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20XX年复习资料大学复习资料专 业： 班 级： 科目老师： 日 期： 第1章 矩 阵习 题 一 (B)1、证明：矩阵A与所有n阶对角矩阵可交换的充分必要条件是A为n阶对角矩阵.证明：先证明必要性。若矩阵A为n阶对角矩阵. 即令n阶对角矩阵为：A=, 任何对角矩阵B设为，则AB=，而BA=，所以矩阵A与所有n阶对角矩阵可交换。再证充分性，设 A=，与B可交换，则由AB=BA，得：=，比较对应元素，得 ，。又，所以 ，即A为对角矩阵。2、证明：对任意矩阵A，和均为对称矩阵.证明：()T=(AT)TAT=AAT，所以，为对称矩阵。 ()T=AT (AT)T=ATA，所以，为对称矩阵。3、证明：如果A是实数域上的一个对称矩阵，且满足，则A=O.证明：设 A=，其中，均为实数，而且。由于，故A2=AAT=0。取A2的主对角线上的元素有 ， （i=1,2,n）因为，均为实数，故所有=0，因此A=O。4、证明：如果A是奇数阶的反对称矩阵，则detA=0.证明：设 A=为奇数阶反对称矩阵，即n为奇数，且 =-，i,j=1,2,n，从|A|中每行提出-1，得 |A|=-|A|（因为n为奇数，且|AT|=|A|），故得|A|=0。5、设A、B、C均为n阶矩阵，且满足ABC=E，则下列各式中哪些必定成立，理由是什么？（1）BCA=E； （2）BAC=E； （3）ACB=E；（4）CBA=E； （5）CAB=E。答：第(1),(5)必定成立。因为ABC=E，说明是的逆矩阵，AB是的逆矩阵，则(1),(5)必定成立。但是由于可能有，所以其他的不一定成立。6、设A、B均为n阶可逆矩阵，则下列各式中有哪些一定成立？为什么？（1） ； （2）；（3）（k为正整数）； （4） （k为正整数）；（5） ； （6）；（7） ； （8）。答：一定成立的有(1),(3),(4),(5),(7)。7、已知，令，求（n为正整数）.解：因为= =，其中 =3，所以 =。8、计算行列式 解：用表示所给的行列式，把分成两个行列式相加：将右边第一个行列式的第一列加到第二、第四列，用乘第一列后加到第三列；将第二个行列式变成三阶行列式后再拆成两个三阶行列式相加，。9、设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且，。如果 ，求detC.解：把C通过mn次的相邻换行之后，即可把C化为C1，且 故=。20XXXX、证明：n阶行列式（1）;（2）.证明：（1）令所给的矩阵为Dn，并按第一列展开得 ，所以= =。 （2）令所给的行列式为Dn，并按第一列分成两个行列式相加，然后对第一个行列式从第一列开始，每列乘-b后往下一列加，即得Dn=+ =+bDn-1= =。20XXXX、证明：n阶行列式（1） ;（2）.证明：（1）令，则有 ，xy=1。而且由于，故，从而由第十题的结果直接得 Dn=。（2）令所给的矩阵为Dn，按第一列展开，并应用（1）的结果，得Dn=。20XXXX、设A是n阶矩阵，求证：。证明：由的定义可知 ，两边取行列式，得。下面进行讨论。1）若detA 0，则由上式立即就有 。2）若detA 0，且 A = O，则 0，因而det= 0 ，结论成立。3）若detA 0，且 A O，此时必有det= 0。因为若det 0，则可逆，于是在O两边左乘，得A = O，与A O矛盾。即此时结论也成立。证毕。20XXXX、设A、B、C、D均为n阶矩阵，且，AC=CA.求证： 证明：因为，所以矩阵A可逆。根据矩阵的乘法，有 =又AC=CA，因此， = = =。20XXXX、设3阶矩阵A、B满足关系式 ，其中 求B.解：因为 所以， B=。20XXXX、设4阶矩阵 ，且矩阵A满足关系式，其中E是4阶单位矩阵。