资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．函数的零点所在的区间（ ）
A. B.
C. D.
2．如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）
A. B.8
C.6 D.
3．如图，质点在单位圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为2，则点到轴距离关于时间的函数图象大致为（）
A. B.
C. D.
4．已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（）
A.a＜b＜2 B.b＜a＜2
C.2＜a＜b D.2＜b＜a
5．设，且，则（）
A. B.
C. D.
6．若，，，则（）
A. B.
C. D.
7．函数的图象大致是
A. B.
C. D.
8．函数的一个零点是（ ）
A. B.
C. D.
9．已知函数的部分图像如图所示，则正数A值为（）
A. B.
C. D.
10．若函数的定义域和值域都为R，则关于实数a的下列说法中正确的是
A.或3 B.
C.或 D.
11．已知函数f(x)＝设f(0)＝a，则f(a)＝（）
A.－2 B.－1
C. D.0
12．已知集合，，若，则
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知函数，则=_________
14．已知函数(，且)的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则__________.
15．已知角的终边过点，则__________
16．已知函数，则__________
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（元）与时间（天）的函数关系近似满足（为正常数）.该商品的日销售量（个）与时间（天）部分数据如下表所示：
（天）
10
20
25
30
（个）
110
120
125
120
已知第10天该商品的日销售收入为121元.
（I）求的值;
（II）给出以下二种函数模型：
①，②，
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式;
（III）求该商品的日销售收入（元）的最小值.
（函数，在区间上单调递减，在区间上单调递增.性质直接应用.）
18．如图，动物园要建造一面靠墙的两间相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是
用宽（单位）表示所建造的每间熊猫居室的面积（单位）；
怎么设计才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？并求出每间熊猫居室的最大面积？
19．根据下列条件，求直线的方程
(1) 求与直线3x＋4y＋1＝0平行，且过点(1,2)的直线l的方程.
(2) 过两直线3x－2y＋1＝0和x＋3y＋4＝0的交点，且垂直于直线x＋3y＋4＝0.
20．设a>0，且a≠1，解关于x的不等式
21．已知定义在R上的函数
（1）若，判断并证明的单调性；
（2）解关于x的不等式.
22．在①函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，且图象关于原点对称；
②向量，，，；
③函数.在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中空格位置，并解答.已知______，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）若，且，求的值；
（2）求函数在上的单调递减区间.
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、B
【解析】，
，
零点定理知，
的零点在区间上
所以选项是正确的
2、B
【解析】根据斜二测画法得出原图形四边形的性质，然后可计算周长
【详解】由题意，所以原平面图形四边形中，，，，所以，
所以四边形的周长为：
故选：B
3、A
【解析】利用角速度先求出时，的值，然后利用单调性进行判断即可
【详解】因为，
所以由，得，此时，所以排除CD，
当时，越来越小，单调递减，所以排除B，
故选：A
4、D
【解析】先根据判断a接近2，进一步对a进行放缩，，进而通过对数运算性质和基本不等式可以判断a>2；
根据b的结构，构造函数，得出函数的单调性和零点，进而得到a,b的大小关系，最后再判断b和2的大小关系，最终得到答案.
【详解】.
构造函数：，易知函数是R上的减函数，且，由，可知：，又，∴，则a>b.
又∵，∴a>b>2
故选：D.
【点睛】对数函数式比较大小通常借助中间量，除了0和1之外，其它的中间量需要根据题目进行分析，中间会用到指对数的运算性质和放缩法；另外，构造函数利用函数的单调性比较大小是比较常用的一种方法，需要我们对式子的结构进行仔细分析，平常注意归纳总结.
5、C
【解析】将等式变形后，利用二次根式的性质判断出，即可求出的范围.
【详解】
即
故选：C
【点睛】此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据的关系即可求解，属于简单题目.
6、A
【解析】先变形，然后利用指数函数的性质比较大小即可
【详解】，
因为在上为减函数，且，
所以，所以，
故选：A
7、A
【解析】因为2、4是函数的零点，所以排除B、C；
因为时，所以排除D,故选A
8、B
【解析】根据正弦型函数的性质，函数的零点，即时的值，解三角方程，即可求出满足条件的的值
【详解】解：令函数，
则，
则，
当时，.
故选：B
9、B
【解析】根据图象可得函数的周期，从而可求，再根据对称轴可求，结合图象过可求.
【详解】由图象可得，故，
而时，函数取最小值，故，
故，而，故，
因为图象过，故，故，
故选：B.
10、B
【解析】若函数的定义域和值域都为R，则.
解得或3.
当时，，满足题意；
当时，，值域为{1}，不满足题意.
故选B.
11、A
【解析】根据条件先求出的值，然后代入函数求
【详解】，即，
故选：A
12、A
【解析】利用两个集合的交集所包含的元素，求得的值，进而求得.
【详解】由于，故，所以，故，故选A.
【点睛】本小题主要考查两个集合交集元素的特征，考查两个集合的并集的概念，属于基础题.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】按照解析式直接计算即可.
