基于《实变函数与泛函分析基础》课程学习的大学生数学认知结构的研究.pdf

基于 实变函数与泛函分析基础课程学习的大学生数学认知结构的研究苏文火,钟建新(宜春学院 数学与计算机科学学院,江西 宜春 3 3 6 0 0 0)摘 要:本文讨论大学生数学认知结构的发展进程,理论体系。并以 实变函数与泛函分析基础课程为例,探讨课程学习过程中大学生数学认知结构的基本特征,以及如何有效发展并建立良好大学生数学认知结构的教学策略和学习方法。关键词:数学认知结构;数学核心素养;实变函数与泛函分析基础中图分类号:G 4 2 0 文献标识码:A 文章编号:1 6 7 1 3 8 0 X(2 0 2 3)0 6 0 1 1 3 0 7A S t u d y o n t h e C o g n i t i v e S t r u c t u r e o f C o l l e g e S t u d e n t sM a t h e m a t i c s B a s e d o n t h e C o u r s e“R e a l V a r i a b l e F u n c t i o n a n d B a s i s o f F u n c t i o n a l A n a l y s i s”S U W e n h u o,Z HO N G J i a n x i n(C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s a n d C o m p u t e r S c i e n c e,Y i c h u n U n i v e r s i t y,Y i c h u n 3 3 6 0 0 0,C h i n a)A b s t r a c t:T h i s p a p e r d i s c u s s e s t h e d e v e l o p m e n t p r o c e s s a n d t h e o r e t i c a l s y s t e m o f c o l l e g e s t u d e n t sm a t h e m a t i c a l c o g-n i t i v e s t r u c t u r e.T a k i n g t h e c o u r s e“R e a l V a r i a b l e F u n c t i o n a n d B a s i s o f F u n c t i o n a l A n a l y s i s”a s a n e x a m p l e,t h i s p a p e r d i s c u s s e s t h e b a s i c c h a r a c t e r i s t i c s o f c o l l e g e s t u d e n t sm a t h e m a t i c a l c o g n i t i v e s t r u c t u r e,a n d d i s c u s s e s h o w t o e f f e c t i v e l y d e v e l o p t h e l e a r n i n g m e t h o d s a n d t e a c h i n g s t r a t e g i e s i n t h e c o u r s e l e a r n i n g p r o c e s s.K e y w o r d s:m a t h e m a t i c a l c o g n i t i v e s t r u c t u r e;m a t h e m a t i c s c o r e l i t e r a c y;R e a l V a r i a b l e F u n c t i o n a n d B a s i s o f F u n c-t i o n a l A n a l y s i s 2 0 1 4年国家教育部印发了教基二(2 0 1 4)4号文件,即 教育部关于全面深化课程改革,落实立德树人根本任务的意见,在该文件中专家们制定了符合当代大学生的核心素养体系标准以及学业标准。