线性代数课后习题答案.doc

线性代数课后题详解

第一章 行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：相信自己加油
（1）； （2）
（3）； （4）.
解 注意看过程解答（1）

=
=

（2）

（3）

（4）

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业
（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2；
（3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3；
（5）1 3 … 2 4 … ；
（6）1 3 … … 2.
解（1）逆序数为0
（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2
（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1
（4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3
（5）逆序数为：
3 2 1个
5 2，5 4 2个
7 2，7 4，7 6 3个
……………… …
2， 4， 6，…，
个
（6）逆序数为
3 2 1个
5 2，5 4 2个
……………… …
2， 4， 6，…，
个
4 2 1个
6 2，6 4 2个
……………… …
2， 4， 6，…， 个

3.写出四阶行列式中含有因子的项.
解 由定义知，四阶行列式的一般项为
，其中为的逆序数．由于
已固定，只能形如□□，即1324或1342.对应的分别为
或
和为所求.

4.计算下列各行列式：多练习方能成大财
（1）； （2）；
（3）； （4）
解
(1)
=
==0

(2)
=0

(3)=
==
(4)
=
==

5.证明:
(1)=;
(2)=;
(3);
(4)
;
(5).
证明
(1)

(2)

(3)

(4)
=
=
=

=

=
(5) 用数学归纳法证明

假设对于阶行列式命题成立，即

所以，对于阶行列式命题成立.

6.设阶行列式,把上下翻转、或逆时针旋转、或依
副对角线翻转，依次得
， ，，
证明.
证明　

同理可证

7.计算下列各行列式（）：
(1),其中对角线上元素都是，未写出的元素都是0；
(2);
(3) ;
提示：利用范德蒙德行列式的结果．
(4) ;
(5);
(6),.
解
(1)

()

(2)将第一行乘分别加到其余各行，得

再将各列都加到第一列上，得

(3)从第行开始，第行经过次相邻对换，换到第1行，第
行经次对换换到第2行…，经次行
交换，得

此行列式为范德蒙德行列式

(4)

由此得递推公式：

即
而
得
(5)

=
(6)

8.用克莱姆法则解下列方程组：

解　(1)

(2)

()

．
9.有非零解？
解 ，
齐次线性方程组有非零解，则
即
得
不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解.

10.
有非零解？
解

齐次线性方程组有非零解，则
得
不难验证，当时，该齐次线性方程组确有非零解.

第二章　矩阵及其运算

1．已知线性变换：

求从变量到变量的线性变换．
解
由已知：
故

2．已知两个线性变换

求从到的线性变换．
解 　由已知

所以有
3．设,
求
解

4．计算下列乘积：
(1); (2); (3);
(4);
(5);
(6).
解
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

(6)

5．设, ，问：
(1)吗?
(2)吗?
(3)吗?
解
(1),
则
(2)
但
故
(3)
而
故

6．举反列说明下列命题是错误的:
（１）若,则;
（２）若,则或;
（３）若,且,则.
解 (1)　取 ,但
(2)　取 ,但且
(3)　取
且 但

7．设,求.
解

利用数学归纳法证明:
当时,显然成立,假设时成立,则时

由数学归纳法原理知:

8．设,求.
解 首先观察

由此推测
用数学归纳法证明:
当时,显然成立.
假设时成立，则时，

由数学归纳法原理知:

9．设为阶矩阵，且为对称矩阵，证明也是对称矩阵.
证明　　已知：
则
从而 也是对称矩阵.

10．设都是阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充分必要条件是
.
证明　　由已知：
充分性：
即是对称矩阵.
必要性：.

11．求下列矩阵的逆矩阵：
(1)； (2)； (3);
(4);　(5);
(6)
解
(1)

故
(2) 故存在

从而
(3) , 故存在

而

故
(4)

故
(5) 故存在
而

从而
(6)
由对角矩阵的性质知

12．解下列矩阵方程：
(1)　; (2)　;
(3)　;
(4)　.
解
(1)　
(2)　

(3)　

(4)　

13．利用逆矩阵解下列线性方程组:
(1) (2)
解　　(1)　方程组可表示为
故
从而有
(2) 方程组可表示为
故
故有

14．设(为正整数),证明
.
证明　　一方面，
另一方面，由有

故　
两端同时右乘
就有

15．设方阵满足,证明及都可逆,并求及
.
证明　　由得
两端同时取行列式:
即　,故　
所以可逆,而
故也可逆.
由

又由

16．设,,求.
解　　由可得
故

17．设,其中,,求.
解　　故所以

而
故

18．设次多项式,记

称为方阵的次多项式.
(1)设,证明: ,;
(2)设,证明: ,.
证明
(1) i)利用数学归纳法.当时

命题成立,假设时成立,则时

故命题成立.
ii)左边

=右边
(2)　 i)　利用数学归纳法.当时
成立
假设时成立,则时
成立,故命题成立,
即
ii) 证明
右边

=左边

19．设阶矩阵的伴随矩阵为，证明：
(1)　若,则;
(2) 　.
证明
(1)　用反证法证明．假设则有
由此得
这与矛盾，故当时
有
(2)　由于, 则
取行列式得到:
若 则
若由(1)知此时命题也成立
故有

