（1 1）初值问题初值问题初值问题初值问题考虑 由于u(x,t)沿x-t平面上方向为dx/dt=a的直线 xat=C（C为常数）的变化率为0，即故沿x-t平面上任一条斜率为1/a的直线xat=C，u(x,t)为常数。平行直线族xat=C就是方程(3.1)的特征线。(3.2)(3.1)64 利用特征线，可以求出初值问题(3.1)、(3.2)的解：由于u(x,t)在点 处的值依赖与(x)在点 的值，故初始线t=0上的点 称为解u(x,t)在点 的依赖区域。与抛物型方程求解类似，对x-t平面进行矩形网格剖分，x方向的步长为h，t方向的步长为，网点 简记为(j,k)。65（1 1）偏心格式和中心差分格式偏心格式和中心差分格式偏心格式和中心差分格式偏心格式和中心差分格式对方程(3.1)，利用差商代替导数的方法，可得 前两个格式的局部截断误差阶为 ，分别称为左、右偏心格式。第三个格式的截断误差阶为 ，它称为中心差分格式。其中即66 从差分格式依赖区域和微分方程依赖区域的关系，可以得到差分格式收敛的必要条件：差分格式差分格式差分格式差分格式的依赖区域包含微分方程的依赖区的依赖区域包含微分方程的依赖区的依赖区域包含微分方程的依赖区的依赖区域包含微分方程的依赖区域（也域（也域（也域（也称为称为称为称为CFLCFL条件）。条件）。条件）。条件）。对于左偏心格式，CFL条件为：a0，且 。对于右偏心格式，CFL条件为：a0（或a0，上网点A(j1,k)，B(j,k)，C(j+1,k)处的解值已经算出，从点P(j,k+1)作特征线，它与线段AB交于点 D。（2 2）LaxLax格式格式格式格式PCBA D由u(p)=u(D)，有这样，得到Lax格式：当 ，Lax格式稳定，截断误差阶为 。68（3 3）LaxLaxWendroffWendroff格式格式格式格式 对方程(3.1)，利用特征线作二次插值，即可得到LaxWendroff格式：当 ，LaxWendroff格式稳定，它的截断误差阶为 。69应该注意：边值条件的给法与其它两类方程不同。如果 a0，方程特征线向右倾，只能在 x变化区域的左边界上给出边界条件：（2 2）初边值问题初边值问题初边值问题初边值问题 如果 a0，方程特征线向左倾，只能在 x变化区域的右边界上给出边界条件，即使 x 的变化区域为0 x d，也只能给出边界条件：a0XOY0 x0，考虑下面模型问题：前面建立的几个显格式，都适用于这个问题。下面建立隐格式。71连同初始条件与边界条件：（1 1）最简隐格式）最简隐格式）最简隐格式）最简隐格式该格式的局部截断误差阶为 。令 ，格式可改写为该格式可在0 x,t 内所有网点上显示地计算解之近似值。72 然后用中心差商逼近这些导数值，则可得到Wendroff格式：在点 处，用（2 2）WendroffWendroff格式格式格式格式PCHADGFBE73连同初始条件与边界条件：该格式的局部截断误差阶为 ，且无条件稳定。令 ，格式可改写为该格式可在0 x,t 内所有网点上显示地计算解之近似值。742 2 二阶线性双曲型方程（波动方程）二阶线性双曲型方程（波动方程）二阶线性双曲型方程（波动方程）二阶线性双曲型方程（波动方程）考察 对x-t平面进行矩形网格剖分，x方向的步长为h，t方向的步长为，网点 简记为(j,k)。用二阶中心差商代替(3.3)中的二阶导数，则得到网点(j,k)处的差分方程：(3.3)(3.4)其中 。或 75该格式稳定的充分条件为 。初始条件离散：初始条件 离散：由消去 ，得 上述差分格式与初始条件的截断误差阶均为 。取为76上述方法也可用于求解初边值问题：3 3 交替方向隐格式交替方向隐格式交替方向隐格式交替方向隐格式77 任何模拟方法，都必须在最佳计算速任何模拟方法，都必须在最佳计算速度和数值精度之间寻找平衡点。度和数值精度之间寻找平衡点。要在各种可能的求解方法中找到一种要在各种可能的求解方法中找到一种统一地适用于计算材料学领域（或其它领统一地适用于计算材料学领域（或其它领域）的理想方法，一般是不现实的。域）的理想方法，一般是不现实的。