基于广义忆阻器的Lü超混沌系统分析及其应用.pdf

兰州大学学报（自然科学版），2 0 2 3，59(3）6 月Journal of Lanzhou University(Natural Sciences),2023,59(3)/June基于广义忆阻器的Li超混沌系统分析及其应用孙绍泽，李锦屏，李新颖兰州交通大学电子与信息工程学院，兰州7 30 0 7 0摘要：引人一个双曲正切的广义压控忆阻器到L混沌系统中，增加混沌系统的复杂程度，构建了一个新型的四阶超混沌忆阻系统.采用Lyapunov指数、分岔图等非线性系统分析方法对忆阻系统进行理论分析，验证系统的超混沌特性.研究忆阻系统的动力学行为，对系统参数与初始值的改变进行分析，得到随参数变化引起的分岔与瞬态混沌现象和随初始值变化的吸引子共存现象，电路仿真及硬件电路验证了该忆阻超混沌系统的正确性与物理可实现性.将该忆阻超混沌系统应用于彩色图像加密中，具有良好的密钥敏感性和丰富的动力学特性，与加密算法结合后可用于保密通信领域。关键词：广义压控忆阻器；超混沌；动力学行为；硬件电路；图像加密中图分类号：0 415.5文献标识码：A文章编号：0 455-2 0 59(2 0 2 3)0 3-0 38 7-11D0I:10.13885/j.issn.0455-2059.2023.03.014Analysis and application of the Lu hyperchaotic system basedon generalized memristorSUN Shao-ze,LI Jin-ping,LI Xin-yingSchool of Electronic and Information Engineering,Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou 730070,ChinaAbstract:A new fourth-order hyperchaotic memristor system was constructed by introducing a hyperbol-ic tangent generalized voltage-controlled memristor into the Li chaotic system to increase the complexityof the chaotic system.A theoretical analysis of this memristor system was carried out,and the nonlinearsystem analysis methods such as Lyapunov exponent and bifurcation diagram were used to verify thehyperchaotic properties of the system.The dynamic behavior of this memristor system was further inves-tigated,and the bifurcation and transient chaotic phenomena caused by the change of parameters and ini-tial values analyzed,and the attractor coexistence phenomena caused by the change of initial valuesobtained.Circuit simulations and hardware circuits were fabricated to verify the correctness and physicalrealizability of this memristive hyperchaotic system,which was then applied to color image encryption.The system has good key sensitivity and rich dynamics,and can be used in the field of secure communica-tion in combination with encryption algorithms.Key words:generalized voltage controlled memristor;hyperchaos;dynamic behavior;hardware circuit;imageencryption忆阻器的概念在19 7 1年首次被提出，将电荷量与磁通量联系起来.2 0 0 8 年，惠普实验室基于掺杂的TiO,薄膜用纳米技术首次制成了忆阻器2 .忆阻器的阻值与两端电压的极性、大小及持续时收稿日期：2 0 2 2-0 5-0 7修回日期：2 0 2 2-0 6-16基金项目：甘肃省科技厅计划项目(2 1JR7RA290,22JR5RA362,22JR5RA363)；甘肃省高等学校创新基金项目2 0 2 1B-107)；校级研究生教育改革重点项目(JG202201）作者简介：李新颖(19 7 8-),女，甘肃兰州人，副教授，硕士，硕士研究生导师，e-mail:,研究方向为智能信息处理和非线性系统，通信联系人。