20．取,验证
检验:
而　
故　

21．设,求及
解　，令
则
故

22．设阶矩阵及阶矩阵都可逆,求．
解 将分块为
其中 为矩阵, 为矩阵
为矩阵, 为矩阵
则
由此得到
故 ．

第三章　矩阵的初等变换与线性方程组

1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：
(1)　; (2)　;
(3)　; (4)　.

解　(1)　

(2)　

(3)　

(4)　

2．在秩是的矩阵中,有没有等于0的阶子式?有没有等于0的阶
子式?
解　　在秩是的矩阵中,可能存在等于0的阶子式,也可能存在等
于0的阶子式.
例如，
同时存在等于0的3阶子式和2阶子式.

3．从矩阵中划去一行得到矩阵,问的秩的关系怎样?
解
设，且的某个阶子式.矩阵是由矩阵划去一行得
到的，所以在中能找到与相同的阶子式，由于，
故而.

4．求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是,
解　　设为五维向量,且,
,则所求方阵可为秩为4,不妨设
取
故满足条件的一个方阵为

5．求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：
(1)　; (2)　；
(3)　.

解　(1)　

二阶子式．
(2)
.
二阶子式．
(3)
秩为3
三阶子式．

6．求解下列齐次线性方程组:
(1)　 (2)　
(3) (4)
解　(1)　对系数矩阵实施行变换:
即得
故方程组的解为

(2)　对系数矩阵实施行变换:
　即得
故方程组的解为

(3)　对系数矩阵实施行变换:
即得
故方程组的解为

(4)　对系数矩阵实施行变换:

即得
故方程组的解为

7．求解下列非齐次线性方程组:
(1) (2)
(3) (4)

解　(1)　对系数的增广矩阵施行行变换,有

而,故方程组无解．

(2)　对系数的增广矩阵施行行变换:

即得亦即

(3)　对系数的增广矩阵施行行变换:

即得　即

(4) 对系数的增广矩阵施行行变换:

即得　即

8．取何值时,非齐次线性方程组

(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?
解　(1)　,即时方程组有唯一解.

(2)　

由
得时,方程组无解.

(3)　,由,
得时,方程组有无穷多个解.

9．非齐次线性方程组

当取何值时有解？并求出它的解．

解　
方程组有解，须得
当时,方程组解为
当时,方程组解为

10．设
问为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解
时求解．
解　　

当,即　且时，有唯一解.
当且，即时，无解.
当且，即时，有无穷多解.
此时，增广矩阵为
原方程组的解为 ()

11．试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：
(1)　; (2)　.
解　（1）

故逆矩阵为
(2)　

故逆矩阵为

12．(1)　设,求使;
(2) 设,求使.
解
(1)

(2)
．

第四章　向量组的线性相关性

1．设,
求及.
解

2．设其中,
,,求
解 由整理得

3．举例说明下列各命题是错误的:
(1)若向量组是线性相关的,则可由线性表示.
(2)若有不全为0的数使

成立,则线性相关, 亦线性相关.
(3)若只有当全为0时,等式

才能成立,则线性无关, 亦线性无关.
(4)若线性相关, 亦线性相关,则有不全为0的数,
使
同时成立.
解 (1) 设

满足线性相关,但不能由线性表示.
(2) 有不全为零的数使

原式可化为

取
其中为单位向量,则上式成立,而
,均线性相关
(3) 由 (仅当)
线性无关
取
取为线性无关组
满足以上条件,但不能说是线性无关的.
(4)
与题设矛盾.

4．设,证明向量组
线性相关.
证明 设有使得
则

(1) 若线性相关,则存在不全为零的数,
;;;;
由不全为零,知不全为零,即线性相
关.
(2) 若线性无关,则
由知此齐次方程存在非零解
则线性相关.
综合得证.

5．设,且向量组
线性无关,证明向量组线性无关.
证明 设则

因向量组线性无关,故

因为故方程组只有零解
则所以线性无关

6．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:
(1) ; (2) .

解 (1)

所以第1、2、3列构成一个最大无关组.
(2)

，
所以第1、2、3列构成一个最大无关组．

7．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:
(1)　,,;
(2)　,,.
解　(1)　线性相关.
由
秩为2,一组最大线性无关组为.
(2)

秩为2,最大线性无关组为.