试将上式化简并求出矩阵A .解： 。而= ，再利用矩阵初等变换即可求出。所以A=。第1章矩 阵1、设，求解：；。2、设矩阵满足，其中，求解：设 ，则，。利用矩阵相等的定义可得：。3、某石油公司所属的三个炼油厂在20XXXX年和20XXXX年生产的4种油品的产量如下表（单位：万吨）产 油 量 品炼油厂20XXXX 年20XXXX年 58 27 20XXXX 4 72 30 20XXXX 5 65 25 20XXXX 3 63 25 20XXXX 5 90 30 20XX 7 80 28 20XXXX 5（1）作矩阵和分别表示三个炼油厂20XXXX年和20XXXX年各种油品的产量；（2）计算与，并说明其经济意义；（3）计算，并说明其经济意义。解：（1）， ；（2），其经济意义表示三个炼油厂20XXXX年和20XXXX年两年各种油品产量的和。 ，其经济意义表示三个炼油厂在20XXXX年和20XXXX年两年之间各种油品产量的变化量。（3），其经济意义表示三个炼油厂在20XXXX年和20XXXX年两年各种油品的平均产量。4、计算下列矩阵的乘积（1）； （2）；（3） ； （4）； （5） ； （6）； （7）。解：（1）。 （2）。 （3） 。 （4）。 （5）。 （6）。（7）。V41V71yV315、如图，考虑边长为2的正方形：设其顶点和各边中点的坐标分别为 V61V81（1） 用矩阵分别左乘给定的V51xV21V11O正方形各顶点和各边中点坐标，设得到的点依次为试作出由这些点构成的平面图形；（2）考虑矩阵 分别在当和时，用左乘原正方形各顶点和各边中点的坐标，若设所得到的点的坐标和分别作出由这两组点构成的平面图形。解：(1) 以的坐标为列构造28矩阵V，令则矩阵W的每一列依次为的坐标。如图所示。yW2OW5W6W3W1OxW8W7W4(2) 令则矩阵U的每一列依次为的坐标，如下图所示。U3yU6U7U2U4U5U8U1xO 令y则矩阵的每一列依次为点的坐标。如图所示。U 4U 8U 1xOU 7U 5U 6U 3U 26、设某港口在某月份出口到3个地区的两种货物的数量以及它们一单位的价格、重量和体积如下表：出 地口 区 量货物北美 欧洲 非洲单位价格（万元）单位重量 单位体积 20XXXX 20XXXX00 800 20XXXX00 20XXXX00 500 0.2 0.350.020XXXX0.20XXXX 0.20XXXX 0.5试利用矩阵乘法计算：（1） 经该港口出口到3个地区的货物价值、重量、体积分别各为多少？（2） 经该港口出口的货物总价值、总重量、总体积为多少？解：（1）=其中第一、二、三列分别表示北美、欧洲、非洲；第一、二、三行分别表示价值、重量、体积。（2）=其中第一、二、三行分别表示总价值、总重量、总体积。7、设A,B均为阶对称矩阵，试判定下列结论是否正确，并说明理由。（1）为对称矩阵；（2）为对称矩阵（为任意常数）；（3）为对称矩阵。证明：令n阶对称矩阵A=，其中，i=1,2,n ， j=1,2,n; n阶对称矩阵A=，其中，i=1,2,n ， j=1,2,n;(1) 正确。显然A+B =，又，其中i=1,2,n ， j=1,2,n;所以 =，即 A+B为对称矩阵。（2）正确。显然kA=，又，其中i=1,2,n , j=1,2,n;所以 =，即kA为对称矩阵。（3）错误。设对称矩阵A和B分别为： ， ；所以，显然AB不为对称矩阵。8、求所有与可交换的矩阵（1）； (2) 。解：（1）显然与A可交换的矩阵必为二阶方阵，设为X，并令，又 ， ，由可交换条件AX=XA，可得b=0,（其中为任意常数），即 。（2）显然与A可交换的矩阵必为三阶方阵，设为X，并令，又 ， ，由可交换条件XA=AX，可得d=0,g=0,h=0,c=0,a=e=i,b=f,（其中a,e,i,b,f均为任意常数），即 。