由于实际问题的具体特征、复杂性以由于实际问题的具体特征、复杂性以及算法自身的适用范围决定了应用中必须及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想至关重要。因而掌握数值方法的思想至关重要。科学计算（数值模拟）已经被公认为科学计算（数值模拟）已经被公认为与理论分析、实验分析并列的科学研究三与理论分析、实验分析并列的科学研究三大基本手段之一，但三者之间相辅相成。大基本手段之一，但三者之间相辅相成。787980第三部分第三部分 偏微分方程的有限元方法偏微分方程的有限元方法一一 边值问题的变分原理边值问题的变分原理1 1 引论引论引论引论模型：模型：模型：模型：在条件下求使得泛函达到最大的函数 。（1 1）等周问题）等周问题）等周问题）等周问题 在长度一定的所有平面封闭曲线中，求所围面积为最大的曲线。81定义：定义：定义：定义：当求泛函在一个函数集合K中的极小（或极大）问题，则该问题称为变分问题。变分问题与微分方程的定解问题有一变分问题与微分方程的定解问题有一变分问题与微分方程的定解问题有一变分问题与微分方程的定解问题有一定的联系。定的联系。定的联系。定的联系。（2 2）初等变分原理）初等变分原理）初等变分原理）初等变分原理 一元二次函数的变分原理一元二次函数的变分原理一元二次函数的变分原理一元二次函数的变分原理考察J(x)的极值情况。变分原理：变分原理：变分原理：变分原理：设求 ，使与求解方程 Lx=f 等价。82对称正定 多元二次函数的变分原理多元二次函数的变分原理多元二次函数的变分原理多元二次函数的变分原理求J(x)取极小值的驻点，其中 设设 则J(x)可表示为：83变分原理：变分原理：变分原理：变分原理：设矩阵A对称正定，则下列两个命题等价：求 ，使(a)(b)是方程 的解上述两个例子表明上述两个例子表明上述两个例子表明上述两个例子表明：其中 求二次函数的极小值问题和求线性代数求二次函数的极小值问题和求线性代数求二次函数的极小值问题和求线性代数求二次函数的极小值问题和求线性代数方程（组）的解是等价的方程（组）的解是等价的方程（组）的解是等价的方程（组）的解是等价的。84（1 1）弦平衡的平衡原理与极小位能原理）弦平衡的平衡原理与极小位能原理）弦平衡的平衡原理与极小位能原理）弦平衡的平衡原理与极小位能原理2 2 两点边值问题的变分原理两点边值问题的变分原理两点边值问题的变分原理两点边值问题的变分原理 考察一根长为 l 的弦，两端固定在点 A(0,0)和B(l,0)。当没有外力作用时，它的位置沿水平方向与X轴重合。设有强度为f(x)的外荷载垂直向下作用在弦上，于是弦发生形变。假定荷载很小，因而发生的形变也很小。用 u(x)表示在荷载f(x)的作用下弦的平衡位置。85求弦的平衡位置归结为求解两点边值问题：设弦处于某一位置u=u(x)，可得到其总位能为 极小位能原理极小位能原理极小位能原理极小位能原理：其中T是弦的张力。平衡原理平衡原理平衡原理平衡原理 弦的平衡位置(记为 )将在满足边值条件 u(0)=0，u(l)=0 的一切可能位置中，使位能取极小值。弦的平衡位置 是下列变分问题的解86 在数学上，要将某个微分方程的定解问题转化为一个变分问题求解，必须针对已给的定解问题构造一个相应的泛函，并证明定解问题的解与泛函极值问题的解等价。有限元方法正是利用这种等价性（边值问有限元方法正是利用这种等价性（边值问有限元方法正是利用这种等价性（边值问有限元方法正是利用这种等价性（边值问题与变分问题的等价性），先将微分方程定解题与变分问题的等价性），先将微分方程定解题与变分问题的等价性），先将微分方程定解题与变分问题的等价性），先将微分方程定解问题转化为变分问题（或变分方程）的求解问问题转化为变分问题（或变分方程）的求解问问题转化为变分问题（或变分方程）的求解问问题转化为变分问题（或变分方程）的求解问题，然后再设法近似求解变分问题（或变分方题，然后再设法近似求解变分问题（或变分方题，然后再设法近似求解变分问题（或变分方题，然后再设法近似求解变分问题（或变分方程）。