8．设是一组维向量,已知维单位坐标向量能
由它们线性表示,证明线性无关.
证明 维单位向量线性无关
不妨设:

所以　
两边取行列式，得
由
即维向量组所构成矩阵的秩为
故线性无关.

9．设是一组维向量,证明它们线性无关的充分必要条件
是：任一维向量都可由它们线性表示.
证明　　设为一组维单位向量，对于任意维向量
则有即任一维向量都
可由单位向量线性表示.
线性无关，且能由单位向量线性表示，即

故
两边取行列式，得

由
令则
由
即都能由线性表示，因为任一维向量能由单
位向量线性表示，故任一维向量都可以由线性表示.
已知任一维向量都可由线性表示，则单位向量组：
可由线性表示，由8题知线性无关.

10．设向量组:的秩为,向量组:的秩
向量组: 的秩,证明

证明 设的最大线性无关组分别为,含有的向量个数
(秩)分别为,则分别与等价,易知均可由
线性表示,则秩()秩(),秩()秩()，即
设与中的向量共同构成向量组,则均可由线性表示,
即可由线性表示,从而可由线性表示，所以秩()秩(),
为阶矩阵，所以秩()即.

11.证明.
证明:设
且行向量组的最大无关组分别为
显然,存在矩阵,使得
,

因此　

12．设向量组能由向量组线性表示为
，
其中为矩阵，且组线性无关。证明组线性无关的充分必要条
件是矩阵的秩.
证明　若组线性无关
令则有
由定理知
由组:线性无关知，故.
又知为阶矩阵则
由于向量组:能由向量组:线性表示,则

综上所述知即．
若
令,其中为实数
则有
又,则
由于线性无关,所以
即 （1）
由于则(1)式等价于下列方程组:

由于
所以方程组只有零解.所以线性无关,
证毕.

13．设

问是不是向量空间？为什么？
证明 集合成为向量空间只需满足条件：
若，则
若，则
是向量空间，因为：

且
故

故
不是向量空间，因为：

故

故当时，

14．试证:由所生成的向量空间就
是.
证明　 设

于是故线性无关.由于均为三维,且秩为3,
所以为此三维空间的一组基,故由所生成的向量空间
就是.

15．由所生成的向量空间记作,由
所生成的向量空间记作,试证
.
证明 设

任取中一向量,可写成,
要证,从而得
由得

上式中,把看成已知数,把看成未知数
有唯一解

同理可证: ()
故

16．验证为的一个基,并把
用这个基线性表示.
解 由于
即矩阵的秩为3
故线性无关，则为的一个基.
设，则

故
设，则

故线性表示为

17．求下列齐次线性方程组的基础解系:
(1) (2)
(3).
解　(1)
所以原方程组等价于
取得
取得
因此基础解系为
(2)
所以原方程组等价于
取得
取得
因此基础解系为
(3)原方程组即为

取得
取得

取得
所以基础解系为

18．设,求一个矩阵,使,且
.
解　　由于,所以可设则由
可得
,解此非齐次线性方程组可得唯一解
，　故所求矩阵．

19．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为
.
解　　显然原方程组的通解为
,()
即消去得
此即所求的齐次线性方程组.

20．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它
的三个解向量．且
，
求该方程组的通解．
解 由于矩阵的秩为3，，一维．故其对应的齐次线性
方程组的基础解系含有一个向量，且由于均为方程组的解，由
非齐次线性方程组解的结构性质得

为其基础解系向量，故此方程组的通解：，

21．设都是阶方阵，且，证明．
证明 设的秩为，的秩为，则由知，的每一列向量
都是以为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量．
(1) 当时,该齐次线性方程组只有零解,故此时,
，，结论成立．
(2)　当时,该齐次方程组的基础解系中含有个向量,从而
的列向量组的秩,即,此时,结论成立。
综上,．

22．设阶矩阵满足,为阶单位矩阵,证明

(提示:利用题11及题21的结论)
证明　　
所以由21题所证可知
又　
由11题所证可知

由此．

23．求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解
系：
(1) (2)
解　　(1)

(2)

24．设是非齐次线性方程组的一个解,是对应的齐
次线性方程组的一个基础解系,证明:
(1)线性无关；
(2) 线性无关。
证明 (1)反证法,假设线性相关,则存在着不全为0的数
使得下式成立:
(1)
其中,否则,线性相关,而与基础解系不是线性相关的
产生矛盾。
由于为特解，为基础解系，故得

而由(1)式可得
故，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得
产生矛盾,假设不成立, 故线性无关.
(2)反证法,假使线性相关.
则存在着不全为零的数使得下式成立:
（2）
即
1) 若,由于是线性无关的一组基础解
2) 系,故,由(2)式得此时
与假设矛盾.
3) 若由题(1)知, 线性无关,故
与假设矛盾,
综上,假设不成立,原命题得证.

