基于多阶段搜索的约束多目标进化算法.pdf

2023 08 10计算机应用,Journal of Computer Applications2023,43(8):2345-2351ISSN 10019081CODEN JYIIDUhttp：/基于多阶段搜索的约束多目标进化算法徐赛娟1，裴镇宇2，林佳炜2，刘耿耿2*（1.福建商学院 信息工程学院，福州 350506；2.福州大学 计算机与大数据学院，福州 350116）（通信作者电子邮箱）摘要：现有约束多目标进化算法的约束处理策略无法有效解决具有大型不可行区域的问题，导致种群停滞在不可行区域的边缘；此外，约束条件下的不连续问题对算法的全局搜索能力以及多样性的维持提出了更高的要求。针对上述问题，提出了一种基于多阶段搜索的约束多目标进化算法（CMOEA-MSS），在该算法的3个阶段采用不同的搜索策略。为使种群快速穿越大型不可行区域并逼近Pareto前沿，所提算法在第一阶段不考虑约束条件，利用一种收敛性指标引导种群搜索；在第二阶段采用一组均匀分布的权重向量来维持种群的多样性，并提出一种改进的epsilon约束处理策略，以保留不可行区域中的高质量解；在第三阶段采用约束优先原则，将搜索偏好集中在可行区域以保证最终 解 集 的 可 行 性。CMOEA-MSS 与 NSGA-+ARSBX（Nondominated Sorting Genetic Algorithm using Adaptive Rotation-based Simulated Binary crossover）等算法在 MW 和 DASCMOP 测试集上对比的结果表明：在 MW 测试集上，CMOEA-MSS在7个测试问题上获得了最好的IGD（Inverted Generational Distance）值，在5个测试问题上获得了最好的HV（HyperVolume）值；在DASCMOP测试集上，CMOEA-MSS在3个测试问题上获得了最好的IGD值，在2个测试问题上取得了次好的IGD值，在5个测试问题上获得了最好的HV值。可见，CMOEA-MSS在处理不连续以及具有多模态性质的约束多目标问题时具有明显优势。关键词：约束多目标优化；多阶段搜索；约束处理策略；进化算法；收敛性；多样性中图分类号：TP301.6 文献标志码：AConstrained multi-objective evolutionary algorithm based on multi-stage searchXU Saijuan1，PEI Zhenyu2，LIN Jiawei2，LIU Genggeng2*（1.School of Information Engineering，Fujian Business University，Fuzhou Fujian 350506，China；2.College of Computer and Data Science，Fuzhou University，Fuzhou Fujian 350116，China）Abstract:Constraint handling strategies of the existing constrained multi-objective algorithms fail to solve the problems with large infeasible regions effectively，resulting in population stagnation at the edge of infeasible regions.Besides，the higher requirements are proposed for the global search ability and the maintenance of diversity of the algorithms by the discontinuous problems with constraints.To solve the above problems，a Constrained Multi-Objective Evolutionary Algorithm based on Multi-Stage Search（CMOEA-MSS）was proposed，with different search strategies used in three stages.To make the population across large infeasible regions and approximate Pareto front quickly，in the first stage，a convergence indicator was used to guide the population search without considering the constraints.In the second stage，a set of uniformly distributed weight vectors