程）。程）。程）。87（2 2）两点边值问题的变分原理）两点边值问题的变分原理）两点边值问题的变分原理）两点边值问题的变分原理 构造泛函构造泛函构造泛函构造泛函考察二阶常微分方程边值问题：引入泛函算子则88 变分问题变分问题变分问题变分问题 与前述二阶常微分方程边值问题相应的变分问题是其中求 ，使89 变分原理（变分问题与边值问题的等价性）变分原理（变分问题与边值问题的等价性）变分原理（变分问题与边值问题的等价性）变分原理（变分问题与边值问题的等价性）设 ，是边值问题的解，则 使 J(u)达到极小值；反之，若 使 J(u)达到极小值，则 是边值问题的解。其中 是强制边界条件，是自然边界条件，区别这两类边界条件在用有限元方法求解边值问题时很重要。90（3 3）虚功原理）虚功原理）虚功原理）虚功原理对两点边值问题：其中虚功原理虚功原理虚功原理虚功原理，且满足变分方程：设 ，以v乘方程两端，沿a,b积分，并利用 ，得变分方程对任意在力学里，表示虚功设 ，则 是边值问题解的充要条件是：91 对于复杂的边界条件，边值问题的求解一对于复杂的边界条件，边值问题的求解一对于复杂的边界条件，边值问题的求解一对于复杂的边界条件，边值问题的求解一般是困难的般是困难的般是困难的般是困难的。若将微分方程化为相应的变分问题或变分方程，则只需处理强加边界条件，无需处理自然边界条件（自然边界条件已包含于变分问题中泛函的构造或已包含于给出的变分方程之中）。这一特点对研究微分方程离散化方法及其数值解带来了极大的方便。923 3 二阶椭圆边值问题的变分原理二阶椭圆边值问题的变分原理二阶椭圆边值问题的变分原理二阶椭圆边值问题的变分原理（1 1）极小位能原理）极小位能原理）极小位能原理）极小位能原理模型方程其中G是平面有界区域。构造泛函构造泛函构造泛函构造泛函引入泛函算子则93 变分问题变分问题变分问题变分问题与前述二阶椭圆边值问题相应的变分问题是求 ，使其中94 变分原理（变分问题与边值问题的等价性）变分原理（变分问题与边值问题的等价性）变分原理（变分问题与边值问题的等价性）变分原理（变分问题与边值问题的等价性）对第一边值问题，无论齐次或非齐次边界条第一边值问题，无论齐次或非齐次边界条第一边值问题，无论齐次或非齐次边界条第一边值问题，无论齐次或非齐次边界条件件件件，泛函是一样的，只是边界条件要作为强加边值条件加在所取的函数类上。设 ，是二阶椭圆边值问题的解，则 使 J(u)达到极小值；反之，若 使 J(u)达到极小值，则 是二阶椭圆边值问题的解。其中 对第二、三类边值问题，无论齐次或非齐次第二、三类边值问题，无论齐次或非齐次第二、三类边值问题，无论齐次或非齐次第二、三类边值问题，无论齐次或非齐次边界条件边界条件边界条件边界条件，二次泛函形式相对于第一边值问题有所改变，但函数类的选取与边界条件无关。95（2 2）虚功原理）虚功原理）虚功原理）虚功原理问题其中 设 ，以v乘方程两端后在G上积分，并利用Green公式，得变分方程96虚功原理虚功原理虚功原理虚功原理在力学里，表示虚功 设 是边值问题的解，则对任意 ，满足变分方程。反之，若 ，且对任意 满足变分方程，则 为边值问题的解。与极小位能原理类似，第一类边界条件为强加边界条件，第二、三类边界条件为自然边界条件。虚功原理比极小位能原理应用更广。97目的目的目的目的：求解相应的变分问题或相应的变分方程。RitzRitz方法是近似求解变分问题方法是近似求解变分问题方法是近似求解变分问题方法是近似求解变分问题(即二次泛函极即二次泛函极即二次泛函极即二次泛函极小值小值小值小值)的算法。的算法。的算法。的算法。GalerkinGalerkin方法是近似求解变分方程方法是近似求解变分方程方法是近似求解变分方程方法是近似求解变分方程的算法，的算法，的算法，的算法，这两种算法统称为Ritz-Galerkin方法。Ritz-Ritz-GalerkinGalerkin方法的方法的方法的方法的基本思想基本思想基本思想基本思想 以下用V表示 等Sobolev空间，L表示微分算子，(u,v)为由L及边值条件决定的双线性泛函。