并特别强调“数学核心素养”即学生应具备的、适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键数学能力。良好的数学认知结构是具有高数学素养的前提。大量的研究数据表明,完善的数学认知结构对于数学知识的学习、理解以及在生产生活中的应用起着决定性的作用。完善的数学认知结构有利于促进学生对新知的理解、有利于学生“数学化”能力的发展、有利于学生正确表征数学问题、有利于提高学生利用数学知识处理科学难题的能力。进一步能够帮助学生提升数学素养,为服务社会做好准备。因此,优化大学生的数学认知结构具有重要意义。为了建立良好的数学认知结构,必须要了解良好数学认知结构概念以及基本特征。本文以高校数学专业主干课程 实变函数与泛函分析基础为例,从良好的数学认知结构特征出发展示大学生建立完善的数学认知结构所需的学习方法,以及教师应该采取的教学策略。1 大学生数学认知结构概念的界定数学认知结构是人们在长时间内的数学学习以及头脑对数学知识加工处理过程中建立起来的,国内外大量的学者对数学认知结构概念的界定作了深入研究。国外对数学认知结构研究较早的是瑞士心理学家皮亚杰1,他在文献中描述认知结构并不是天生存在于个体头脑中的,同样也不可能是外部强行赋予的,而是每个人由原初图式生长发展而形成的。初图式生311第4 5卷 第6期2 0 2 3年6月 宜春学院学报J o u r n a l o f Y i c h u n U n i v e r s i t y V o l.4 5,N o.6J u n.2 0 2 3 收稿日期:2 0 2 3 0 4 2 5基金项目:江西省教育科学规划课题(编号:2 1 QN 0 4 8)。作者简介:苏文火(1 9 8 7),男,江西上饶人,副教授,博士,研究方向为偏微分方程及其应用。长是个体与生俱来的能力,它被认为是认知结构的雏形,然后通过与个体的生长学习环境的相互作用不断地建构出多样化的认知结构。12而美国心理学家奥苏伯尔3认为,数学认知结构就是指学生个体头脑中通过后天学习形成的知识结构。确切地说,数学认知结构是某一个体所有数学概念以及全部数学内容和逻辑的组合。美国教育心理学家布鲁纳4从最根本的意义上把储存在人头脑中的所有数学知识看作是完整的认知结构,因此这是对数学认知结构做出的最抽象的概括。同时他认为,认知结构是每个人认识新事物或学习新知识过程中在头脑里面所采用的认识模式。知识被认为是以编码系统的形式结合在一起的,其最主要的一个特征是对相关的新事物新知识的类别做出了不同层次的结构安排。这种编码系统的结构形式对新事物和新知识进行一般的编码并做出解释和标志,决定新学的知识能否获得意义。5因此,可以说布鲁纳对认知结构给出了比较系统化,具有逻辑性的的阐述,其个体的头脑学习理论被称为认知结构的学习理论。5从现代信息加工心理学的观点来看,认知结构就是储存在每个个体头脑中长时间记忆系统内的陈述性知识和程序性知识的实质性内容以及两者之间的内在逻辑联系。21 9 8 9年我国著名数学教育学家曹才翰、蔡金法6所著的 数学教育学概论一书中首次明确提出了数学认知结构的概念,并对学生数学认知结构的特点进行了归纳、阐述。他指出:数学认知结构是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度,结合着自己的感觉、直觉、记忆、思维、联想等认知特点,组合成的一个具有内部规律的整体结构。7涂荣豹8认为,数学认知结构是存在于学生头脑里的数学知识结构与认识结构的有机结合而成的心理结构。刘斌9对数学认知结构提出了更加具体的观点,他认为数学认知结构是不同个体数学学习者头脑中所形成的数学知识结构,及其内化在个体学习者头脑中所生成的宏观数学观念的内容以及组织形式。这些是由数学知识的内部逻辑关系和规律交织在一起的,具体来说就是数学的基本概念、定义、定理、公理以及大量的数学方法相互渗透所形成的数学知识不同层次的梯级结构以及网络结构。龙毅1 0认为,数学认知结构应包括元认知成分,所谓数学认知结构是数学知识结构域学生个体心理结构相互作用的产物,是学生通过感知、记忆、表象、思维、想像等认知操作,在元认知的监控下把数学知识内化到头脑中所形成的一个具有内部规律的整体结构。除了上述有影响力的研究之外,还有很多学者对数学认知结构概念展开了细致的研究。