9、设矩阵与矩阵均可交换，求证：与也可交换，且。证明：因为矩阵A与矩阵可交换，即，所以 =+=+=，即矩阵与可交换。又 ，即矩阵与也可交换。所以由有：=。20XXXX、计算（其中n为正整数）（1） ； （2）；（3） ； （4）；（5） ； （6）；解：（1）=。（2）=。下面用数学归纳法证明。当n=1时，当然成立。假定n=k时成立，即。再证n=k+1时也成立。（3）=，可用数学归纳法证明之。（4）当n=1时，值为原矩阵；当n=2时，；当n=3时，；当时，。（5）=；（6），由直接计算可知A2=4E。由此进一步得知：20XXXX、设为阶矩阵。试分别求,与的第行第列。解：的第行第列为， 的第行第列为， 的第行第列为。20XXXX、设，对于阶矩阵，定义其中为阶单位矩阵。（1）如果，求；解：依定义得：。（2）如果，求.解：依定义得：=+=。20XXXX、写出下列图的邻接矩阵，并分别计算各邻接矩阵的平方。解：（1）设邻接矩阵为A，则 A=，A2=。（2）设邻接矩阵为A，则 A=，A2=。20XXXX、设为同阶矩阵，且满足。求证：的充分必要条件是.证明：先证明必要性：由于，故 （1）如果A2=A，即 由此得B2=E再证充分性：若B2=E，则由（1）式可知， 。 所以，的充分必要条件是。 20XXXX、设为阶矩阵，称的主对角线上所有元的和为的迹，记作，即。求证：当均为阶矩阵时，有（1）（2）（3）（4）。 证明：（1）因为A，B为阶矩阵，所以A+B也为n阶矩阵，并设A+B=根据矩阵加法的定义，可知：,所以因此，=+，即。（2）因为A为阶矩阵，所以kA也为n阶矩阵，并设kA =。根据矩阵加法的定义，可知：,所以。因此，=，即。（3）令AT=根据矩阵转置的定义可知，又 ，所以 =，即： 。（4）令AB=C=，AB=D=，其中 ， 。显然，当时，于是，即。20XXXX、计算下列行列式（1） ； （2）；（3） ； （4）；（5） ； （6）；（7） ； （8）。解：（1）=1。（2）=20XXXX。（3）第一列乘-1加到第二列，并从第二列提取20XXXX00，得=620XXXX3000。（4）从第二行提取2之后，跟第一行互换，得=8。（5）把第二、三、四行均加到第一行，并在第一行中提取8，得=520XXXX。（6）把第二、三、四行均加到第一行，并在第一行中提取20XXXX，得=20XXXX0。（7）这是一个第二行元素为1、2、3、4的范得蒙行列式，因此=20XXXX。（8）最后一列乘以-1后，加到第一列，并按最后一行展开，得=20XXXX2。20XXXX、解方程（1） ； （2）。解：（1）=1。即解方程，因此x=3或-1。 （2）=（x+2）（x-1）=0。所以方程的解为：x=1或2。20XXXX、设3阶行列式，计算下列行列式：（1）； （2） 。解：（1）=+ =+=8+0=8。（2）=+ =0 =8。20XXXX、计算下列行列式（1）；（2）；（3）； （4）；（5）。解：（1）=。（2）将第二、三、四列展开得：原式=+=0。（3）=+ =。（4）按第一列展开=+=。（5）按最后一列展开=+=。20XX、证明：（1）；（2）。证明：（1）=+ =- =+ =2。（2） =+ = =。21、计算下列n阶行列式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：（1）各列都加到第一列后，再从第一列中提取；然后，第一行乘以-1后加到其余各行，得=（） =（） =。（2）=，显然，当n=1时，原行列式的值为。当n=2时， =。当时，将第2行到第n行的元素减去第一行相应的元素，得到 = 。 然后，将各行的公因子提出得=0（因为有两行的元素是相等的）。所以，综合有：当n=1时， 原式= ， 当n =2时， 原式=， 当n3时， 原式=0。