4 Ritz-4 Ritz-GalerkinGalerkin方法方法方法方法 用有限维空间的函数代替变分问题(或变分方程)中无限维空间的函数，从而在有限维函数空间中求变分问题(或变分方程)的近似解，并要求当有限维空间的维数不断增加时，有限维近似解逼近原变分问题(或变分方程)的解。98由极小位能原理得出的变分问题为：RitzRitz方法：求变分问题的近似解。方法：求变分问题的近似解。方法：求变分问题的近似解。方法：求变分问题的近似解。（1 1）RitzRitz方法方法方法方法求 ，使其中 ，设 是V 的n维子空间，是 的一组基底(称为基函数)。中任一元素 可表示为即选择适当的 ，使 取极小值。求 ，使RitzRitz方法方法方法方法：99展开令则 满足解出 代入 ，则得100RitzRitz方法步骤为：方法步骤为：方法步骤为：方法步骤为：根据最小位能原理构造相应于微分方程或物 理问题的变分问题；取 作为 的一组基底，即用 近似代替无穷维空间V；根据二次函数取极值的必要条件，得到 中 所满足的方程组：求解关于 的线性代数方程组。101由虚功原理得出的变分方程为：GalerkinGalerkin方法：求变分方程的近似解。方法：求变分方程的近似解。方法：求变分方程的近似解。方法：求变分方程的近似解。（2 2）GalerkinGalerkin方法方法方法方法 设 是V 的n维子空间，是 的一组基底(称为基函数)。中任一元素 可表示为即选择适当的 ，使 取极小值。GalerkinGalerkin方法方法方法方法：求 ，使对 ，满足102由 的任意性，取 作为v，则得将 代入变分方程，则解出 代入 ，则得103GalerkinGalerkin步骤为：步骤为：步骤为：步骤为：根据虚功原理构造相应于微分方程或物理问 题的变分方程；取 作为 的一组基底，即用 近似代替无穷维空间V；求解关于 的线性代数方程组。取 作为v，将 代 入变分方程，得到 满足的方程组：104有限元法广泛应用的原因有限元法广泛应用的原因有限元法广泛应用的原因有限元法广泛应用的原因Ritz-Ritz-GalerkinGalerkin方法应用的困难方法应用的困难方法应用的困难方法应用的困难 基函数选取必须满足强加边界条件，因此 选取困难；计算量、存储量巨大；方程组求解病态严重。充分发挥了变分形式和Ritz-Galerkin方法的 优点；摆脱了传统的基函数取法；各种问题的结构程序格式统一。105 有限元方法基于变分原理，又具有差分方法的一些特点，并且适于较复杂的区域和不同粗细的网格。二二 椭圆型方程的有限元方法椭圆型方程的有限元方法 差分法解偏微分方程，解得的结果就是准确解u在节点上的近似值；Ritz-Galerkin方法得到近似的解析解，但对一般区域，却往往难以实现。有限元方法与传统Ritz-Galerkin方法的差别在于有限维函数空间的构造方法。Ritz-Ritz-GalerkinGalerkin方法方法方法方法选用的基函数在整个定解区域上整体光滑，有限选用的基函数在整个定解区域上整体光滑，有限选用的基函数在整个定解区域上整体光滑，有限选用的基函数在整个定解区域上整体光滑，有限元则取分段或分片连续且局部非零的基函数元则取分段或分片连续且局部非零的基函数元则取分段或分片连续且局部非零的基函数元则取分段或分片连续且局部非零的基函数。106考虑两点边值问题：1 1 一维问题的线性元一维问题的线性元一维问题的线性元一维问题的线性元 将区间a,b分割为n个子区间 。第i个单元记为 ，其长度 。（1 1）试探函数与试探函数空间）试探函数与试探函数空间）试探函数与试探函数空间）试探函数与试探函数空间设则 称为试探函数空间，称为试探函数。107（2 2）用单元形状函数表示试探函数用单元形状函数表示试探函数用单元形状函数表示试探函数用单元形状函数表示试探函数设在节点上试探函数 在节点上的一组值为最简单的试探函数空间 由分段线性函数组成。在第i个单元 上的线性插值函数为即 当 时，的（线性）插值公式称为（线性）单元形状函数。