were utilized to maintain the population diversity，and an improved epsilon constraint handling strategy was presented to retain high-quality solutions in infeasible regions.In the third stage，the constraint dominance principle was adopted，and the search preference would focus on the feasible regions to ensure the feasibility of the final solution set.CMOEA-MSS was compared with NSGA-+ARSBX（Nondominated Sorting Genetic Algorithm using Adaptive Rotation-based Simulated Binary crossover）and other algorithms on MW and DASCMOP test sets.Experimental results show that CMOEA-MSS obtains the best IGD（Inverted Generational Distance）values on seven test problems and the best HV（HyperVolume）values on five test problems on MW test set，and obtains the best IGD values on three test problems，the second best IGD values on two test problems and the best HV values on five test problems on DASCMOP test set.It can be seen that CMOEA-MSS has obvious advantages in solving discontinuous and multi-modal constrained multi-objective problems.Key words:constrained multi-objective optimization;multi-stage search;constraint handling strategy;evolutionary algorithm;convergence;diversity文章编号：1001-9081（2023）08-2345-07DOI：10.11772/j.issn.1001-9081.2022091355收稿日期：20220906；修回日期：20220928；录用日期：20221008。基金项目：国家自然科学基金资助项目（61877010，11501114）；福建省自然科学基金资助项目（2019J01243）。作者简介：徐赛娟（1987），女，福建仙游人，讲师，硕士，主要研究方向：计算智能；裴镇宇（1998），男，江西上饶人，硕士研究生，CCF会员，主要研究方向：多目标优化；林佳炜（2001），男，福建永春人，主要研究方向：多目标优化；刘耿耿（1988），男，福建南安人，副教授，博士，CCF高级会员，主要研究方向：计算智能。第 43 卷计算机应用0 引言 约 束 多 目 标 优 化 问 题（Constrained Multi-objective Optimization Problem，CMOP）在日常生活中和工程问题上经常出现，如节能问题1、经济问题2。相较于无约束的多目标优化问题（Multi-objective Optimization Problem，MOP），CMOP求解难度更大。由于约束的存在，CMOP的目标空间被划分为可行区域和不可行区域，算法需要在搜索过程中穿越不可行区域，并在可行区域中寻找到一组分布良好的高质量解集。为了处 理 CMOP，学 者 们 提 出 了 许 多 约 束 多 目 标 进 化 算 法（Constrained Multi-Objective Evolutionary Algorithm，CMOEA）。解决CMOP的关键在于设计合适的约束处理策略，使得最终解集在满足约束的同时又取得理想的收敛性与多样性。例如约束优先原则3优先选择约束违反程度更小的个体，具有实现简单、没有引入额外参数等优点。但面对具有大型不可行区域的问题时，由于始终以约束作为主要的个体选择指标，种群将聚集于可行区域边缘，导致算法搜索的停滞。epsilon约束处理方法4利用一个参数来调整对于不可行解的接受程度，一定程度上弥补了约束优先原则的缺陷，但如何针对不同的问题设计合适的参数值，是该方法面临的最大挑战。