线性代数课后习题答案同济大学第四版.doc

第一章 行列式
1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:
(1);
解
=2´(-4)´3+0´(-1)´(-1)+1´1´8
-0´1´3-2´(-1)´8-1´(-4)´(-1)
=-24+8+16-4=-4.
(2);
解
=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc
=3abc-a3-b3-c3.

(3);
解
=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2
=(a-b)(b-c)(c-a).

(4).
解
=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3
=3xy(x+y)-y3-3x2 y-x3-y3-x3
=-2(x3+y3).
2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:
(1)1 2 3 4;
解 逆序数为0
(2)4 1 3 2;
解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32.
(3)3 4 2 1;
解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.
(4)2 4 1 3;
解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.
(5)1 3 × × × (2n-1) 2 4 × × × (2n);
解 逆序数为:
3 2 (1个)
5 2, 5 4(2个)
7 2, 7 4, 7 6(3个)
× × × × × ×
(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, × × ×, (2n-1)(2n-2) (n-1个)

(6)1 3 × × × (2n-1) (2n) (2n-2) × × × 2.
解 逆序数为n(n-1) :
3 2(1个)
5 2, 5 4 (2个)
× × × × × ×
(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, × × ×, (2n-1)(2n-2) (n-1个)
4 2(1个)
6 2, 6 4(2个)
× × × × × ×
(2n)2, (2n)4, (2n)6, × × ×, (2n)(2n-2) (n-1个)
3. 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.
解 含因子a11a23的项的一般形式为
(-1)ta11a23a3ra4s,
其中rs是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42.
所以含因子a11a23的项分别是
(-1)ta11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,
(-1)ta11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42.
4. 计算下列各行列式:
(1);
解
.
(2);
解
.
(3);
解
.
(4).
解

=abcd+ab+cd+ad+1.
5. 证明:
(1)=(a-b)3;
证明

=(a-b)3 .
(2);
证明

.

(3);
证明
(c4-c3, c3-c2, c2-c1得)
(c4-c3, c3-c2得)
.

(4)
=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);
证明

=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d).
(5)=xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an .

证明 用数学归纳法证明.
当n=2时, , 命题成立.
假设对于(n-1)阶行列式命题成立, 即
Dn-1=xn-1+a1 xn-2+ × × × +an-2x+an-1,
则Dn按第一列展开, 有

=xD n-1+an=xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an .
因此, 对于n阶行列式命题成立.

6. 设n阶行列式D=det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转, 依次得
, , ,
证明, D3=D .
证明　因为D=det(aij), 所以

.
同理可证
.
.

7. 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式):
(1), 其中对角线上元素都是a, 未写出的元素都是0;
解
(按第n行展开)

=an-an-2=an-2(a2-1).

(2);
解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得
,
再将各列都加到第一列上, 得
=[x+(n-1)a](x-a)n-1.
(3);
解 根据第6题结果, 有

此行列式为范德蒙德行列式.

.

(4);
解
(按第1行展开)

.
再按最后一行展开得递推公式
D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2, 即D2n=(andn-bncn)D2n-2.
于是 .
而 ,
所以 .
(5) D=det(aij), 其中aij=|i-j|;
解 aij=|i-j|,

=(-1)n-1(n-1)2n-2.
(6), 其中a1a2 × × × an¹0.

解

.

8. 用克莱姆法则解下列方程组:
(1);
解 因为
,
, ,
, ,
所以 , , , .
(2).

解 因为
,
, ,
, ,
,
所以
, , , , .
9. 问l, m取何值时, 齐次线性方程组有非零解？
解 系数行列式为
.
令D=0, 得
m=0或l=1.
于是, 当m=0或l=1时该齐次线性方程组有非零解.

10. 问l取何值时, 齐次线性方程组有非零解？
解 系数行列式为

=(1-l)3+(l-3)-4(1-l)-2(1-l)(-3-l)
=(1-l)3+2(1-l)2+l-3.
令D=0, 得
l=0, l=2或l=3.
于是, 当l=0, l=2或l=3时, 该齐次线性方程组有非零解.