108 把每个单元形状函数合并起来，就得到整个区间a,b 上都有定义的函数 ：109为使分段插值标准化，通常用仿射变换显然把 变到 ，令则变为或110定义基函数系（3 3）用节点基函数表示试探函数用节点基函数表示试探函数用节点基函数表示试探函数用节点基函数表示试探函数111 线性无关，它们可组成试探函数空间的基，常称为节点基函数。几何形状如图ab任一试探函数 可表示为 用这类插值型基函数，可以构造出适合各种边界条件的试探函数。112若借助前述放射变换节点基函数可用变量表示为113 直接形成有限元方程直接形成有限元方程直接形成有限元方程直接形成有限元方程(a)把表达式 代入泛函；（4 4）从）从）从）从RitzRitz方法出发形成有限元方程方法出发形成有限元方程方法出发形成有限元方程方法出发形成有限元方程(b)将泛函表达式中积分区间a,b变到0,1；(c)由 达到极小值的条件得到含 的有限元方程有限元方程有限元方程有限元方程这儿(d)解出有限元方程的数值解 ，就得到使二次泛函取极小的近似函数(有限元解)114有限元方程可用矩阵表示为其中称为总刚矩阵。115 工程中形成有限元方程时，通常先在每个单元上形成单元矩阵（称为单元刚度矩阵），然后由单元刚度矩阵形成总刚度矩阵（称为总体合成）。用单元刚度分析形成有限元方程用单元刚度分析形成有限元方程用单元刚度分析形成有限元方程用单元刚度分析形成有限元方程(a)把 按单元组织，则在第i个单元上，令其中 称为单元刚度矩阵。各元素可计算得到。116 再把 扩展成nn矩阵，使其第i1行、第i行和第i1列、第i列交叉位置的元素就是单元刚度矩阵的四个元素，其余全为零（只是第一行，第一列元素非零）。即记则其中 称为总刚矩阵。117(b)由 达到极小值的条件(c)解出有限元方程的数值解 ，就得到使二次泛函取极小的近似函数(有限元解)得到有限元方程有限元方程有限元方程有限元方程 。118（5 5）从）从）从）从GalerkinGalerkin方法出发形成有限元方程方法出发形成有限元方程方法出发形成有限元方程方法出发形成有限元方程把表达式 代入变分方程对前面的两点边值问题，变分方程变为其中 与与与与RitzRitz方法相比，方法相比，方法相比，方法相比，GalerkinGalerkin方法形成的有限方法形成的有限方法形成的有限方法形成的有限元方程其系数矩阵就是总刚矩阵。元方程其系数矩阵就是总刚矩阵。元方程其系数矩阵就是总刚矩阵。元方程其系数矩阵就是总刚矩阵。该方程即为Galerkin法形成的有限元方程有限元方程有限元方程有限元方程。由由由由GalerkinGalerkin方法推导有限元方程更加方便直方法推导有限元方程更加方便直方法推导有限元方程更加方便直方法推导有限元方程更加方便直接，且适用面广。接，且适用面广。接，且适用面广。接，且适用面广。119 若希望在每个单元上提高逼近的精确度，则若希望在每个单元上提高逼近的精确度，则若希望在每个单元上提高逼近的精确度，则若希望在每个单元上提高逼近的精确度，则可通过提高插值多项式次数来实现，可通过提高插值多项式次数来实现，可通过提高插值多项式次数来实现，可通过提高插值多项式次数来实现，在单元 上可构造一、二、三及高次插值多项式，其方法有两种方法有两种方法有两种方法有两种：2 2 一维问题的高次元一维问题的高次元一维问题的高次元一维问题的高次元 整个问题计算的全过程除分析单元插值外，整个问题计算的全过程除分析单元插值外，整个问题计算的全过程除分析单元插值外，整个问题计算的全过程除分析单元插值外，均与前面框架类似。均与前面框架类似。均与前面框架类似。均与前面框架类似。LagrangeLagrange型型型型：在单元内部增加一些插值节点。HermiteHermite型型型型：在节点引进一阶、二阶乃至更高阶导数。120 线性元线性元线性元线性元(Lagrange(Lagrange型型型型)要求要求要求要求：在每一个单元上是一次多项式，在单元节点处连续。插值条件插值条件插值条件插值条件：在单元的两个端点取指定值。