（3）设所给的行列式为D，从最后一列依次往前一列加，得D=。（4）设所给的行列式为D，把各行都加到第一行，并在第一行中提取n1，得D=。（5） 设所给的行列式为D，把第一列加到第二列，依次把第j-1列加到到第j列（j=1,2，n），得D=。22、解方程（1）；（2）。解：（1）将所给的行列式的第一行乘以1，加到其他行，得= =0。所以x=1，2，n-1。（2）将所给的行列式的最后一列分别乘以加到第n，n-1，1列，得= =0。所以。23、证明（1） （其中）；（2） （其中）；（3） （）。证明：（1）将行列式的第一行的-1倍分别加到其余各行，然后提出各列的公因子， 再把各列加到第一列，得原式= =，再将第2列到第n列的各元素依次加到第1列上去即得原式= 。 （2）用乘第i列（）分别加到第一列，得原式=。（3）从第n行起，各行的x倍依次加到上面一行，所得到的行列式再按第一行展开得D=。24、利用分块矩阵的乘法，计算AB（1），其中；（2），其中，。解：（1）AB=其中E2B20XXXX=B11，E2B20XXXX=B20XXXX，A22E2=A22， A21B20XXXX=， A21B20XXXX=， A22B22=，所以AB=。 （2）AB=，其中A1B1=9， A2B2=9， A3B3=9。所以 AB=。25、设A是3阶矩阵，且detA=-2，若将A按列分块，其中为A的第j列，（j=1，2，3），求下列行列式：（1）；（2）。解：（1）因为=。所以=4。（2）因为=。所以=6。26、设A是矩阵，将其按行分为m块 ，其中为A的第i行（），对于m阶单位矩阵E，也将其按行分为m块，其中为E的第i行（），试由EA=A证明： （）。 证明：EA=A=所以= ，即（）。27、判断下列矩阵是否可逆，若可逆，利用伴随矩阵求其逆矩阵.（1） ； （2）；（3）； （4）。解：（1）令所给的矩阵为A，因为detA=-2,不为零，所以此矩阵可逆。其伴随矩阵为 A*=，所以其逆矩阵为 =。（2）令所给的矩阵为A，因为detA=0,所以此矩阵不可逆。（3）令所给的矩阵为A，因为detA=0,所以此矩阵不可逆。 （4）令所给的矩阵为A， 因为detA=6,不为零，所以此矩阵可逆。 其伴随矩阵为 A* =， 所以其逆矩阵为 =。28、利用行初等变换法求下列矩阵的逆矩阵.（1） ； （2）；（3） ； （4）；（5）。解：（1） 。所以，此矩阵的逆矩阵为。（2） ，所以，其逆矩阵为。（3） ，所以，其逆矩阵为。 （4） ，所以，其逆矩阵为。（5）所以，其逆矩阵为。29、求解下列矩阵方程（1）；（2）；（3）；（4）AX+B=X， 其中。解：（1）因为，所以，X=。（2）因为，所以X= =。（3）因为，所以X=。（4）因为AX+B=X，所以X= (E-A)-1B，又 EA=，因此，X=。30、设A为n阶矩阵，且存在正整数，使。求证：E-A可逆，且.证明：作以下乘法 = = =从而EA为可逆矩阵，而且 。31、已知n阶矩阵A，满足，求证：A可逆，并求.证明：因为，即，所以， ，从而，A为可逆矩阵，而且。32、如果矩阵A可逆。（1）求证：也可逆，并求。（2）设，求.（1）证明：因为矩阵A可逆，所以，即从而，A*为可逆矩阵。而且 =。（2）解：因为|A|=20XXXX，所以， = 。33、设A为3阶矩阵，为A的伴随矩阵，且已知，求行列式的值.解：因,故=。34、证明：如果A为可逆对称矩阵，则也是对称矩阵.证明：因为A为可逆对称矩阵，即有 AT=A，AA-1=E，由此可得 ，或 =E。即是A的逆矩阵。由逆矩阵的唯一性得 =，即为对称矩阵。35、设A、B、C为同阶方阵，其中C为可逆矩阵，且满足，求证：对任意正整数m，有.证明：因为，所以= 。36、求下列分块矩阵的逆矩阵（1），其中，；（2），其中，；（3），其中，.