随机排序（Stochastic Ranking，SR）法5采用一个随机数来决定基于目标值或是基于约束进行个体之间的比较，从而实现优化目标函数与满足约束之间的平衡。现有的多目标进化算法根据选择的策略可以分为基于Pareto支配、基于分解和基于指标的算法三大类：基于Pareto支配的算法根据非支配排序和密度估计来决定进入下一代的解集，如SPEA2（Strength Pareto Evolutionary Algorithm 2）6；基于分解的算法将一个多目标优化问题通过聚合函数分解为一系列的子问题并同时进行 优 化，如 MOEA/D（MultiObjective Evolutionary Algorithm based on Decomposition）7、MOEA/DD（Many-Objective Evolutionary Algorithm based on Dominance and Decomposition）8；基于指标的算法通过设计的适应度函数来衡量不同个体的优劣，如SMS-EMOA（S Metric Selection Evolutionary Multiobjective Optimization Algorithm）9、HypE（Hypervolume Estimation algorithm for multiobjective optimization）10。为了更有效地解决复杂的约束多目标优化问题，相关学者提出了一些基于多个阶段的约束多目标算法。例如ToPDE（Two-Phase Differential Evolution）11尝试在第一阶段找出尽可能多的可行解，而后在第二阶段优化这些可行解。MSCMO（Multi Stage Constrained Multi-Objective evolutionary algorithm）12将约束条件划分为若干个子约束条件，在算法前期只考虑部分约束条件以使种群收敛到潜在可行域，后续阶段在此基础上考虑更多的约束条件。PPS（Push and Pull Search）13采用基于两阶段的方法，将搜索过程分为推搜索和拉搜索，推搜索阶段仅优化目标函数而不考虑约束，拉搜索阶段同时考虑目标函数和约束。PPS具有良好的穿越不可行区域的能力，但PPS的推搜索阶段需要消耗大量的计算资源，如果计算资源有限，该算法可能无法在拉搜索阶段有效地处理约束，进而影响最终的解集质量。ToP（Two-Phase framework）14的第一阶段将原问题化为约束单目标优化问题，在第二阶段同时优化目标函数和约束。由于ToP在第一阶段使用约束优先原则处理约束，导致算法的搜索可能会出现停滞的现象。受到了以上算法的启发，本文提出一种基于多阶段搜索的 约 束 多 目 标 进 化 算 法（Constrained Multi-Objective Evolutionary Algorithm based on Multi-Stage Search，CMOEA-MSS），主要工作如下：1）提出一种三阶段搜索框架，在3个阶段采用不同的搜索策略来平衡收敛性、多样性与可行性三者之间的关系。2）提出一种改进的epsilon约束处理策略，平衡种群中可行解与不可行解的比例，避免高质量的不可行解在搜索过程中被淘汰。3）与现有的约束多目标进化算法在MW和DASCMOP测试集上进行全面的对比，本文算法在不连续以及具有多模态性质的复杂问题上具有优势。1 理论基础 一个具有m个目标函数的CMOP可以表述为：min F(x)=(f1(x)，f2(x)，fm(x)T（1）s.t.gi(x)0，i=1，2，l hj(x)=0，j=l+1，l+2，n x=(x1，x2，xd)S 其中：x是d维决策向量，S是决策空间，F（x）由m个目标函数f(x)组成，gi(x)是第i个不等式约束，hj(x)是第j个等式约束，l和(n l)分别是不等式约束和等式约束的个数。约束违反度用于衡量个体的违反约束的程度，具体计算如下：CV(x)=i=1nCVi(x)（2）CVi(x)=max(0，gi(x)，i lmax(0，|hi(x)|-)，其他；i=1，2，n（3）其中：CVi(x)为个体x在第i个约束上的约束违反程度，是一个非常小的正数。当且仅当CV(x*)=0时，称个体x*为可行解。对于一个最小化的多目标优化问题中的两个个体xu和xv，如果i 1，2，m，满足fi(xu)fi(xv)且i 1，2，m，fi(xu)fi(xv)，则称xu Pareto 支配xv，记作xu xv。种群中若不存在其他可行解支配某一个体，则该个体被称为Pareto最优解，由所有Pareto最优解所构成的集合被称为Pareto最优解集，而Pareto最优解集在目标空间中的映射被称为Pareto前沿。2 CMOEAMSS CMOEA-MSS的搜索过程分为3个阶段，算法流程如图1所示。算法第一阶段将约束多目标优化问题转化为不考虑约束的单目标优化问题，使算法在搜索过程中不受约束的阻碍，快速接近Pareto前沿；第二阶段采用基于分解的思想，利用权重向量引导种群均匀地搜索整个目标空间，同时提出一种改进的epsilon约束处理策略，保留部分不可行解；第三阶段采用基于约束优先原则，从而得到一组高质量的可行解。