388兰州大学学报（自然科学版），),2023,59(3)间有关，且断电后阻值不会消失，具有非易失性，且其伏-安特性曲线具有倾斜“8 字形紧磁滞回线.忆阻器的特殊性能为未来的电路设计及应用提供了广阔的研究空间，已被广泛用于混沌电路3-4、神经网络电路5-6 、存储器7 等领域忆阻器因具有独特的伏-安特性曲线，在电路中易引起振荡与混沌，因此基于忆阻器的混沌系统设计成为研究热点.目前在混沌电路系统中引人忆阻器一般是在蔡氏电路中用于替换非线性元器件8-或在经典混沌系统，如Chual0、Lo r e n z 、Sprott-BI12中作为反馈项及变量引人.对于经典的L混沌系统3,可对系统变量进行扩展，形成超混沌系统并进行电路实现4；也可以引入一个理想三阶磁控忆阻器形成超混沌系统并对其动力学特性15-16 进行研究.由于混沌系统具有离散性强、初值敏感等特点，因此也可将其用于图像加密17-2 0 ,本研究基于Li系统，引人一个双曲正切的广义压控忆阻器，设计一种新型忆阻超混沌系统，增加系统的复杂程度，使其具有新的动力学特性.1基于忆阻器的Li超混沌忆阻系统1.1Li系统模型Li系统模型为x=a(y-x),j=cy-xz,(1)2=xy-bz.其中,系统参数=36,c=20,b=3,x,y,z代表系统变量.当x,y,z的初始值选为(1,1,1)时，其Lyapunov指数为1.1431、0.0 2 8 2、-2 0.17 12.根据(1)式可得到图1中的吸引子。50403020100402040020-200-20-40X图1Lu系统的吸引子Fig.1Attractorofthe Lu system1.2超混沌系统模型根据忆阻器的理论可知，一个广义的压控忆阻器可表示为i=W(x)v,dx(2)=(x,v).其中,W(x)为忆导,是一个以x为变量的连续型函数；v为施加在忆阻器两端的输人电压；i为通过忆阻器的电流；x为忆阻器内部的状态变量.由(2)式可知，一个新的广义压控忆阻器可表示为i=(0.2-0.6 tanh(x)v,dx(3)0.1vx.dt其中，x为磁通量，tanh（)为双曲正切函数.在此忆阻器两端施加周期信号v=Asin(2元fl),其中A为幅值，为频率，t为时间.对忆阻器在不同激励信号的幅度及频率下的伏-安特性曲线进行分析.当设置A=10时，改变f,得到的伏-安特性曲线见图2 a.随着信号f的增加，忆阻器的滞回曲线面积会越来越小，最终趋于一条直线.当设置0.6时，改变A所得到的伏安特性曲线见图2 b，随着A的增大，忆阻器的滞回曲线面积也随之增大，且均经过原点.所以该模型满足忆阻器的特性2 1.在(1)式的第2 个方程中引人一个忆阻器，得到一个四阶的忆阻系统x=a(y-x),j=cy-xz+kxW(u),(4)2=xy-bz,i=dxu.其中,k表示与忆阻器有关的系数；W(u)=0.2-0.6tanh(u)为系统引入具有忆阻器性质的函数方程.W(u)与(3)式中的忆阻器模型一致,但量纲为1.选择参数a=36,c=20,b=3,d=0.1,k=1,初始值选为(0.2,0.5,0.3,0.2)时，图3为系统产生的混沌吸引子相图，图4为y=1时的Poincare截面.Poin-care截面是在多维相空间中适当选取的一个截面,当Poincare截面是一些成片的具有分形结构的密集点或一定范围内不封闭的连续曲线时，系统是混沌的.计算的Lyapunov指数为1.40 9 4、0.0 40 6、-0.0788、-2 0.39 0 2,有两个状态变量的Lyapunov指数大于0，因此该系统为超混沌系统1.3系统特性分析对称性在L系统中将(x,y,z)变换为(-x,-y,z)时是关于z轴严格对称的混沌系统.基于忆阻器的Li超混沌系统同样具有系统不变性，(4)式在(x,y,z,u)变换为(-x,-y,z,-u)时也是对称不变的,389孙绍泽，等：义忆阻器的L超混沌系统分析及其应用1.5斤1.5r1.0F-0.61.0.4-60.50.5A=100F-0.404-3-0.5F-0.3-0.5-1.0-1.0-1.5-1.5-10-50510-10-50510A=10时，不同下的滞回曲线bF-0.6时，不同A下的滞回曲线a图2 输人信号频率/振幅相关的伏-安特性曲线Fig.2Input signal frequency/amplitude dependent voltammetric characteristic curve404073535303025252020151510105500-30-20-100102030-30-20-100102030ay-z平面bx-2平面252050154010305020-510-100-1540-202040020-250-30-20-100102030-20-20X-40XX-y平面三维图Cd图3系统的吸引子Fig.3Attractorof thesystem关于z轴对称。