1 11 62 以 实变函数与泛函分析基础为例,分析大学生数学认知结构的基本特征建立良好的数学认知结构,必须先对数学认知结构的特征做出深入研究,再根据不同的特征提出合适的教学策略以及学习方法。首先,何小亚1 7从提高数学素养的角度,认为良好的数学认识结构应该包括四个基本的特征,首先是要有足够多的数学观念,然后是头脑中形成稳定而又灵活的知识产生式,同时要有层次分明的数学观念网络结构以及一定的数学问题解决策略的观念。而严正香等1 8认为,良好的数学认知结构具有有序性,即反映学生对各知识间的内在联系的条理性的掌握;具有广阔性,从数学知识的量来讲,应有知识面广、基础牢固的特点,从数学知识的质来讲,应有高质量的知识组块;具有可建构性,指学生的数学认知结构有良好的生长点,学生能按照自己的“思维构造”去建构新的知识;也具有策略性,指学生的数学认知结构中含有较多的有关认知策略方面的知识,具备可持续发展性。米萌等1 9认为良好数学认知结构最主要的特征是数学知识“内化”程度要高、理解程度要深。韩冰等2 0通过对比不同成绩层次的学生对数学知识的学习,发现良好的数学认知结构要求知识间的关联性比较强,同时也发现基础知识与问题的表征方式也具有个性,因此良好的数学认知结构是处于动态发展中的。而笔者经过几轮 实变函数与泛函分析基础课程教学实践之下,认为良好的数学认知结构应该至少具备以下几个特征:(1)系统化、结构化的知识体系系统化、结构化的知识体系包含两个特点,一是高强度的逻辑内联,二是长路径的框架外联。满足上述两个特征的知识体系才可以激化为应用,才可以激活创新;而互相关联的数学知识点数量增多,并且联系的路径变长,它的网络图就表现出线条密集以及网络线的交点较多,形成这样的知识网络体系更易于个体间知识的联想以及信息的传递。要通过 实变函数与泛函分析基础课程形成良好的数学认知结构,首先就要对该课程以及相关课程的知识点产生牢靠的理解和记忆,并且积累,掌握足够多的知识点。这些知识点是构成良好大学生数学认知结构的基本元素。然而优良的数学认知结构不单单是知识点的简单堆砌,它必须是像化学反应一样,不同元素(知识点)的有机组合达到新的产出。除此之外,它们之间还应该有严格的逻辑关系,并按照一定的自然规律相互联系,形成一个完整的,有理有据的411第6期 宜春学院学报 第4 5卷体系。比如说:实变函数与泛函分析基础中的可测函数,几乎处处连续函数,连续函数从定义上看完全不一样,但是它们有清晰的内在联系。可测集上的连续函数是几乎处处连续的,并且是可测的函数。鲁津告诉大家,尽管该结论反过来不成立,但是可测的函数和连续函数以及几乎处处连续函数只相差一个测度很小的集合,即可测函数“差不多”是连续的。因此同学需要弄清楚它们之间的内在细微的区别。另一方面,形成完善的知识体系不能只看本课程的知识点,还应当与先修课程建立逻辑关系;比如:实变函数与泛函分析基础中勒贝格积分引入的目的,那是因为 数学分析所学的黎曼积分存在一定的缺陷,而勒贝格积分恰恰可以弥补这些缺陷。另一方面,系统中大量知识点的组织不能只考虑少量知识点的前后逻辑关系,同时也要考虑对新旧知识的宏观整体上的把握。不同的数学知识点之间的联系是有逻辑规律的,这种规律是个体在学习过程中,反复对前后知识进行归纳、分类、总结后形成的,是一种主次分明、以课本主干知识为框架、形成条理清晰的数学知识网络。因此,只有掌握足够多的知识点,同时对相关知识点进行总结,并进行适当的分类组合形成系结构化的知识体系,它是良好数学认知结构的特征之一。(2)头脑形成完善的知识处理系统学生在 实变函数与泛函分析基础学习过程中经常会出现一个问题思考好几天仍然无法解决的情况,在通过教师的提示之后会有一种醍醐灌顶,柳暗花明的感觉。这种现象的出现表明该生已经掌握足够的知识点,但是自己本身缺乏对知识整理,提取有效信息的能力,头脑中没有形成比较完善的知识处理系统,使得在面对陌生的题型时候无法高效地对已有信息加工处理得到产出。(3)具备吸收新知识以及改进认知结构的意识和能力学生在学习新知识的时候,如果能够将所学知识归类存放在自己完善的知识处理系统的恰当位置上,一方面是可以更加容易掌握新的知识,另一方面是可以丰富并完善自己的知识处理系统。进一步来讲,也是丰富和重组更加完美数学认知结构的关键所在。3 以 实变函数与泛函分析基础为例,建立完善数学认知结构的教学方法为了帮助学生构建更加良好的数学认知结构,大量的教育学者针对课堂教学的策略提出了很多富有建设性的建议。