2.1第一阶段现有的约束处理策略实际上是对不可行解选择性地保留，换言之，约束的存在会对算法的搜索造成一定的影响。当算法需要穿越大型不可行区域时，算法的收敛速度会显著下降，种群甚至停滞在不可行域的边缘。为此，CMOEA-MSS的第一阶段搜索将约束多目标优化问题转化为不考虑约束的单目标问题，利用收敛性指标conv（）保留收敛性较好的个体，实现种群快速穿越不可行区域。收敛性指标计算公式如下：2346第 8 期徐赛娟等：基于多阶段搜索的约束多目标进化算法conv(x)=i=1mfi(x)（4）其中fi(x)表示的是个体x在第i个目标函数上的目标函数值。经过第一阶段的搜索后，可以得到一组接近Pareto前沿中心的解，便于种群在后续阶段向其他方向进行搜索，实现种群的广泛分布。第一阶段的环境选择如算法1所示。算法1 第一阶段环境选择。输入 种群Pt，种群大小N，最大评价次数maxFE；输出 种群Pt+1。while FE conv(xb)thenp=xbend if将个体p放入交配池中end for生成子代种群O将子代种群O与父代种群Pt合并计算合并后的种群中个体的收敛性指标conv(x)，选出最好的N个个体作为下一代种群Pt+1end while2.2第二阶段由于第一阶段主要依据收敛性指标进行个体选择，此时的种群相对集中，因此在第二阶段需要引入合适的多样性维持机制，从而扩大算法的搜索范围。本文采用Tchebycheff分解方法7，将多目标优化问题化为一组单目标优化问题并同时进行优化：h(x，i，z*)=maxj=1，2，mij()|fj(x)-z*j（5）s.t.j=1mij=1，ij 0z*j=mini=1Nf(xij)（6）其中：是一组均匀分布在目标空间中的权重向量，z*是理想点。尽管算法最终的目标是得到一组高质量的可行解，但若在搜索过程中只保留可行解，则会丢失不可行解所携带的信息。本文提出一种改进的epsilon约束处理策略，根据种群中的可行解比例自适应调整搜索偏好，具体计算公式如下：t=t-1/(1+)，frt t-1，frt max(1-t Tc)，frt（7）其中：frt是第t代种群中可行解的比例；、和是控制约束松弛的参数，取值范围是 0，1；和是控制算法在可行区域和不可行区域的搜索偏好的参数；max是种群中约束违反度最大值。第二阶段中的环境选择如算法2所示。和将算法在可行区域和不可行区域的搜索偏好划分为了3个等级：当frt时，种群中存在大量不可行解，此时的值会随着迭代次数的增加指数减小，从而得到更多的可行解；当 frt 时，种群中可行解与不可行解的比例较为平衡，随着算法不断搜索，以一定的速率减小；当frt 时，种群中大部分个体为可行解，缓慢减小，从而保留少部分的不可行解。算法2 第二阶段环境选择。输入 种群Pt，种群数 N，邻域大小 S，最大评价次数maxFE；输出 下一代种群Pt+1。While FE 0.9maxFE do在目标空间中生成均匀分布的权重向量for i=1 to N do为每个权重向量选出最近的S个向量作为邻居向量，并记录下所有邻居向量的下标H（i）=i1，i2，iSend for根据式（7）更新t的值for i=1 to N do从H（i）中随机选出两个邻居xi1和xi2，与xi生成子代y更新理想点与最大约束违反度从H（i）中随机选出jif CV(yi)t and CV(xj)t thenif h(yi|j，z*)h(xj|j，z*)thenxj=yielse if CV(yi)=CV(xj)thenif h(yi|j，z*)h(xj|j，z*)then xj=yielse if CV(yi)CV(xj)then xj=yiend ifend ifend ifend forend while2.3第三阶段第三阶段采用约束优先原则3对个体进行选择，即当个体xu和xv满足以下任意条件时，则xu优于xv。1）xu和xv都是可行解，且conv(xu)conv(xv)。2）xu是可行解，xv是不可行解。3）xu和xv都是不可行解，且CV(xu)CV(xv)。第三阶段中的环境选择如算法3所示。CMOEA-MSS在图1CMOEA-MSS流程Fig.1Flowchart of CMOEA-MSS2347第 43 卷计算机应用经过前两个阶段的搜索之后，种群中大部分的候选解已经是满足约束条件的可行解，并且在收敛性与多样性上已取得不错的优化效果，但由于第二阶段中对约束条件进行了松弛，在第二阶段结束之后，种群仍存在少部分不满足约束条件的不可行解，而收敛性与多样性只有建立在可行性之上才有意义，因此在算法搜索后期，种群已收敛至Pareto前沿附近，即多样性和收敛性均较好的条件下，第三阶段中CMOEA-MSS优先选择约束违反度较小的个体，引导剩余的不可行解向可行区域搜索，保证最终种群的可行性。对于约束违反度相同或是可行解而言，优先选择收敛性指标更好的个体，进一步加强种群的收敛性。算法3 第三阶段环境选择。输入 种群Pt，种群大小N，最大评价次数maxFE；输出 种群Pt+1。