解：（1）因为，所以 。又 ，因此 。（2）因为，其中 ，所以 。（3）因为，其中 ， ，所以 。37、求下列矩阵的秩（1） ； （2）；（3） ； （4）；（5） ； （6）。解：（1），所以，此矩阵的秩为1。 （2）令A=，因为detA=20XXXX，不为零。所以，此矩阵的秩为3。 （3），所以，此矩阵的秩为1。（4），所以，此矩阵的秩为2。（5），所以，此矩阵的秩为3。 （6），所以，此矩阵的秩为3。第五章二 次 型习 题 五（B）1、设A为n阶实对称矩阵，如果对任一n维列向量，都有，试证：A=O。证明：因为矩阵A为实对称矩阵，设为 A=，其中(i,j=1,2,n).令 X=,由已知得，二次型 =+=0。首先取，(i=1,2,n)则 ，(i=1,2,n)即主对角线上的元素都为零。其次，取， 又，有 ，因，A为对称矩阵，所以 (i=1,2,n；j=1,2,n)因此 A=O。2、试证：二次型 =+为正定二次型。证明：此二次型的矩阵为 A=，显然A1=20,A2=30,An=n+10，因此，此二次型为正定二次型。3、设n元二次型 =+其中(i=1,2,n)为实数。试问：当(i=1,2,n)满足何种条件时，二次型为正定二次型。解：由题设条件知，对于任意的，有。其中等号成立当且仅当 此方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式 =，所以当时，为正定二次型。4、已知A为反对称矩阵，试证：为正定矩阵。证明：因为A为反对称矩阵，所以，因此 =。所以为正定矩阵。5、设A是一个实对称矩阵，试证：对于实数t，当t 充分大时，tE+A为正定矩阵。证明：设A的特征值为且为实数，取，则tE+A的特征值为全部大于零。因此，当时，tE+A为正定矩阵。6、设A是实对称矩阵，且detA0，试证：必存在n维列向量，使得。证明：因为A为实对称矩阵，且detA0,因此A为正定矩阵。9、设为n阶正定矩阵。求证A的任一主子式都大于零。证明：首先，令Ak为A的任一个k阶主子式， Ak=由于A是正定的，故二次型 对任意不全为零的实数，都有 ，从而对不全为零的实数，有 （即在中除外其余变量全取0），但是，对变量为而矩阵为Ak的二次型来说，有 =故g为正定二次型，从而Ak为正定的。故|Ak|0。20XXXX、设A为n阶正定矩阵，证明A+E的行列式大于1。证明：因为A为正定矩阵，不妨设A的特征值分别为且，则A+E的特征值为且，从而有 |A+E|=。20XXXX、设矩阵A=，矩阵，其中k为实数，E为单位矩阵，求对角矩阵，使B与相似，并求k为何值时，B为正定矩阵。解： =因此，A的特征值为0，2，2。记对角矩阵 D=。因为A为实对称矩阵，故存在正交矩阵P，使得 ，所以 =。于是 = = ；由此可得=。因此当时，即所有特征值均大于零时，B为正定矩阵。20XXXX、设A为mn实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵，试证：当时，矩阵B为正定矩阵。证明：因为 =B，所以，B为对称矩阵。对于任意的实n维列向量X，有 =当时，有0 , ,因此当时，对于任意的，有，即B为正定矩阵。20XXXX、设实对称矩阵A为m阶正定矩阵，B为mn实矩阵，试证BTAB为正定矩阵的充分必要条件是矩阵B的秩r(B)=n.证明：必要性。设BTAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量，有 即 于是，因此只有零解，从而r(B)=n。充分性。因=，即为实对称矩阵。若r(B)=n，则线性方程组只有零解。从而对任意实n维列向量有。又A为正定矩阵，所以对于，有，于是当时，有 ，故为正定矩阵。20XXXX、在R3中，将下述二次方程化为标准形式，并判断曲面类型。