冯丹丹1 2、周丽鑫2 1、王利平2 2等认为教师首先应该了解学生原有的知识结构和认知结构,重视数学基础知识的获取和感知。同时,他们还认为应该创设问题情境,采用源于人们生活,生产活动或者是广为学生所认识的问题情境,促进学生顺利的构建良好的数学认知结构。学生在数学知识的学习过程中,也需要数学思想和数学方法的渗透,需要注重平时数学思维的锻炼。2 3孙景丽2 3、李世忠2 4认为在教学过程中要注重数学思想方法的传输,数学思想是数学知识结构的精髓。同时,他们也认为应当注重数学思维的锻炼。在数学教学中,教师非常有必要督促并锻炼学生形成良好的、科学的思维方式,这样才能帮助学生构建良好的认知结构。本文作者已经完成数轮 实变函数与泛函分析基础课程的讲授,下面通过 实变函数与泛函分析基础中具体的例子结合良好数学认知结构的特征阐述如何通过适当的教学措施帮助学生建立良好的数学认知结构。3.1 主干教学法教师在讲授一门课程的过程就像一个作家在写作的过程,第一步要理清楚写作的故事框架,然后再在主要框架下补充丰富的人物关系形成内容丰富,故事情节跌宕起伏,人物关系错综复杂,引人入胜的小说。同样的道理,教师在教学过程中首先应当让学生知道为了什么目的学习该课程,并带着该目的讲述章节内容与所要达到目的之间的关系,最后通过整门课程的学习讲述如何达到该目的。那么在建立本课程知识框架的过程就是立主干,具体的章节的学习就是补枝蔓。所以主干教学法可以概括为六个字“立主干,补枝蔓”。从良好数学认知结构的特征来讲,该方法可以进一步帮助学生建立完善的知识体系,提高吸纳新知识和重组认知结构的意识和能力。例如:在“实变函数”教学过程中,如何“立主干”?首先,通过和学生探讨R i e m a n n积分的不足2 5:(1)数学分析里面,函数的可积性与连续性有密切关系。这导致R i e m a n n积分在处理逐段连续的函数或者基本上连续的函数时非常方便,但是对于连续性较差的函数则无能为力。(2)极限与函数列积分次序的交换条件太苛刻,即何时下述等式成立:bal i mnfn(x)d x=l i mnbafn(x)d x(3)微积分基本定理的应用条件较高,R i e m a n n积分里要求导函数必须可积,才有N e w t o n L e i b n i z公式成立。511第6期 苏文火,钟建新:基于 实变函数与泛函分析基础课程学习的大学生数学认知结构的研究 第4 5卷(4)可积函数构成的空间不完备,即区间 a,b上的可积函数列的极限函数有可能不是可积函数。那么,如何处理上面的问题?L e b e s g u e给出了答案,他给出了一种新的积分的定义可以解决上述问题。那么要给出积分的定义不可避免的要涉及集合。因此,课本第一章节的内容是集合;同时,根据常识,要给出勒贝格积分定义还要有集合“长度”的概念,这就是课本第二、三章的内容“点集”和“测度论”。有了这些定义储备之后,第四章“可测函数”给出了L e b e s g u e积分的定义以及给出了可测函数类。那么第五章“积分论”自然就是新定义的积分的性质了。至此,可以说上述内容就是“实变函数”这门课的主干了。通过这种立主干的方式教学,学生可以明白为什么学习这门课,这门课要学习哪些内容,能够宏观的把握本课程的主要知识分布以及重难点。3.2 划归教学法把未知的问题转化为已知的问题,把复杂的问题转化为简单的问题的过程称为化归,化归即是转化与归结的简称。实变函数与泛函分析基础中化归思想的运用无处不在。在漫长的发展历史长河之中,不仅仅只建立了严格的知识结构体系,而且还形成了一套可行的、有效的思想方法。那么在其中具有普遍意义的方法原则之一就是化归思想原则。大量的数学方法都隶属于化归思想,与此同时,无数重要的思想和策略同样也能用化归来进行总结和概括。划归思想是知识系统化,能够建立前后知识网络的内涵关系,有助于帮助学生头脑里形成更加完善的知识处理系统。由此可见,在 实变函数与泛函分析基础中化归思想对学生的学习来说是至关重要的。泛函分析主要研究的是无穷维空间中的函数问题,2 0而无穷维空间的研究又是十分复杂的。可否将它进行简单化,把无穷维函数空间中的元素像有限维空间中向量分解一样进行分析呢?那么,接下来的这个例子将具体的体现出从无穷维空间到有限维空间的一种化归。从中可以看出,泛函分析中无穷维空间的研究很大程度上可以转化为有限维项向量空间一样研究。