while FE maxFE do计算Pt中个体的收敛性指标conv(x)和约束违反度CV(x)for i=1 to N do从Pt中随机抽取两个个体xa和xbif CV(xa)CV(xb)thenp=xbelse if CV(xa)=CV(xb)thenif conv(xa)conv(xb)thenp=xaelsep=xbend if将个体p保留至下一代种群Pt+1end forend while3 实验结果与分析 3.1实验设置为 了 评 价 CMOEA-MSS 的 性 能，将 CMOEA-MSS 与NSGA-+ARSBX（Nondominated Sorting Genetic Algorithm using Adaptive Rotation-based Simulated Binary crossover）15、ToP14、PPS13和 I-DBEA（Improved Decomposition Based Evolutionary Algorithm）16在 MW1 MW14（MW）及DASCMOP1 DASCMOP9（DASCMOP）上进行实验对比，所有实 验 均 在 Platemo17上 进 行。其 中 MW4、MW8、MW14、DASCMOP7、DASCMOP8以及DASCMOP9的目标函数个数为3，其他测试函数的目标函数个数为 2，用 M 表示。CMOEA-MSS中=0.95，=2，=0.2，=0.5，=0.9。其他实验参数设置如下。1）种群大小：所有算法中的种群规模统一设置为100。2）运行次数：所有算法独立运行30次。3）终止条件：采用评价次数作为终止条件，maxFE评价次数设置为100 000。3.2评价指标为了比较不同算法的性能，在实验中采用了HV和IGD两个指标。IGD被广泛用于评价多目标优化算法的性能，计算公式如下：IGD(P)=1|P*|z*P*distance(z*，P)（8）其中：P 是待评价算法得到的最终种群，P*是均匀分布在Pareto前沿上的参考点集，distance（z，P）是z与P中所有可行解之间的最小欧氏距离。IGD值越小，约束多目标优化算法的性能就越好。HV测量由P与目标空间中指定的参考点所包围的超体积。计算方式如下：HV(P)=VOL()p Px|p x Zref（9）其中：VOL（）是Lebesgue度量，Zref是在目标空间中定义的一个参考点。HV值越大，约束多目标优化算法的收敛性与多样性等综合性能就越好。3.3实验结果3.3.1在MW上的比较结果MW测试集中包含了多种实际CMOP的特性，如较小的可行比例、不连续的可行区域、非线性约束等。表 1列出了CMOEA-MSS与其他算法在MW上得到的IGD值，表2列出了CMOEA-MSS与其他算法在MW上得到的HV值（最优的结果用加粗标注，次好的结果用下划线标注）。表1CMOEA-MSS与其他算法在MW测试集上获得的IGD值Tab.1IGD values obtained by CMOEA-MSS and other algorithms on MW test set测试函数MW1MW2MW3MW4MW5MW6MW7MW8MW9MW10MW11MW12MW13MW14M22232223222223NSGA-+ARSBX平均值2.000 8E-34.964 7E-26.917 9E-35.324 9E-21.490 0E-11.525 7E-15.152 0E-36.904 6E-28.468 5E-33.109 4E-16.834 1E-35.338 0E-32.059 8E-11.836 4E-1标准差3.94E-51.60E-22.81E-42.42E-33.32E-11.81E-14.04E-47.83E-31.86E-32.26E-13.36E-41.96E-46.46E-22.31E-2PPS平均值2.673 3E-31.955 6E-16.114 7E-35.407 3E-24.498 1E-12.950 6E-15.658 7E-31.196 4E-11.009 8E-23.881 2E-17.485 6E-36.644 9E-32.872 4E-11.294 6E-1标准差9.55E-51.50E-12.58E-42.10E-34.01E-14.70E-14.04E-43.06E-21.40E-30.00E+07.11E-41.93E-41.32E-12.70E-3ToP平均值4.307 7E-22.381 0E-19.331 7E-11.223 4E-1NaN9.553 0E-11.379 4E-25.795 1E-12.840 2E-1NaN9.743 2E-26.949 6E-12.540 4E-12.530 3E-1标准差0.00E+03.20E-12.75E-20.00E+0NaN3.08E-12.17E-36.42E-14.01E-1NaN1.61E-12.02E-18.05E-21.52E-1I-DBEA平均值4.433 5E-13.723 0E-16.152 