耗散性：对(4)式进行耗散性分析可知xiVV-19+0.1x.xyzau当系统参数取a=36,c=20,b=3,d-0.1时，x30,Vv 0 时，特征值2,与2 都为实数，则系统的平衡点都是稳定的；当4=0 时，为临界点状态；当42W()-20+(9)16W()?+320W()/2，或时平衡点集为稳定的，相反平衡点为不稳定的，1.4超混沌系统的动力学特性分析1.4.1分岔特性与瞬态混沌由于系统中有无穷多个平衡点，因此(4)式具有如极限环、混沌、超混沌等多种复杂的动力学行为现象当改变系统参数时会对平衡点的稳定产生影响.为进一步研究系统的非线性动力学特性，计算系统参数a、b 以及忆阻增益k改变时系统的Lyapunov指数谱与分岔的变化情况.固定系统参数b=3,c=20,k=1,d-0.1时，取ae30,50,步长0.0 1，初始值取(0.2,0.5,0.3,0.2),a2W()-20-(10)16W()?+320W()/2Lyapunov指数谱与分岔图见图5,LE14分别代表不同初始值时的Lyapunov指数.随着a的增大，系统由混沌态进入多个倍周期分岔后进人周期态，接着进人短暂的混沌状态，最后进人周期态.可见Lyapunov指数谱与分岔图相吻合，中间短暂有限区域内的混沌现象被称为瞬态混沌.固定系统参数a=36,c=20,k=1,d=0.1时,取be1.2,3.5，步长0.0 0 5,初始值为(0.2,0.5,0.3,0.2)时，Lyapunov指数谱与分岔图见图6.由图6 可见，随着b的增大，系统由周期态变为多个倍周期分岔后进人混沌状态，接着处于短暂的周期态后进人混沌态。2520151050-5-103035404550aa分岔图1070深oundeK-10-20LEI-30LE2LE3LE4-403035404550b Lyapunov指数谱图5系统随参数a变化的分岔图与Lyapunov指数谱Fig.5Bifurcation diagram of the system with parametera and Lyapunov exponent spectrum固定系统参数=48,b=3,c=20,d=0.1时，当ke3，7 ，初始值为(0.2,0.5,0.3,0.2)时，Lyapunov指数谱与分岔图见图7，随着k的增大，系统由周期态直接进人混沌态.随着、b、k 的改变，体现了该系统通向混沌的一个过程，相较于传统L系统，其复杂程度更高1.4.2多吸引子共存现象多吸引子共存也称多稳态，是指在同一参数391孙绍泽，等：基于广义忆阻器的Li超混沌系统分析及其应用下的系统具有多种不同的稳定运行状态，系统最终为哪一种状态是由系统的初始值所决定的.随着(4)式初始值的变化，系统会呈现出不同的运动状态.固定系统参数a=48,b=3,c=20,k-1,d=0.1,设x,J,z的初值为(0.2,0.5,0.3)，改变第四维初始值u.当u在区域-1.0,0.5 改变时,Lyapunov指数谱与分岔图见图8,当uE-1，-0.19 ,系统为混沌态,当ue(-0.19,0.5,系统变为周期态.表明系统在不同初始值的情况下拥有不同的动力学行为。25520015-5康AoundeKTLEI10LE2-10LE35LE4-150-20-5-10-251.01.52.02.53.03.51.01.52.02.53.03.5bba分岔图b Lyapunov指数谱图6 系统随参数b变化的分岔图与Lyapunov指数谱Fig.6 Bifurcation diagram of the system with parameter b and Lyapunov exponent spectrum2510720015康AoundeT10LE1LE210LE3-20LE45-3005-403456734567ka分岔图bLyapunov指数谱图7 系统随忆阻增益k变化的分岔图与Lyapunov指数谱Fig.7Bifurcation diagram of the system with amnesia gain k and Lyapunov exponential spectrum2510r20015乐AoundeT-10LE1LE210LE3-20LE45-300-40-1.0-0.500.5-1-0.500.5ua分岔图b Lyapunov指数谱图8 系统随初始值u变化的分岔图与Lyapunov指数谱Fig.8Bifurcation diagram and Lyapunov exponent spectrum of the system with the initial value u392兰州大学学报（自然科学版），2 0 2 3，59(3)为进一步证明多吸引子共存现象，当u(0)=0.3时，相应的吸引子相图见图9 a,为周期态；当u(0)=-0.3时，相应的吸引子相图见图9 b，为混沌态，可见随着初始值的变化，系统呈现出不同的状态。