【详解】.
故答案为：-3.
14、
【解析】先求出定点的坐标，再代入幂函数，即可求出解析式.
【详解】令可得，此时，
所以函数(，且)的图象恒过定点，
设幂函数，则，解得，
所以，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用指数函数的性质和图象的特点得出，设幂函数，代入即可求得，.
15、
【解析】∵角的终边过点（3，-4），∴x=3，y=-4，r=5，∴cos=
故答案为
16、3
【解析】
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、 (I)1,(II);(III) 121元
【解析】（I）利用列方程，解方程求得的值.
（II）根据题目所给表格的数据，判断出日销售量不单调，由此确定选择模型②.将表格数据代入，待定系数法求得的值，也即求得的解析式.
（III）将写成分段函数的形式，由计算出日销售收入的解析式，根据函数的单调性求得的最小值.
【详解】（I）依题意知第10天该商品的日销售收入为
，解得.
（II）由题中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故只能选②.
从表中任意取两组值代入可求得
（III）由（2）知
∴
当时，在区间上是单调递减的，在区间上是单调递增，
所以当时，取得最小值，且;
当时，是单调递减的，所以当时，取得最小值，且.
综上所述，当时，取得最小值，且.
故该商品的日销售收入的最小值为121元.
【点睛】本小题主要考查函数模型在实际生活中的运用，考查利用函数的单调性求最值，考查运算求解能力，属于中档题.
18、（1）（2）使每间熊猫居室的宽为，每间居室的长为15m时所建造的每间熊猫居室面积最大；每间熊猫居室的最大面积为150
【解析】（1）根据周长求出居室的长，再根据矩形面积公式得函数关系式，最后根据实际意义确定定义域（2）根据对称轴与定义区间位置关系确定最值取法：在对称轴处取最大值
试题解析：解：（1）设熊猫居室的宽为（单位），由于可供建造围墙的材料总长是，则每间熊猫居室的长为（单位m）
所以每间熊猫居室的面积
又得
（2）
二次函数图象开口向下，对称轴且，
当时，，
所以使每间熊猫居室的宽为，每间居室的长为15m时所建造的每间熊猫居室面积最大；每间熊猫居室的最大面积为150
点睛：在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题
19、 (1) 3x＋4y－11＝0 (2) 3x－y＋2＝0
【解析】（1）设与直线平行的直线为，把点代入，解得即可；（2）由，解得两直线的交点坐标为，结合所求直线垂直于直线
，可得所求直线斜率，利用点斜式即可得出.
【详解】（1）由题意，设l的方程为3x＋4y＋m＝0，
将点(1,2)代入l的方程3＋4×2＋m＝0，得m＝－11，
∴直线l的方程为3x＋4y－11＝0;
（2）由，解得，
两直线的交点坐标为，
因为直线的斜率为
所求直线垂直于直线，
所求直线斜率，
所求直线方程为，化为.
【点睛】本题主要考查直线的方程，两条直线平行、垂直与斜率的关系，属于中档题.对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1） ；（2）.
20、当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为
【解析】对进行分类讨论，结合指数函数的单调性求得不等式的解集.
【详解】当时，在上递减，
所以，
即，解得，
即不等式的解集为.
当时，在上递增，
所以，
即，解得或，
即不等式的解集为.
21、（1）在定义域R内单调递增；证明见解析
（2）答案见解析
【解析】（1）根据题意，利用待定系数法求出的值，即可得函数的解析式，利用作差法分析可得结论；
（2）根据题意，，即，求出的取值范围，按的取值范围分情况讨论，求出不等式的解集，即可得答案
【小问1详解】
若，则a=3，，
在定义域R内单调递增；
证明如下：任取，，且.
则，
根据单调递增的定义可知在定义域R内单调递增；
【小问2详解】
由，即，
即，得，
当a>1时，的解为；
当0<a<1时，的解为.
综上所述，
当a>1时，原不等式的解为；
当0<a<1时，原不等式的解为.
22、（1）
（2），
【解析】（1）若选条件①，根据函数的周期性求出，再根据三角函数的平移变换规则及函数的对称性求出，即可得到函数解析式，再求出的值，最后代入计算可得；
若选条件②，根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简函数解析式，再根据周期性求出，即可得到函数解析式，再求出的值，最后代入计算可得；
若选条件③，利用两角和的正弦公式及二倍角公式、辅助角公式将函数化简，再根据周期性求出，即可得到函数解析式，再求出的值，最后代入计算可得；
（2）根据正弦函数的性质求出函数的单调递减区间，再根据函数的定义域令和，即可求出函数在指定区间上的单调递减区间；
【小问1详解】
解：若选条件①：由题意可知，，，，，
又函数图象关于原点对称，所以，，，，，，，
，，，
若选条件②：因，，，，所以
又，，
，，，；
若选条件③：
，
又，，
，，，；
【小问2详解】
解：由，，解得，，
令，得，令，得，
函数在上的单调递减区间为，
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