角的平分线的性质第一课时.doc

《角的平分线的性质》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.会作已知角的平分线；
2.了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质；
3.会利用角的平分线的性质进行证明与计算.
（二）过程与方法
在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.
（三）情感、态度与价值观
在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.
二、教学重点、难点
重点：角的平分线的性质的证明及应用；
难点：角的平分线的性质的探究.　
三、教法学法
三步导学的教学模式；自主探索,合作交流的学习方式.
四、教与学互动设计

（一）激情导课
生活中有很多数学问题：
小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖
气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P点建两
条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连.
问题1：怎样修建管道最短？
问题2：新修的两条管道长度有什么关系？.
（二）民主导学
1、探究一：角的平分线的作法
Ⅰ、议一议
A
D
B
C
E
问题1
给你一个角，怎样得到这个角的平分线？（用量角器度量，也可用折纸的方法．） 你能评价这些方法吗？在生产生活中，这
些方法是否可行呢？

问题2
如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线. 你能说明它的道理吗?
问题3
通过上面的探究，你有什么启发？你能用尺规作图作已知角的平分线吗？请你试着做一做，并与同伴交流.
已知：∠MAN
求作：∠MAN的角平分线.
C
A
D
B
M
N
作法：（1）以A为圆心，适当长为半径画弧，交AM于B，交AN于D.
（2）分别以B、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠MAN的内部交于点C.
（3）画射线AC.
∴射线AC即为所求.
你能说明为什么射线AC 是∠MAN 的平分线吗？

2、探究二：角的平分线的性质
　利用尺规我们可以作一个角的平分线，那
么角的平分线有什么性质呢？

Ⅰ、做一做
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线
OC.在OC 上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的
垂线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE 并
作比较，你得到什么结论？ 在OC 上再取几个点试一试．
通过以上测量，你发现了角
的平分线的什么性质？

猜想：
（1）角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
（2）角的平分线性质的证明步骤：
① 明确命题中的已知和求证;
已知:一个点在一个角的平分线上.
结论:这个点到这个角两边的距离相等.
②M根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证;
已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.
B
P
O
A
C
E
D
求证: PD=PE.
③M经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥ OB (已知)
∴ ∠PDO= ∠PEO=90°(垂直的定义)
在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO（已证）
∠AOC= ∠BOC （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
符号语言：
∵∠AOC=∠BOC, PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.（已知）
∴ PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
追问：（1） 由角的平分线的性质的证明过程，你能概
括出证明几何命题的一般步骤吗？
（2）角的平分线的性质的作用是什么？
Ⅱ、练一练
B
P
O
A
C
E
D
P
O
A
B
C
E
D
P
O
A
B
C
E
D
P
O
A
B
C
E
D
(1) 下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则图形_____ 中PD＝PE.
D
A
C
B
D
C
B

(2)下图中,PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为点D、E，则图中PD＝PE吗?
B
P
O
A
C
E
D

（3）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，PD⊥OA，
垂足为D．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3．

运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题：
问题：引例中两条管道的长度有什么关系？理由是什么？

思考：角的平分线的性质在应用时应该注意什么问题?　
3、角的平分线性质的应用
1. 已知:如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.
求证:EB=FC.
2.例题讲解：

例2 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等

3、请你谈谈学习这节课的收获.
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？
（3）角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？
在应用这一性质时要注意哪些问题？

（四）布置作业
教科书习题12.3第4、5题．

五、板书设计
11.3 角的平分线的性质
1. 角的平分线的作法 2. 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 3.应用
已知：∠MAN 已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，
求作：∠MAN的角平分线 垂足分别为点D、E.
求证: PD=PE.
B
P
O
A
C
E
D
C
A
DN
BM
N
M

∴ 射线AC即为所求. 符号语言：
∵∠AOC=∠BOC, PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.
∴ PD=PE
六、教学反思