25.设是非齐次线性方程组的个解，为实数，
满足.证明
也是它的解.
证明 由于是非齐次线性方程组的个解.
故有
而

即 （）
从而也是方程的解．

26．设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，是它
的个线性无关的解(由题24知它确有个线性无关的
解)．试证它的任一解可表示为
（其中）.
证明　设为的任一解．
由题设知：线性无关且均为的解．
取，则它的均为的
解．
用反证法证：线性无关．
反设它们线性相关，则存在不全为零的数：
使得
即
亦即
由线性无关知

矛盾，故假设不对．
线性无关，为的一组基．
由于均为的解，所以为的解可由
线性表出．

令则
,证毕．

第五章 相似矩阵及二次型

1．试用施密特法把下列向量组正交化：
(1)　；
(2)　
解　(1)　根据施密特正交化方法:
令，
，
，
故正交化后得: ．
(2)　根据施密特正交化方法令

故正交化后得

2．下列矩阵是不是正交阵:
(1)　; (2)　．
解　　(1)　第一个行向量非单位向量,故不是正交阵．
(2)　该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵．

3．设与都是阶正交阵，证明也是正交阵．
证明 因为是阶正交阵，故，

故也是正交阵．

4．求下列矩阵的特征值和特征向量:
(1); (2); (3).
并问它们的特征向量是否两两正交?
解 (1)　①　
故的特征值为．
②　当时,解方程,由
得基础解系
所以是对应于的全部特征值向量．
当时,解方程,由
得基础解系
所以是对应于的全部特征向量．
③　
故不正交．
(2)　①　
故的特征值为．
②　当时，解方程，由
得基础解系
故是对应于的全部特征值向量.
当时,解方程，由
得基础解系
故是对应于的全部特征值向量
当时，解方程，由
得基础解系
故是对应于的全部特征值向量．
③　，
，
，
所以两两正交．
(3)　
=

,
当时，

取为自由未知量，并令，设.
故基础解系为
当时，

可得基础解系

综上所述可知原矩阵的特征向量为

5．设方阵与相似，求.
解 方阵与相似，则与的特征多项式相同，即

．

6．设都是阶方阵，且，证明与相似．
证明 则可逆
则与相似．

7．设3阶方阵的特征值为；对应的特征向量依
次为
，，
求.
解 根据特征向量的性质知可逆,
得:
可得
得

8．设3阶对称矩阵的特征值6，3，3，与特征值6对应的特征向量为
,求.
解 设
由，知①
3是的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知的秩为1，
故利用①可推出
秩为1.
则存在实的使得②成立．
由①②解得．
得．

9．试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵:
(1);　　(2)．
解　　(1)　
故得特征值为．
当时，由
解得
单位特征向量可取:
当时,由
解得
单位特征向量可取:
当时,由
　　解得．
单位特征向量可取:
得正交阵

(2)，
故得特征值为
当时，由
解得
此二个向量正交,单位化后,得两个单位正交的特征向量

单位化得
当时,由
解得
单位化:得正交阵

．

10．(1)　设，求；
(2)　设,求．
解　　(1)　是实对称矩阵.
故可找到正交相似变换矩阵
使得
从而
因此

．
(2)　同(1)求得正交相似变换矩阵

使得

．

11．用矩阵记号表示下列二次型:
(1)　;
(2)　
(3)　
解　(1)　．
(2)　．
(3)　．

12．求一个正交变换将下列二次型化成标准形:
(1) ;
(2) ．
解　(1)　二次型的矩阵为

故的特征值为．
当时, 解方程，由

得基础解系. 取
当时，解方程，由

得基础解系取．
当时，解方程，由

得基础解系取，
于是正交变换为

且有．
(2)二次型矩阵为
，
故的特征值为
当时，可得单位特征向量，
当时，可得单位特征向量，
当时，可得单位特征向量，．
于是正交变换为

且有．

13．证明：二次型在时的最大值为矩阵的最大特征
值.
证明 为实对称矩阵，则有一正交矩阵，使得
成立．
其中为的特征值，不妨设最大，
为正交矩阵，则且，故
则．
其中
当时，
即即
．
故得证．

14．判别下列二次型的正定性：
(1);
(2)

解　(1)　,
，，，
故为负定．
(2)　，，,
,．
故为正定．

15．设为可逆矩阵,,证明为正定二次型．
证明 　设，，

．
若“”成立，则成立．
即对任意使成立．
则线性相关,的秩小于，则不可逆，与题意产生矛盾．
于是成立．
故为正定二次型．

16．设对称矩阵为正定矩阵，证明：存在可逆矩阵，使．
证明　　正定，则矩阵满秩，且其特征值全为正．
不妨设为其特征值，
由定理8知，存在一正交矩阵
使

又因为正交矩阵，则可逆，．
所以．
令，可逆,则.

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