第二章　矩阵及其运算

1. 已知线性变换:
,
求从变量x1, x2, x3到变量y1, y2, y3的线性变换.
解 由已知:
,
故 ,
.
2. 已知两个线性变换
, ,
求从z1, z2, z3到x1, x2, x3的线性变换.
解 由已知

,
所以有.
3. 设, , 求3AB-2A及ATB.
解
,
.
4. 计算下列乘积:
(1);
解 .
(2);
解 =(1´3+2´2+3´1)=(10).
(3);
解 .
(4) ;
解 .
(5);
解

=(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3)
.

5. 设, , 问:
(1)AB=BA吗?
解 AB¹BA.
因为, , 所以AB¹BA.
(2)(A+B)2=A2+2AB+B2吗?
解 (A+B)2¹A2+2AB+B2.
因为,
,
但 ,
所以(A+B)2¹A2+2AB+B2.
(3)(A+B)(A-B)=A2-B2吗?
解 (A+B)(A-B)¹A2-B2.
因为, ,
,
而 ,
故(A+B)(A-B)¹A2-B2.
6. 举反列说明下列命题是错误的:
(1)若A2=0, 则A=0;
解 取, 则A2=0, 但A¹0.
(2)若A2=A, 则A=0或A=E;
解 取, 则A2=A, 但A¹0且A¹E.
(3)若AX=AY, 且A¹0, 则X=Y .
解 取
, , ,
则AX=AY, 且A¹0, 但X¹Y .
7. 设, 求A2, A3, × × ×, Ak.
解 ,
,
× × × × × ×,
.
8. 设, 求Ak .
解 首先观察
,
,
,
,
× × × × × ×,
.
用数学归纳法证明:
当k=2时, 显然成立.
假设k时成立，则k+1时，

,
由数学归纳法原理知:
.
9. 设A, B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵.
证明 因为AT=A, 所以
(BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB,
从而BTAB是对称矩阵.
10. 设A, B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.
证明 充分性: 因为AT=A, BT=B, 且AB=BA, 所以
(AB)T=(BA)T=ATBT=AB,
即AB是对称矩阵.
必要性: 因为AT=A, BT=B, 且(AB)T=AB, 所以
AB=(AB)T=BTAT=BA.
11. 求下列矩阵的逆矩阵:
(1);
解 . |A|=1, 故A-1存在. 因为
,
故 .
(2);
解 . |A|=1¹0, 故A-1存在. 因为
,
所以 .
(3);
解 . |A|=2¹0, 故A-1存在. 因为
,
所以 .
(4)(a1a2× × ×an ¹0) .
解 , 由对角矩阵的性质知
.
12. 解下列矩阵方程:
(1);
解 .
(2);
解

.
(3);
解

.
(4).
解
.
13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:
(1);
解 方程组可表示为
,
故 ,
从而有 .
(2).
解 方程组可表示为
,
故 ,
故有 .
14. 设Ak=O (k为正整数), 证明(E-A)-1=E+A+A2+× × ×+Ak-1.
证明 因为Ak=O , 所以E-Ak=E. 又因为
E-Ak=(E-A)(E+A+A2+× × ×+Ak-1),
所以 (E-A)(E+A+A2+× × ×+Ak-1)=E,
由定理2推论知(E-A)可逆, 且
(E-A)-1=E+A+A2+× × ×+Ak-1.

证明 一方面, 有E=(E-A)-1(E-A).
另一方面, 由Ak=O, 有
E=(E-A)+(A-A2)+A2-× × ×-Ak-1+(Ak-1-Ak)
=(E+A+A2+× × ×+A k-1)(E-A),
故 (E-A)-1(E-A)=(E+A+A2+× × ×+Ak-1)(E-A),
两端同时右乘(E-A)-1, 就有
(E-A)-1(E-A)=E+A+A2+× × ×+Ak-1.

15. 设方阵A满足A2-A-2E=O, 证明A及A+2E都可逆, 并求A-1及(A+2E)-1.
证明 由A2-A-2E=O得
A2-A=2E, 即A(A-E)=2E,
或 ,
由定理2推论知A可逆, 且.
由A2-A-2E=O得
A2-A-6E=-4E, 即(A+2E)(A-3E)=-4E,
或
由定理2推论知(A+2E)可逆, 且.