（1）；（2）。解：（1）设 A=，X =。则该二次方程可记为 。由，可得A的特征值和对应的特征向量： ， ， ，。将特征向量单位化，得 ，。取正交矩阵 B =，则 。设X=BY，其中Y=。原二次方程化为 ，即 （1）令，则（1）式可化为 。用平面截此曲面，截痕为椭圆；用平面截此曲面，截痕为双曲线；用平面截此曲面，截痕为双曲线，由次可知，此曲面为单叶双曲面。（2）类似题（1）的做法，可把原二次方程化为： 此曲面为双叶双曲面。20XXXX、已知二次曲面方程可以经过正交变换 =化为椭圆柱面方程。求a，b的值和正交矩阵P。解：设X=，Y=， A=，B=，则原二次曲面方程可表示为，椭圆柱面方程为，此问题即寻求一正交变换X=PY，把原二次型化为已知的标准形。因此，由已有的标准形，可知矩阵A的3个特征值分别为，由，可得，。由矩阵A的特征值，可求得对应的特征向量： ， ， ，。将各个特征向量单位化得： ，。故 。第二章555线 性 方 程 组习 题 二 (A)1、用克拉默的法则解下列线性方程组（1）解： 设 A= ，由于abc0，则detA=-5abc。故方程组有唯一解。又detB=5abc，,=-5abc，detB=-5abc，从而 x= =-a ， x=b， x=c。(2) 解： 设 A= 由于ab且a- ，detA=（ab）(2a+b) 0。故方程组有唯一解。又 detB=（ab），detB=（ab），detB=（ab），方程组的解为。（3）解： 设 A= ，则detA=20XXXX，detB=20XXXX8，detB=48，detB=20XXXX，detB=0，从而 x=-8 ，x=3 ，x=6 ，x=0 。2、当k取何值时，下列齐次线性方程组仅有零解 （1）解： 方程组的系数行列式为detA=635k，由克拉默法则知k时 ， detA0 ，方程组仅有零解。（2）解： 方程组的系数行列式为detA=（k+1）(k4)，由克拉默法则知k1且k4时 ，detA0 ，方程组仅有零解。3、用消元法解下列线性方程组 (1) 解：设方程组的增广矩阵为,对进行初等变换= 所以与原方程组等价的方程组为于是原方程组的解为。(2) 解：设方程组的增广矩阵为,对进行初等变换= 由最后得到的梯形矩阵最后一行知方程组无解。（3） 解：设方程组的增广矩阵为,对进行初等变换= 。最后得到的梯形矩阵对应的梯形方程组为则方程组的解为（c为任意常数）。4、当k为何值时，下面的齐次线性方程组有非零解？并求出此非零解。 解： 齐次线性方程组的系数行列式为 detA=-(20XXXX+5k)。 当detA=0时，齐次线性方程组有非零解 即k=3时 方程组有非零解。 当k=3时方程组为 设方程组的增广矩阵为,对进行初等变换= 。最后得到的梯形矩阵对应的梯形方程组为则方程组的解为 （c为任意常数）。5、当k为何值时，下面的线性方程组无解？有解？在有解时，求出方程组的解。 解：设方程组的增广矩阵为,对进行初等变换 = 得到的梯形方程组为当k=4时 方程组无解。当k4时 方程组的解为（c为任意常数）。6、当a为何值时，下面的线性方程组无解？有唯一解？有无穷多个解？在有解时，求出方程组的解。解： 设方程组的增广矩阵为,对进行初等变换=当a=3时， 方程组无解。当a3且a2时， 方程组有唯一解。最后得到的梯形矩阵对应的梯形方程组为，则方程组的解为 。当a=2时， 方程组有无穷多个解。此时梯形矩阵对应的梯形方程组为 则方程组的解为（c为任意常数）。7、判定下列各组中的向量是否可以表示为其余向量的线性组合。若可以，试求出其表示式 （1）=(4，5，6)T，=（3，-3，2）T，=（-2，1，2）T，=（1,2,-1）T ；解： 设=k+k+k 则k,k,k是方程组 的解。设方程组的增广矩阵为,对进行初等变换 = 。最后得到的梯形矩