分离变量法求解偏微分方程.ppt

第十章 分离变量法n第一节 有界弦的自由振动n第二节 有限长杆上的热传导n第三节 特殊区域上的位势方程n第四节 高维定解问题的分离变量法n第五节 对非齐次边界条件和非齐次方程的处理第一节 有界弦的自由振动物理解释：一根长为 l 的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动n求解的基本步骤第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解本征值问题X(x)：T(t)：第二步：求本征值 和本征函数 X(x)，以及 T(t)的表达式T(t)的表达式本征值和本征函数第三步：利用初始条件求得定解问题的解利用初始条件得n驻波其中振 幅频 率初相位振动元素，本征振动驻波oln=4n其它边界条件的混合问题两端自由的边界条件左端点自由、右端点固定的边界条件左端点固定、右端点自有的边界条件第三类边界条件的混合问题的求解中遇到的困难n举例-弦的敲击对不同的 c，有界弦的自由振动当 c=0.2l 时，有界弦的自由振动当 c=0.5l 时，有界弦的自由振动n再例-弦的拨动对不同的 d，有界弦的自由振动当 d=0.5l 时，有界弦的自由振动当 d=0.3l 时，有界弦的自由振动第二节 有限长杆上的热传导物理解释：一根长为 l 的均匀细杆，其右端保持绝热，左端保持零度，给定杆内的初始的温度分布，在没有热源的情况下杆在任意时刻的温度分布n求解的基本步骤第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解本征值问题X(x)：T(t)：第二步：求本征值 和本征函数 X(x)，以及 T(t)的表达式T(t)的表达式本征值和本征函数第三步：利用初始条件求得定解问题的解利用初始条件得n举例当 u0=1 时，杆内温度随时间的变化第三节 特殊区域上的位势方程n矩形域上的边值问题 散热片的横截面为一矩形0,a0,b，它的一边 y=b 处于较高的温度，其它三边保持零度。求横截面上的稳恒的温度分布参数选取n圆域内的边值问题 一个半径为a的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边缘的温度分布为已知函数 f(x,y)，求稳恒状态时圆盘内的温度分布ora+2隐含着的周期边值条件和原点约束条件第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和原点约束条件的变量分离形式的解()：R(r)：周期本征值问题欧拉方程第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程第三步：利用边界条件利用边界条件解的约化-Poisson积分公式n举例-观察法第四节 高维定解问题的分离变量法n球域内Laplace方程的边值问题n球域内波动方程的初边混合问题n球域内热传导方程的初边混合问题n球域内Laplace方程的边值问题球面坐标变换隐含着的周期边值条件和球内约束条件第一步：求满足方程、周期边界条件和球内约束条件的变量分离的解R(r)：()：()：R(r)：()：欧拉方程第二步：求R(r)，()和()的具体表达式()：()=(cos-1x)=y(x)：缔合勒让德方程第三步：利用边界条件求解n举例半径为a的球形内部没有电荷，球面上的电势为sin2cossin，求球形区域内部的电势分布n附记：球函数R(r)：Y(,)：球函数球方程n球域内波动方程的初边混合问题第一步：首先将时间变量与空间变量分离开来，即求形如 T(t)：v(x,y,z)：其中 k 是待定常数第二步：求解T(t)第三步：求解v(x,y,z)求如下形式的解 R(r)：Y(,)：球函数球Bessel方程球Bessel函数第四步：利用初始条件求解n球域内热传导方程的初边混合问题n附注对于其它特殊区域上的定解问题我们同样可以利用分离变量法进行求解例如：半球内或外、圆柱上的Laplace方程的边值问题半球内或外、圆柱上的波动方程和热传导的初边混合问题等第五节 对非齐次边界条件和非齐次方程的处理n对非齐次边界条件的处理n叠加原理n对非齐次方程的处理n对非齐次边界条件的处理将非齐次边界条件化为齐次边界条件其中w可以取或n叠加原理n对非齐次方程的处理冲量定理法Fourier级数法nFourier级数法满足齐次边界条件正交完备系预设则有其中n举例-共振当趋向于某个特征频率k，则有这说明当=k时，对应于第k个特征频率k的振动元素的振幅随时间的增加而增大，这种现象称为共振当=5时=2问题：在本例中为什么在=2时不发生共振？=3感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！