证明 由A2-A-2E=O得A2-A=2E, 两端同时取行列式得
|A2-A|=2,
即 |A||A-E|=2,
故 |A|¹0,
所以A可逆, 而A+2E=A2, |A+2E|=|A2|=|A|2¹0, 故A+2E也可逆.
由 A2-A-2E=O ÞA(A-E)=2E
ÞA-1A(A-E)=2A-1EÞ,
又由 A2-A-2E=OÞ(A+2E)A-3(A+2E)=-4E
Þ (A+2E)(A-3E)=-4 E,
所以 (A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2 E)-1,
.
16. 设A为3阶矩阵, , 求|(2A)-1-5A*|.
解 因为, 所以

=|-2A-1|=(-2)3|A-1|=-8|A|-1=-8´2=-16.
17. 设矩阵A可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A-1)*.
证明 由, 得A*=|A|A-1, 所以当A可逆时, 有
|A*|=|A|n|A-1|=|A|n-1¹0,
从而A*也可逆.
因为A*=|A|A-1, 所以
(A*)-1=|A|-1A.
又, 所以
(A*)-1=|A|-1A=|A|-1|A|(A-1)*=(A-1)*.
18. 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*, 证明:
(1)若|A|=0, 则|A*|=0;
(2)|A*|=|A|n-1.
证明
(1)用反证法证明. 假设|A*|¹0, 则有A*(A*)-1=E, 由此得
A=A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,
所以A*=O, 这与|A*|¹0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.
(2)由于, 则AA*=|A|E, 取行列式得到
|A||A*|=|A|n.
若|A|¹0, 则|A*|=|A|n-1;
若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立.
因此|A*|=|A|n-1.

19. 设, AB=A+2B, 求B.
解 由AB=A+2E可得(A-2E)B=A, 故
.
20. 设, 且AB+E=A2+B, 求B.
解 由AB+E=A2+B得
(A-E)B=A2-E,
即 (A-E)B=(A-E)(A+E).
因为, 所以(A-E)可逆, 从而
.
21. 设A=diag(1, -2, 1), A*BA=2BA-8E, 求B.
解 由A*BA=2BA-8E得
(A*-2E)BA=-8E,
B=-8(A*-2E)-1A-1
=-8[A(A*-2E)]-1
=-8(AA*-2A)-1
=-8(|A|E-2A)-1
=-8(-2E-2A)-1
=4(E+A)-1
=4[diag(2, -1, 2)]-1

=2diag(1, -2, 1).
22. 已知矩阵A的伴随阵,
且ABA-1=BA-1+3E, 求B.
解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2.
由ABA-1=BA-1+3E得
AB=B+3A,
B=3(A-E)-1A=3[A(E-A-1)]-1A

.
23. 设P-1AP=L, 其中, , 求A11.
解 由P-1AP=L, 得A=PLP-1, 所以A11= A=PL11P-1.
|P|=3, , ,
而 ,
故 .
24. 设AP=PL, 其中, ,
求j(A)=A8(5E-6A+A2).
解 j(L)=L8(5E-6L+L2)
=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]
=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).
j(A)=Pj(L)P-1

.
25. 设矩阵A、B及A+B都可逆, 证明A-1+B-1也可逆, 并求其逆阵.
证明 因为
A-1(A+B)B-1=B-1+A-1=A-1+B-1,
而A-1(A+B)B-1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A-1(A+B)B-1可逆, 即A-1+B-1可逆.
(A-1+B-1)-1=[A-1(A+B)B-1]-1=B(A+B)-1A.
26. 计算.
解 设, , , ,
则 ,
而 ,
,
所以 ,
即 .
27. 取, 验证.
解 ,
而 ,
故 .
28. 设, 求|A8|及A4.
解　令, ,
则 ,
故 ,
.
.
29. 设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆, 求
(1);
解 设, 则
.
由此得 Þ,
所以 .
(2).
解 设, 则
.
由此得 Þ,
所以 .
30. 求下列矩阵的逆阵:
(1);
解 设, , 则
, .
于是 .
(2).
解 设, , , 则

.