202520151510105500-5-5-10-10-15-15-20-25-20-15-10-505101520-30-20-100102030XXau(0)=0.3bu(0)=-0.3图9不同系统初始值u对应的系统x-y相图Fig.9System x-y phase diagram corresponding to different system initial values u2忆阻超混沌系统的电路实现2.1电路仿真设计采用Multisim仿真软件对超混沌系统进行电路设计，整体忆阻器超混沌电路图见图10.用运算放大器(TL074)以及三极管(2 N3904)构成忆阻器中的tanh()等效电路作为u支路，其中三极管Q3与电阻R，、R。、R 组成恒流源.电路设计中用运算放大器与电容组合实现反向积分的功能，与电阻结合实现反相器的功能，电路中的非线性项用乘法器来实现.根据基尔霍夫电压定律将(4)式表达为对应的电路方程：V-VVRioC,R.CV.Vy,tanhR2C2R2iC,R20C2R2;C,(11)-VVyRC,RCVVVR.C424XRoCC3?2Rs2.8ko100nFM1MF3.3kQ2二R1IU2CA3MXR33二UIC92.8ko810029十O.I V/VOV8104TL074CN104TL074CNa支路b2支路RisRMRR23ik210kQRisRi4520Q三UID40k210k2M13R2CURiUIAQiQ2R13UIBtanh1410k222N3904500Q1FM140k6122N390454TL074CN3TL074CN74RQ:40k2TL074CNVCCXJ42VEE7.2k522N39018VR21-18V40kQ区RXR12Rs11.65k52C4100Q10k2O.IV/OVH10koR20IuFtanhuJA二A41.66k2二U2DR34TL074dNUR6区X区U2B1310k522U2A1k2U60.1V/OV0.1V/0V7R2s14X3TL074CN124TL074CNVCC50kQ18Vc支路du支路图10 忆阻器超混沌系统的电路实现Fig.10Circuit implementation of hyperchaotic memristor system393孙绍泽，等：义忆阻器的L超混沌系统分析及其应用因为元器件两端电压为土18 V，如果(4)式中的状态变量作为电压，将会超过电路中元器件的电源电压范围，故将系统的状态变量按比例压缩，使V=10v，V,=10 v y，V=10 v a 1，则状态变量u作为电压可满足元器件的电源电压范围v=Vw,其中施加在积分电容上的电压为VI、V、Vl、Vu l.乘法器选用倍乘因子0.1的AD633乘法器，并进行时间尺度变换，变换因子t。=10 0.最终得到标准化方程v,=-3.600v,+3600vy,i,=2 000v,-10000v,V,-600v,tanh(vu)+20v(12)v,=-300v,+10 000v,Vy,v.=1000v,Vu.由(11)、(12)式计算得到Rio=R,=2.8k2,C,=100 nF,R22=500 Q,R2=R33=100 2,R2o=1.66 k2,R,s=50 k2,C,=C,=C,=1 F,R,=3.3 k2,R=1 k2.电路中的运算放大器是TL074.2.2电路实现将仿真电路用硬件制成实际电路，通过观察示波器上的相图证明该超混沌系统的可行性，结果见图11.X0XX-z相图b y-z相图cx-y相图a图11电路实验吸引子相图Fig.11Circuit experimental attractor phase diagram由图11可知，各平面相图与仿真结果一致。通过硬件电路的实现验证了此超混沌系统的正确性与实用性，3基于超混沌系统和DNA编码的彩色图像加密Logistic方程也称为虫洞模型2 ,其混沌的定义为Xn+1=u(1-x,).(13)其中，为系统参量，且E(0,4),x,E(0,1).当E(3.5699,4)时,Logistic系统处于混沌状态，脱氧核糖核酸(DNA)每一条都包括4种碱基,分别为A(腺嘌呤)、T(胸腺嘧啶)、C(胞嘧啶)以及G(鸟嘌岭),其中A与T互补,C和G互补.二进制中0 与1为互补关系，因此对于两位二进制数0 0 和01,01与10 也是互补关系，所以可用碱基A、T、C、G 对0 0、11、10、0 1进行DNA编码2 3.取系统初值x、J、z、w 进行迭代，在横坐标0 2 0,该新型超混沌系统的序列值见图12.由图12 可知，在一定区间内新型超混沌系统的波形变化较明显，密钥的敏感性更高，适合加人加密算法中.3020100-10VV-2002468101214161820序列3020100-10VV-200246810 1214161820列50403020100024681012141618202序列0.550.45=0.350.250.1502468101214161820序列图12 亲新型超混沌系统序列图Fig.12Sequence diagram of the new hyperchaotic system将彩色图像分为二维矩阵R、G、B,对每个二维矩阵分块进行DNA编码与运算，以保证加密的效率，加密后对矩阵的行、列进行置换，最终合并3个通道得到彩色加密图像.新型超混沌系统生成的序列决定了每一个分块矩阵的DNA编码、解码及运算规则，并且其初始值与原始图像挂钩，提升了抗攻击能力.