这种思想在可以大大加深同学们对泛函分析课程所有知识的把握,使同学们理解泛函分析实际上就是数学分析中有限维向量空间到泛函分析中无穷维空间的过度;明确了泛函分析的学习方法以及主要结论实际上是数学分析相应结论在无穷维空间的推广。可以通过下面的例子让同学们更加深刻的体会这一划归的过程。例1:数学分析中有限维空间中元素的分解。设R3是三维欧式空间中的一个向量,=(a1,a2,a3),其中a1,a2,a3分别是向量在三维空间直角坐标系(i,j,k)上的坐标,则在三维空间中对向量可以做分解:=a1i+a2j+a3k,其中a1=(a,i),a2=(a,j),a3=(a,k)分别为向量在三个坐标(i,j,k)轴上的投影。说明:对向量做上述分解在向量的研究中至关重要,因为在向量研究的时候总是可以将向量分解为共线向量和正交向量的相应研究,从而大大降低研究难度。而泛函分析的研究对象是函数,能否像三维空间坐标系一样对函数进行类似的分解呢?例2:函数的正交分解(无穷维的H i l b e r t空间)。由傅里叶级数可知,定义在-,上的一个解析周期函数可以进行如下分解f(x)=a02+k=1akc o sk x+k=1bks i nk x,其中 a02=12-f(x)d x,ak=1-f(x)c o sk x d x,bk=1-f(x)s i nk x d x。分析:单看这个公式的话,会感觉很复杂,很难看出其中蕴含的性质,那么其实可以将它与之前熟识的知识点进行类比,分解,从中找到一些合适的方法和步骤进行转化,从而探索出它的性质.与向量在n维空间的展开完全类似,f可以由无穷多个数确定,如果把函数与一组数对应,即把这组数看成它的坐标f(x)(a0,a1,b1,an,bn,),则由傅里叶展开式,可知坐标对应的坐标系为:e0=12,e1=1c o sx,e2=1s i nx,e2k-1=1c o sk x,类似于Rn空间,在这个函数空间L2(-,)上定义内积为:(f,g)=-f(x)g(x)d x.类比在Rn中,xRn,有x=x1e1+x2e2+xnen.其中x1=(x,e1),x2=(x,e2),xn=(x,en),对于函数f,有:f(x)=a0e0+a1e1+b1e2+ake2k-1+bke2k+其中:a0=(f,e0),a1=(f,e1),b1=(f,e2),ak=(f,e2k-1),bk=(f,e2k),611第6期 宜春学院学报 第4 5卷可以验证ei 其实是一组标准正交基,即(ei,ej)=0,ij,1,i=j,因为-1c o sn x1c o sm x d x=0,nm,1,n=m.-1s i nn x1s i nm x d x=0,nm,1,n=m.-1c o sn x1s i nm x d x=0.即-eiejd x=(ei,ej)=0,ij,1,i=j.所以ei 形成空间中的一组标准正交基,有a02=12-f(x)d x=12(f(x),1)=12(f(x),12);ak=1-f(x)c o sk x d x=1(f(x),c o sk x)=1(f(x),1c o sk x);bk=1(f(x),1s i nk x).并且f(x)=a02+k=1akc o sk x+k=1bks i nk x=(f(x),e0)12+k=1(f(x),1c o sk x)1c o sk x+k=1(f(x),1s i nk x)1s i nk x=(f(x),e0)e0+k=1(f,ek)ek+k=1(f,ek)ek=k=1(f,ek)ek.即:(1)在函数空间建立了一个正交坐标系;(2)每一个函数和一组(可数的)数一一对应f(x)=k=1(f,ek)ek,其中系数是f(x)和ek的内积,即f(x)在ek上的投影。说明:类比向量在n维空间的展开,以及Rn在函数 空 间L2(-,)上 定 义 的 内 积(f,g)=-f(x)g(x)d x,得到函数f在函数空间中建立的正交坐标系,以及每一个函数与一组(可数的)数的对应关系f(x)=k=1(f,ek)ek。而在探究的过程中,又是将函数f进行了分解,分解成了多个部分之后又重新进行了整合。类比是一种基于两个不同客体之间的相似点(如特征、属性、关系等)而作出一定判断的一种思想方法,与化归思想相结合,能更好地确定目标方向,找到求解方法。