浙江大学附中高三数学一轮复习单元训练-导数及其应用-新人教A版-.doc

浙江大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：导数及其应用
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设函数,若,则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
2．函数在处的导数值为( )
A．0 B．100! C．3·99！ D．3·100！
【答案】C
3．曲线在点（1,0）处的切线方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
4．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．如果a，b，c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为，那么b＝( )
A． B．1＋ C． D．2＋
【答案】B
5．等于( )
A． B．2 C． D．
【答案】D
6．设函数在区间上连续，用分点，把区间 等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式（其中为小区间的长度），那么的大小( )
A．与和区间有关，与分点的个数n和的取法无关
B． 与和区间和分点的个数n有关，与的取法无关
C． 与和区间和分点的个数n,的取法都有关。
D．与和区间和取法有关，与分点的个数n无关
【答案】C
7．=( )
A． B． C． D．
【答案】C
8．已知函数根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求的值，结果是( )
A．+ B． C．1 D． 0
【答案】D
9．等于( )
A．1 B． C． D．
【答案】C
10．已知函数,当自变量由变化到时函数值的增量与相应的自变量的增量比是函数( )
A．在处的变化率 B．在区间上的平均变化率
C．在处的变化率 D．以上结论都不对
【答案】B
11．已知上是单调增函数，则a的最大值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
12．的值等于( )
A． B． C． D．
【答案】C
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．函数与轴围成的面积是 .
【答案】
14． ．
【答案】
15．已知，若，则= 。
【答案】2
16．求
【答案】0
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．工厂生产某种产品，交品率与日产量（万件）间的关系为（为常数，且），已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元。
(1）将日盈利额（万元）表示为日产量（万件）的函数；
(2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：次品率=）
【答案】（1）当时，

当时，

日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系式为

(2）由（1）知，当时，日盈利额为0。
当时，

令得或（舍去）
①当时，
在区间上单调递增，
，
此时
②当时，在（0，3）上，，
在（3，6）上

综上，若，则当日产量为万件时，日盈利额最大；
若，则当日产量为3万件时，日盈利额最大
18．某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交元（为常数，2≤a≤5 ）的税收。设每件产品的售价为x元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与(e为自然对数的底数)成反比例。已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件。
(1)求该商店的日利润L（x）元与每件产品的日售价x元的函数关系式；
(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值。
【答案】（1）设日销售量为
则日利润
(2）
①当2≤a≤4时，33≤a+31≤35，当35 <x<41时，
∴当x=35时，L（x）取最大值为
②当4＜a≤5时，35≤a+31≤36，
易知当x=a+31时，L（x）取最大值为
综合上得
19．设函数分别在、处取得极小值、极大值.平面上点A、B的坐标分别为、,该平面上动点P满足,点Q是点P关于直线的对称点.
求：(Ⅰ)点A、B的坐标 ；(Ⅱ)动点Q的轨迹方程．
【答案】 (Ⅰ)令解得
当时,, 当时, ,当时,
所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故
,
所以, 点A、B的坐标为.
(Ⅱ) 设，，
，所以，又PQ的中点在上，所以
消去得.
20．某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，已知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站．记P到三个村庄的距离之和为y.

(1）设，求y关于的函数关系式；
(2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？
【答案】（1）在中，所以=OA=，,由题意知，.
所以点P到A,B,C的距离之和为
.  
故所求函数关系式为.
(2）由（1）得，令,即，又，从而.
当时，；当时, ．所以当 时，取得最小值，此时（km），即点P在OA上距O点km处．
答：变电站建于距O点km处时，它到三个小区的距离之和最小．3
21．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3<x<6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。
(I）求a的值
(II）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
【答案】（I）因为x=5时，y=11，所以
(II）由（I）可知，该商品每日的销售量
所以商场每日销售该商品所获得的利润

从而，
于是，当x变化时，的变化情况如下表：

由上表可得，x=4是函数在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点；
所以，当x=4时，函数取得最大值，且最大值等于42。
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大
22．定义在上的函数满足两个条件：①对于任意，都有
；②曲线存在与直线平行的切线.
(Ⅰ）求过点的曲线的切线的一般式方程；
(Ⅱ）当，时，求证：.
【答案】（Ⅰ）令得，，解得或.
当时，令得，，即，
，由得，，此方程在上无解，这说
明曲线不存在与直线平行的切线，不合题意，则，
此时，令得，，即，，
由得，，此方程在上有解，符合题意.
设过点的切线切曲线于，则切线的斜率为，
其方程为，把点的坐标代入整理得，
，解得或，
把或分别代入上述方程得所求的切线方程是
和，即和.
(Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，

由，知，，那么

所以.

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