第三章　矩阵的初等变换与线性方程组

1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:
(1);
解 (下一步: r2+(-2)r1, r3+(-3)r1. )
~(下一步: r2¸(-1), r3¸(-2). )
~(下一步: r3-r2. )
~(下一步: r3¸3. )
~(下一步: r2+3r3. )
~(下一步: r1+(-2)r2, r1+r3. )
~.
(2);
解 (下一步: r2´2+(-3)r1, r3+(-2)r1. )
~(下一步: r3+r2, r1+3r2. )
~(下一步: r1¸2. )
~.
(3);
解 (下一步: r2-3r1, r3-2r1, r4-3r1. )
~(下一步: r2¸(-4), r3¸(-3) , r4¸(-5). )
~(下一步: r1-3r2, r3-r2, r4-r2. )
~.
(4).
解 (下一步: r1-2r2, r3-3r2, r4-2r2. )
~(下一步: r2+2r1, r3-8r1, r4-7r1. )
~(下一步: r1«r2, r2´(-1), r4-r3. )
~(下一步: r2+r3. )
~.
2. 设, 求A.
解 是初等矩阵E(1, 2), 其逆矩阵就是其本身.
是初等矩阵E(1, 2(1)), 其逆矩阵是
E(1, 2(-1)) .

.
3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:
(1);
解 ~
~~
~
故逆矩阵为.
(2).

解
~
~
~
~
~
故逆矩阵为.
4. (1)设, , 求X使AX=B;
解 因为
,
所以 .
(2)设, , 求X使XA=B.
解 考虑ATXT=BT. 因为
,
所以 ,
从而 .
5. 设, AX =2X+A, 求X.
解 原方程化为(A-2E)X =A. 因为

,
所以 .
6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r-1阶子式? 有没有等于0的r阶子式?
解 在秩是r的矩阵中, 可能存在等于0的r-1阶子式, 也可能存在等于0的r阶子式.
例如, , R(A)=3.
是等于0的2阶子式, 是等于0的3阶子式.
7. 从矩阵A中划去一行得到矩阵B, 问A, B的秩的关系怎样?
解 R(A)³R(B).
这是因为B的非零子式必是A的非零子式, 故A的秩不会小于B的秩.

8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是
(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).
解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:
,
此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.

9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:
(1);
解 (下一步: r1«r2. )
~(下一步: r2-3r1, r3-r1. )
~(下一步: r3-r2. )
~,
矩阵的, 是一个最高阶非零子式.
(2);
解 (下一步: r1-r2, r2-2r1, r3-7r1. )
~(下一步: r3-3r2. )
~,
矩阵的秩是2, 是一个最高阶非零子式.

(3).
解 (下一步: r1-2r4, r2-2r4, r3-3r4. )
~(下一步: r2+3r1, r3+2r1. )
~(下一步: r2¸16r4, r3-16r2. )
~
~,
矩阵的秩为3, 是一个最高阶非零子式.
10. 设A、B都是m´n矩阵, 证明A~B的充分必要条件是R(A)=R(B).
证明 根据定理3, 必要性是成立的.
充分性. 设R(A)=R(B), 则A与B的标准形是相同的. 设A与B的标准形为D, 则有
A~D, D~B.
由等价关系的传递性, 有A~B.
11. 设, 问k为何值, 可使
(1)R(A)=1; (2)R(A)=2; (3)R(A)=3.
解 .
(1)当k=1时, R(A)=1;
(2)当k=-2且k¹1时, R(A)=2;
(3)当k¹1且k¹-2时, R(A)=3.

12. 求解下列齐次线性方程组:
(1);
解　对系数矩阵A进行初等行变换, 有
A=~,
于是 ,
故方程组的解为
(k为任意常数).
(2);
解 对系数矩阵A进行初等行变换, 有
A=~,
于是 ,
故方程组的解为
(k1, k2为任意常数).
(3);
解 对系数矩阵A进行初等行变换, 有
A=~,
于是 ,
故方程组的解为
.
(4).
解 对系数矩阵A进行初等行变换, 有
A=~,
于是 ,
故方程组的解为
(k1, k2为任意常数).

13. 求解下列非齐次线性方程组:
(1);
解 对增广矩阵B进行初等行变换, 有
B=~,
于是R(A)=2, 而R(B)=3, 故方程组无解.
(2);
解 对增广矩阵B进行初等行变换, 有
B=~,
于是 ,
即 (k为任意常数).
(3);
解 对增广矩阵B进行初等行变换, 有
B=~,
于是 ,
即 (k1, k2为任意常数).
(4).
解 对增广矩阵B进行初等行变换, 有
B=~,
于是 ,
即 (k1, k2为任意常数).
14. 写出一个以

为通解的齐次线性方程组.
解 根据已知, 可得
,
与此等价地可以写成
,
或 ,
或 ,
这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.