6E-15.650 4E-17.145 1E-16.871 4E-16.500 4E-18.056 8E-17.391 2E-15.348 8E-11.117 1E+08.027 5E-11.126 8E+02.684 5E+0标准差9.50E-28.89E-23.73E-12.33E-14.61E-22.50E-11.30E-12.07E-14.77E-11.97E-12.79E-13.64E-16.67E-13.94E-1CMOEA-MSS平均值2.752 9E-32.680 3E-26.462 7E-35.803 8E-25.964 0E-11.363 3E-16.612 2E-36.224 3E-28.112 1E-36.491 7E-27.769 9E-36.963 5E-31.106 9E-11.232 8E-1标准差1.27E-48.93E-33.06E-42.42E-33.27E-11.99E-13.36E-47.27E-35.88E-46.51E-25.45E-46.69E-44.62E-25.88E-32348第 8 期徐赛娟等：基于多阶段搜索的约束多目标进化算法从表1得知，CMOEA-MSS在其中7个测试问题上获得了最好的IGD值。从表2得知，CMOEA-MSS在其中5个测试问题上获得了最好的HV值，在5个测试问题上获得了次好的HV值。CMOEA-MSS在第一阶段中不考虑约束，能够快速穿越大型不可行区域，同时在第二阶段和第三阶段逐步提升可行解的保留优先级，实现了对可行区域与不可行区域探索的平衡，因此 CMOEA-MSS 在处理具有多模态性质的距离函数18的MW6、MW8、MW10和MW13时具有明显优势。然而，由于CMOEA-MSS第一阶段与第三阶段分别针对收敛性与可行性进行优化，多样性的维持主要依赖于第二阶段，因此CMOEA-MSS 在处理具有偏置性质的距离函数18的 MW1、MW4以及MW5时，表现略有欠佳。图2展示了CMOEA-MSS与其他算法在MW2上获得的最终种群。对于多模态且具有不连续Pareto前沿的MW2而言，NSGA-+ARSBX虽然在多样性和收敛性上表现均不错，但种群距离真实 Pareto 前沿还有一定距离，陷入了局部最优。PPS与ToP在MW2上虽然能有较好的多样性，但最终种群也未能覆盖在真实Pareto前沿上，I-DBEA在搜索过程中丧失了多样性，只有CMOEA-MSS的最终种群均匀且广泛地覆盖在了真实Pareto前沿上，验证了本文算法在处理多模态问题上所具有的优势。3.3.2在DASCMOP上的比较结果DASCMOP中存在许多不连续问题，并且部分DASCMOP的可行域与无约束的 Pareto 前沿相距较远。表 3 列出了CMOEA-MSS与其他算法在DASCMOP上得到的IGD值，表4列出了 CMOEA-MSS 与其他算法在 DASCMOP1DASCMOP9上得到的HV值。从表3得知，CMOEA-MSS在其中3个测试问题上取得了最好的IGD值，在其中2个测试问题上取得了次好的IGD值。从表4得知，CMOEA-MSS在其中5个测试问题 上 取 得 了 最 好 的 HV 值。可 以 看 出，CMOEA-MSS 在DASCMOP4DASCMOP8 上展现出了最好的性能，因此本文算法 CMOEA-MSS 可以很好地解决具有多个不连续可行域的问题。CMOEA-MSS在第一阶段中优先选择收敛性更好的图2CMOEA-MSS与其他算法在MW2测试问题上获得的种群Fig.2Populations obtained by CMOEA-MSS and other algorithms on MW2 test problem表2CMOEA-MSS与其他算法在MW测试集上获得的HV值Tab.2HV values obtained by CMOEA-MSS and other algorithms on MW test set测试函数MW1MW2MW3MW4MW5MW6MW7MW8MW9MW10MW11MW12MW13MW14M22232223222223NSGA+ARSBX平均值4.899 2E-15.112 8E-15.413 1E-18.259 9E-12.776 6E-12.263 9E-14.114 7E-14.711 3E-13.896 7E-12.656 2E-14.476 0E-16.041 4E-13.570 0E-14.291 9E-1标准差1.52E-52.22E-24.81E-42.25E-31.04E-14.98E-24.56E-41.45E-22.35E-31.05E-18.18E-51.92E-43.79E-24.64E-3PPS平均值4.890 3E-13.510 5E-15.436 6E-18.224 0E-11.815 7E-11.905 0E-14.120 2E-13.666 1E-13.845 5E-12.235 0E-14.477 1E-16.024 9E-13.124 1E-14.530 