类比化归是一种在求解问题的过程中,寻找问题的新结果的有效思维方式。通过类比之前学习过的、熟识的知识,得到相应恰当的方式、方法来把一个问题解决掉。而把一个函数分解为若干部分分别来进行研究,然后再把这些部分统一起来的过程,也是典型的化归。这样可以把一个结构复杂的函数转化为多个相对来说更为简单的函数。因此,通过划归方法进行泛函分析课程的导入,使学生觉得泛函分析完全是数学分析的一种推广,建立起来新学知识与已学知识的联系。同时,可以通过该例子详细解释课本的内容分布以及内容安排的必要性。比如:通过上面的例子可以看出,泛函分析主要研究内容是期望把无限维空间的函数像有限维空间中的向量一样进行级数分解研究。那么研究过程中势必会用到“距离”“长度”“角度”等概念。这些概念在有限维向量空间中不难理解,但是怎么定义不同函数之间的“距离”“长度”“角度”?因此,实变函数与泛函分析基础教材中的泛函分析部分前三章内容分别为“度量空间”、“赋范空间”、“内积空间”,以此定义不同函数之间的“距离”“长度”“角度”等概念。同时在“距离”“长度”“角度”等概念的讲解中可以对以前学习的一般定理加以推广和应用。比如:不动点定理的一般形式及其应用,最佳逼近定理的一般形式以及应用。通过例2可以发现,可以给出系统中大量知识点的前后逻辑关系,同时也给出了泛函分析和数学分析,高等代数之间的关系,对新旧知识有了宏观整体上的把握。不同的数学知识点之间的联系是有逻辑规律的,这种规律是个体在学习过程中,反复对前后知识进行归纳、分类、总结后形成的,是一种主次分明、以课本主干知识为框架、形成条理清晰的数学知识网络。这种教学方式可以达到轻松学习的目的,还可以是学生的知识形成一个更加完整的体系,锻炼学生头脑里形成更加完善的知识处理系统,从而形成良好的数学认知结构。711第6期 苏文火,钟建新:基于 实变函数与泛函分析基础课程学习的大学生数学认知结构的研究 第4 5卷4 以 实变函数与泛函分析基础为例,建立完善数学认知结构的学习方法良好的数学认知结构第一个特征就是建立系统化,结构化的知识体系。所谓知识体系,就是通过大量学习,长时间积累和思考,把学到的零零散散的独立知识点,和概念结构化,建立新学内容与已经学习内容的连接,让知识更好地发挥价值。一个完整的知识体系通常包括三个特征:知识架构、知识内容、内容之间有联系。4.1 同化学习法把新学习的知识纳入原有认知的过程,称为同化法。例如:在学习泛函分析时候,学生很难理解泛函分析的框架,完全不知道“距离空间”“赋范空间”“内积空间”等内容学习的意义,也很难理解里面的部分重要定理的本质。如果在泛函分析课程的学习上应用同化法可以加深对泛函分析内容的理解,更容易把控整门课程的内容,更容易找到学习的切入点。事实上,泛函分析本质上是在无穷维空间里面像有限维欧式空间一样建立坐标系,在无穷维坐标系下引入数学分析里面的极限理论,进而处理泛函问题。那么,要在无穷维空间引入极限理论,就必须有距离、长度、角度等概念,即对应教材“距离空间”“赋范空间”“内积空间”等章节内容,同样的学生在学习过程中要善于把泛函分析里面的定理与数学分析中的定理一一对比,其实它们本质是一样的。例如:实变函数与泛函分析基础一课中距离空间的完备性和紧性就是 数学分析中柯西收敛条件和有限覆盖定理抽象化;实变函数与泛函分析基础中的最佳逼近定理就是 数学分析魏尔斯特拉斯逼近定理的抽象化。因此,学习泛函分析时候,需要通过分析,比较,综合等方式对数学分析和泛函分析里面的内容加工,类比,以揭示它们之间的联系与区别,把泛函分析的内容纳入已经学过的数学分析,这就是同化学习法。同化学习法可以使不同的知识内容建立联系,形成完整的知识框架以数学认知的形式储存在人脑中,以便在应用时候可以及时调用。当长时间进行不同知识同化处理累积后,学生的头脑逐渐形成良好的知识处理系统,进而达到具备吸纳新知识和重组认知结构的意识和方法。例如,在学习实变函数的时候,经常会把 数学分析课程中的一些重要结论用集合的语言描述,见下面例子:例例33 设fn(x)是定义在E上的函数列,令E=x:l i mfn(x)=n。实变函数里面用集合语言对函数列发散可以进行如下描述:E=k=1N=1n=Nx:fn(x)k ,也可以描述为E=kR+N=1n=Nx:fn(x)k ,还可以描述为E=k=2N=1n=Nx:fn(x)k .尽管上述等式右端k的取值不同,但上述描述是等价的。