15. l取何值时, 非齐次线性方程组
.
(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解?
解
.
(1)要使方程组有唯一解, 必须R(A)=3. 因此当l¹1且l¹-2时方程组有唯一解.
(2)要使方程组无解, 必须R(A)<R(B), 故
(1-l)(2+l)=0, (1-l)(l+1)2¹0.
因此l=-2时, 方程组无解.
(3)要使方程组有有无穷多个解, 必须R(A)=R(B)<3, 故
(1-l)(2+l)=0, (1-l)(l+1)2=0.
因此当l=1时, 方程组有无穷多个解.

16. 非齐次线性方程组

当l取何值时有解？并求出它的解.
解　~.
要使方程组有解, 必须(1-l)(l+2)=0, 即l=1, l=-2.
当l=1时,
~,
方程组解为
或,
即 (k为任意常数).
当l=-2时,
~,
方程组解为
或,
即 (k为任意常数).

17. 设.
问l为何值时, 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解.
解 B=
~.
要使方程组有唯一解, 必须R(A)=R(B)=3, 即必须
(1-l)(10-l)¹0,
所以当l¹1且l¹10时, 方程组有唯一解.
要使方程组无解, 必须R(A)<R(B), 即必须
(1-l)(10-l)=0且(1-l)(4-l)¹0,
所以当l=10时, 方程组无解.
要使方程组有无穷多解, 必须R(A)=R(B)<3, 即必须
(1-l)(10-l)=0且(1-l)(4-l)=0,
所以当l=1时, 方程组有无穷多解.此时，增广矩阵为
B~,
方程组的解为
,
或 (k1, k2为任意常数).
18. 证明R(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT, 使A=abT.
证明 必要性. 由R(A)=1知A的标准形为
,
即存在可逆矩阵P和Q, 使
, 或.
令, bT=(1, 0, ×××, 0)Q-1, 则a是非零列向量, bT是非零行向量, 且A=abT.
充分性. 因为a与bT是都是非零向量, 所以A是非零矩阵, 从而R(A)³1.
因为
1£R(A)=R(abT)£min{R(a), R(bT)}=min{1, 1}=1,
所以R(A)=1.
19. 设A为m´n矩阵, 证明
(1)方程AX=Em有解的充分必要条件是R(A)=m;
证明 由定理7, 方程AX=Em有解的充分必要条件是
R(A)=R(A, Em),
而| Em|是矩阵(A, Em)的最高阶非零子式, 故R(A)=R(A, Em)=m. 因此, 方程AX=Em有解的充分必要条件是R(A)=m.
(2)方程YA=En有解的充分必要条件是R(A)=n.
证明 注意, 方程YA=En有解的充分必要条件是ATYT=En有解. 由(1) ATYT=En有解的充分必要条件是R(AT)=n. 因此，方程YA=En有解的充分必要条件是R(A)=R(AT)=n.
20. 设A为m´n矩阵, 证明: 若AX=AY, 且R(A)=n, 则X=Y.
证明 由AX=AY, 得A(X-Y)=O. 因为R(A)=n, 由定理9, 方程A(X-Y)=O只有零解, 即X-Y=O, 也就是X=Y.

第四章　向量组的线性相关性

1. 设v1=(1, 1, 0)T, v2=(0, 1, 1)T, v3=(3, 4, 0)T, 求v1-v2及3v1+2v2-v3.
解 v1-v2=(1, 1, 0)T-(0, 1, 1)T
=(1-0, 1-1, 0-1)T
=(1, 0, -1)T.
3v1+2v2-v3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T
=(3´1+2´0-3, 3´1+2´1-4, 3´0+2´1-0)T
=(0, 1, 2)T.

2. 设3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a), 求a, 其中a1=(2, 5, 1, 3)T,
a2=(10, 1, 5, 10)T, a3=(4, 1, -1, 1)T.
解 由3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a)整理得

=(1, 2, 3, 4)T.
3. 已知向量组
A: a1=(0, 1, 2, 3)T, a2=(3, 0, 1, 2)T, a3=(2, 3, 0, 1)T;
B: b1=(2, 1, 1, 2)T, b2=(0