《单调性与最大(小)值》教案2.doc

《单调性与最大（小）值》教案2
教学目标：
1．理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质．
2．通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识．
3．利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极性．
教学重点难点：
重点：函数的最大（小）值及其几何意义．
难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
教法与学法：
1．教学方法：启发引导
2．学习指导：学生通过画图、观察、思考、讨论，从而归纳出求函数的最大（小）值的方法和步骤．
教学过程：
【创设情境导入新课】
教学环节
教学过程
设计意图
师生活动
创
设
情
境
，
导
入
新
课
画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：
①说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；
②指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
（1）
（2）
通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标.
学生回答后教师归纳借助函数图象的直观性可得出函数的最值．
主
题
探
究

合
作
交
流

提
高
能
力

1．函数的最大值:
设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M．那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（maximum value）．
2．最小值:
设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M．那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimum value）．
掌握函数最大（小）值的定义以及求解方法．

学生仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义．

【作法总结，变式演练】
教学环节
教学过程
设计意图
师生活动

变式演练

提高能力
例1．利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．
说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．

变式训练1：将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？
解：设利润为元，每个售价为元，则每个涨(x-50)元，从而销售量减少10(x-50)个，共售出500-10（x-50）=100-10x（个）．由题意得：
＜100）
∴
答：为了赚取最大利润，售价应定为70元．
例2．求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．
解：设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2，则
f(x1)－f(x2)

因为2≤x1<x2≤6，所以x2- x1>0，(x1-1)(x2-1)>0，于是f(x1)－f(x2) >0，即f(x1)>f(x2) ．
所以函数在[2,6]上是减函数．
因此，函数在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即当x=2时取得最大值，最大值是2，当x=6时取得最大值，最小值是0.4.
注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式．
变式训练2.求下列函数的值域；
（1）；（2）；
（3）．

一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型，解决此类问题要充分利用二次函数的结论和性质，解决好实际问题．

利用函数的单调性求最值．

教师出示题目．
学生思考、解答．

教师引导学生分析题目要求．

共同学习利用单调性求最值的方法．

学生做练习．

三、思维拓展，课堂交流
教学环节
教学过程
设计意图
师生活动
思
维
拓
展
1.求函数的最小值．

给学生建设一个开放的、有活力的数学学习环境.课堂交流既能展示个人 思维,又能照顾到各个层次的学生.来自他人的信息为自己所吸收，自己的既有知识又被他人的视点唤起，产生新的思想．
教师让学生自主探索，学生自由展示成果.

四、归纳小结，课堂延展
教学环节
教学过程
设计意图
师生活动
归纳
小结
求函数最值的常用方法有：
（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值;
（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值;
（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值;
（4）函数的单调性法：一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
教师引导梳理，总结本节课的知识点和解题方法．
由学生谈体会，师生共同归纳总结
巩
固
创
新

课
堂
延
展
如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y.试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，判断怎样锯才能使得截面面积最大？
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既能保证全体学生的巩固应用，又兼顾学有余力的学生，同时将探究的空间由课堂延伸到课外．

教学设计说明
1．教材地位分析：
 函数的最值也是函数最重要的性质之一．高考不但在选择题或者填空题中对此进行考查，还会出现在解答题中的某一问、如在应用问题以及数列、解析几何等问题中、甚至在函数导数的综合解答题中进行考查．
2．学生现实分析：
学生已经学习了函数的定义和函数的单调性.本节课在此基础上进一步学习函数的最值求法.