二次元二次元二次元二次元 (Lagrange(Lagrange型型型型)要求要求要求要求：在每一个单元上是二次多项式，在单元节点处连续。插值条件插值条件插值条件插值条件：在单元的两个端点及单元中点取指定值。三次元（三次元（三次元（三次元（HermiteHermite型）型）型）型）要求要求要求要求：在每一个单元上是三次多项式，在单元节点处连续。插值条件插值条件插值条件插值条件：在两个端点取指定的函数值和一阶导数值。121 采用高次元，有限元方程形成的方法和线性元类似，但工作量增加。一是计算积分的复杂性增加，二是矩阵的带宽增加。高次元的主要优点是收敛阶高，且提高了函数逼近的光滑性。122 假定区域G可以分割成有限个矩形的和，且每个小矩形（单元）的边和坐标轴平行。3 3 二维问题的矩形元二维问题的矩形元二维问题的矩形元二维问题的矩形元通过仿射变换采用矩形剖分后，任一个矩形总可变成单位正方形 如果在 上造出单元形状函数，就可得到试探函数 。而 上的形状函数可通过先在 上造出形状函数，再通过仿射变化而得到。123 在上构造形状函数，也采用Lagrange型和Hermite型插值。LagrangeLagrange型型型型：根据若干插值节点处的函数值决定插值函数。HermiteHermite型：型：型：型：根据若干插值节点处的函数值、一阶偏导数乃至更高阶偏导数决定插值函数。124（1 1）LagrangeLagrange型公式型公式型公式型公式 双一次插值双一次插值双一次插值双一次插值插值条件插值条件插值条件插值条件：给定 顶点上的函数值求求求求：双线性函数满足设令由 为双线性函数，可求得125令则 通过仿射变换消去、，就得到 上的形状函数。把这些函数按单元叠加，即对所有单元求和，就得到G上的试探函数。实际计算时，并不消去中间变量、，因为计算刚度矩阵元素（定积分）用、作自变量更为方便。126插值条件插值条件插值条件插值条件：给定II上九个插值节点(0,0)、(1/2,0)、(1,0)、(0,1/2)、(1/2,1/2)、(1,1/2)、(0,1)、(1/2,1)、(1,1)的函数值。求求求求：双二次函数满足 双二次插值双二次插值双二次插值双二次插值127故 通过仿射变换消去、，就得到 上的形状函数。令由 为二次函数，可求得设128插值条件插值条件插值条件插值条件：给定II上十六个插值节点(见图)。求求求求：双三次函数满足设 双三次插值双三次插值双三次插值双三次插值129故令由 为三次函数，可求得130 可以在四个顶点分别给定函数值、两个一阶偏导数的值和二阶混合偏导数的值(共十六条件)，确定一个双三次多项式的十六个系数。（2 2）HermiteHermite型公式型公式型公式型公式 Lagrange型公式中不出现导数，这样的试探函数只属于 。为了得到属于 的试探函数，需要Hermite型插值公式。双三次多项式含有十六项：简单且常用的是不完全的双三次多项式插值。它去掉双三次多项式中的 项。131插值条件插值条件插值条件插值条件：给定II上四个插值节点。求求求求：不完全双三次函数满足四个顶点处 的函数值等于 在该点的函数值；四个顶点处 的值等于 在该点的值；四个顶点处 的值等于 在该点的值。根据仿射变换则可将原插值问题转化为II上的插值问题。132满足四个顶点处 的函数值等于 在该点的函数值；四个顶点处 的值等于 在该点的值乘以x；四个顶点处 的值等于 在该点的值乘以y。插值条件插值条件插值条件插值条件：给定II上四个插值节点(0,0)、(1,0)、(0,1)、(1,1)。求求求求：不完全双三次函数 类似于Lagrange型公式的构造，可以求得 上的形状函数。133 在三角形元的有限元方法中，先将定解区域G化分为若干个小三角形（称作单元）。然后在每个单元上构造插值型函数，并用分片函数（但整体连续的函数）代替变分问题或变分方程中所需求解的函数。4 4 二维问题的三角形元二维问题的三角形元二维问题的三角形元二维问题的三角形元 用有限元求解二维椭圆边值问题时，应用最广的是三角形元。134（1 1）三角剖分）三角剖分）三角剖分）三角剖分