在学习过程中发现很多同学对此难以理解,而且是绞尽脑汁也想不明白。因为k的取值不同,意味着最后一步取交集的集合个数不一样,这意味着三种集合表示方式是不一样的。此时就需要深刻理解函数列发散的定义:对任意的k0,存在N0,对任意的nN,都有fn(x)k。因此,从定义可以看出对k的值实际上只要保证能够取到足够大的数就可以了。而上面的三种等价表述方式都可以保证k的值足够大,因此是这三种表述方式是等价的。从这个角度去理解会给学生一种醍醐灌顶的感觉。事实上,这里可以很好的利用同化学习法,建立知识内容之间的联系,形成完整的知识框架以数学认知的形式储存在人脑中。4.2 顺应学习法当已有的认知结构不足以使新学知识同化,此时应当调整原有的认知结构,使之适应新学的知识这种学习的模式称为顺应学习法。顺应学习法包括两个方面,调整和并列。并且能够将所学知识归类存放在自己完善的知识处理系统的恰当位置上。调整,就是升级原有认知结构的组织形式,或者给于新认知结构某些观念以更新或者更广的概念,使之与新学知识相吻合,并以此接纳新学知识。例如:“泛函分析”中凸集的“最佳逼近”定理,就是初中学习的“垂径定理”的抽象化,并用来解决大量的函数集中的难题。那么,在学习最佳逼近定理的时候就要有意识的与直观的特例比较。“距离”的概念就是中学时候“绝对值”概念的推广;“范数”就是中学阶段向量“长度”概念的推广;函数的内积就是中学阶段向量内积的推广。并列,就是把新学的知识和已经学过的知识赋予一些内在的联系,并把新旧知识并列地连接成一个新的知识体系。例如:“实变函数”中勒贝格积分弥补了黎曼积分的一些不足,大大的扩充了可积函数类,可以认为勒贝格积分是先修课程中黎曼积分的并列与推广。那么在学习实变函数的过程中要充分理解课程的主干是定义一类新的积分,以弥补黎曼积分的不811第6期 宜春学院学报 第4 5卷足,并研究其性质,因此需要先从集合理论开始学习。学生明白了本课程的主要目的的同时,还应当善于把勒贝格积分理解处理成黎曼积分的一种并列或者顺应。同时,把微积分的发展历史串联起来理解黎曼积分和勒贝格积分的地位,以及它们之间的并列和顺应关系,并将该部分知识归类存放在自己完善的知识处理系统的恰当位置上,以便处理问题的时候可以及时调用。同化和顺应的学习方法可以帮助学生们形成良好的数学认知结构,它们不仅是对立统一的,而且是相辅相成的,它们互相补充,同时存在于同一个学习过程。否则难以使学生形成良好的数学认知结构,难以培养出具有较高数学素养的学生。参考文献:1(瑞士)皮亚杰.认识发生论M.北京:商务印书馆出版,1 9 9 0.2郝俊彦.数学认知结构与数学学习成绩相关性的研究D.南京:南京师范大学,2 0 0 4.3奥苏伯尔.教育心理学 认知观点M.佘南星,宋钧,译.北京:人民教育出版社,1 9 9 4.4布鲁纳.布鲁纳教育论著选M.邵瑞珍,译.北京:人民教育出版社,1 9 8 9:4 2 5 7.5张颖,吴建华.对数学认知结构的再认识J.聊城大学学报(自然科学版),2 0 0 4,1 7(4):4 5.6曹才翰,蔡金法.数学教育学概论M.南京:江苏教育出版社,1 9 8 9:5 2 5 3.7陆珺,喻平.对我国数学认知结构研究的反思J.数学教育学报,2 0 1 0,(2):1 9 2 2.8涂荣豹.数学教学认识论M.南京:南京师范大学出版社,2 0 0 3:1 7 2 1 7 5.9刘斌.从构建学生数学认知结构看高中数学教材的编写J.课程教材教法,1 9 9 8,(5):2 6 2 9.1 0 龙毅.试论数学认知结构J.吉首大学学报(自然科学版),1 9 9 6,1 7(1):2 8 3 1.1 1Y a n g Z.Z.,Z h u M.,Q u Z.H.,e t a l.R e s e a r c h o n O r g a n i z a-t i o n o f M a t h e m a t i c s K n o w l e d g e i n G o o d M a t h e m a t i c a l C o g n i-t i v e S t r u c t u r eJ.E u r a s i a J o u r n a l o f M a t h e m 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