6E-1标准差1.38E-41.62E-14.59E-43.68E-31.24E-11.09E-12.00E-45.44E-21.76E-30.00E+04.79E-55.65E-47.82E-23.00E-3ToP平均值4.146 4E-13.538 6E-10.000 0E+07.087 8E-1NaN2.014 4E-23.987 6E-11.794 2E-12.232 2E-1NaN4.155 1E-14.667 4E-23.296 2E-13.951 1E-1标准差0.00E+02.40E-10.00E+00.00E+0NaN4.03E-22.17E-32.54E-11.95E-1NaN5.33E-28.08E-24.71E-27.37E-2IDBEA平均值1.241 3E-12.378 0E-11.557 7E-12.317 6E-14.237 2E-27.607 4E-21.249 5E-18.526 6E-29.135 8E-21.405 3E-11.334 3E-15.458 5E-21.987 2E-11.071 4E-2标准差8.30E-26.38E-21.55E-11.44E-13.97E-24.67E-23.54E-23.19E-21.33E-15.93E-27.83E-28.19E-21.11E-19.68E-4CMOEA-MSS平均值4.882 7E-15.434 2E-15.431 2E-18.129 6E-11.361 8E-12.463 9E-14.115 3E-14.988 0E-13.893 8E-13.994 6E-14.475 6E-16.027 0E-14.222 5E-14.452 0E-1标准差6.04E-41.31E-29.08E-46.81E-31.01E-17.38E-23.33E-41.98E-26.76E-44.15E-21.79E-49.66E-43.18E-22.67E-32349第 43 卷计算机应用个体，导致算法对于距离原点较远的Pareto前沿片段的搜索不够充分。对于 DASCMOP1DASCMOP3 与 DASCMOP9 的目标空间的不同区域，收敛难度具有较大的区别19，因此CMOEA-MSS在处理这些问题时，表现相对较弱。图3展示了CMOEA-MSS与其他算法在DASCMOP5上获得 的 最 终 种 群。对 于 较 难 收 敛 且 具 有 欺 骗 性 质 的DASCMOP5，NSGA-+ARSBX虽然分布性尚可，但种群停滞在了离Pareto前沿还有一段距离的可行域。PPS中所提策略需要消耗大量的计算资源，因此，在有限的评价次数内，PPS的收敛性与分布性不尽人意。ToP 第一阶段将问题转化为考虑约束的单目标优化，无法快速穿越不可行区域，导致种群停滞在了离 Pareto 前沿非常远的不可行域。I-DBEA 在DASCMOP5上的解集聚集在了一个局部区域，未能取得较好的多样性。本算法绕过了具有欺骗性的可行域，最终均匀分布在了Pareto前沿，表现出了最佳的性能。表3CMOEA-MSS与其他算法在DASCMOP测试集上获得的IGD值Tab.3IGD values obtained by CMOEA-MSS and other algorithms on DASCMOP test set测试函数DASCMOP1DASCMOP2DASCMOP3DASCMOP4DASCMOP5DASCMOP6DASCMOP7DASCMOP8DASCMOP9M222322232NSGA+ARSBX平均值1.328 2E-11.983 7E-13.438 6E-13.632 1E-15.080 1E-16.709 3E-11.095 1E-17.318 8E-23.644 6E-1标准差2.69E-11.64E-21.79E-42.74E-22.05E-28.21E-23.94E-22.43E-25.70E-2PPS平均值5.607 9E-11.526 0E-13.444 8E-16.753 5E-13.597 0E-13.066 9E-12.309 6E-12.973 2E-15.341 1E-1标准差3.13E-18.40E-25.03E-41.65E-24.93E-14.27E-12.21E-12.06E-11.58E-1ToP平均值8.075 7E-17.037 7E-18.023 9E-1NaNNaNNaNNaNNaN6.785 9E-1标准差2.74E-21.72E-13.89E-2NaNNaNNaNNaNNaN2.90E-1IDBEA平均值8.228 8E-13.472 0E-14.682 3E-11.031 0E+01.058 7E+09.470 8E-18.471 7E-11.089 5E+08.220 4E-1标准差4.09E-23.43E-21.92E-11.13E-11.48E-11.44E-14.43E-13.88E-11.26E-1CMOEAMSS平均值6.869 2E-12.457 9E-13.849 0E-14.621 4E-11.721 1E-22.235 7E-25.460 4E-28.975 6E-27.1