由Logistic映射迭代得到的3个不同的混沌序列，一个转换成混沌矩阵并分块与原始图像的分块进行DNA运算；一个用于行置换；另一个用于列置换.加密算法流程见图13.解密是与加密时完全相反的过程，并且必须使用与加密时完全一样的密钥，最终得到解密的图像，且解密后的图像要与原图一样.解密算法流程见图14.在仿真平台MatlabR2016a中对图像加密，可394兰州大学学报(自然科学版)，2 0 2 3，59(3)每个矩阵补零分为R、G、B三每个小块原图像并分成若干大个二维矩阵进行编码小相同小块基于广义忆阻器的三个二维矩子块间进行运算后合并图层，Li超混沌系统产生阵进行行、DNA运算解码加密图像四个混沌序列列置换每个随机矩阵Logistic映射产序列变换为每个小块分成若干大小生混沌序列随机矩阵进行编码相同小块图13加密流程Fig.13Encryptionflowchart分为R、G、B将每个二维矩密文每个小块个二维矩阵，并阵分成若干大图像进行编码进行列、行置换小相同小块基于广义忆阻器的子块间进行逆运算去除加密合并图层，Lu超混沌系统产生DNA逆运算后解码时的补零解密图像四个混沌序列每个随机矩阵Logistic映射产序列变换为每个小块分成若干大小生混沌序列随机矩阵进行编码相同小块图14解密流程Fig.14Decryptionflowchart见加密后的图像已经与原图无任何关联并失去原始图像中的数据信息，但解密后的图像与原图一致(图15).选取R、G、B通道加密前、后的图像直方图(图16)，可直观地体现各通道的像素值分布情况.由图16 可见，原图像的直方图起伏较大，加密后的a原图像b加密图像C解密后图像图15Lena加密解密效果图Fig.15Lena encryption and decryption effect35003.500350030003.0003.000255002500255002.0002.0002.000150015001500100010001000500500500000050100150200250050100150200250050100150200250像素值像素值像素值a加密前R通道b加密前G通道加密前B通道1200120012001000100010008008008006006006004004004002002002000001050100150200250050100150200250050100150200250像素值像素值像素值d加密后R通道加密后G通道f加密后B通道图16R、G、B通道加密前、后的直方图Fig.16Histograms of R,G,and B channels before and after encryption395孙绍泽，等：义忆阻器的Li超混沌系统分析及其应用图像直方图分布较平坦，能够较好地隐藏原图像中的统计特性，起到抵御针对图像直方图的外来攻击.选取R、G、B通道的水平、对角线、垂直方向相邻的像素点进行加密前、后的相关性分析(图17 19).由图17 19 可见，原图各通道的图像在水平、垂直和对角线方向上的相邻像素点聚集在一起，呈一条斜线，具有较强的相关性；加密后的图像在相应方向上的相邻像素点的相关性分布均匀，表明没有相关性，说明加密后的图像混255255255225225225195195195165165165135135135105105105757575454545151515154575105135165195225255154575105135165195225255154575105135165195225255R通道随机点像素灰度值R通道随机点像素灰度值R通道随机点像素灰度值a原图水平方向b原图垂直方向原图对角线方向25525525422525219519519554754545151515154575105135165195225255154575105135165195225255154575105135165195225255R通道随机点像素灰度值R通道随机点像素灰度值R通道随机点像素灰度值d加密图水平方向e加密图垂直方向f加密图对角线方向图17 R通道加密前、后相邻像素的相关性Fig.17 Adjacent pixel correlation before and after R-channel encryption25525525522522522519519519516516516513513513510510510575757545454515151515 457510513516519522525515457510513551651952252551545751051351655195225255G通道随机点像素灰度值G通道随机点像素灰度值G通道随机点像素灰度值a原图水平方向b原图垂直方向c原图对角线方向25525525522522251951651351051051057575454545151515154575105135165195225255154575105135165195225255154575105135165195225255G通道随机点像素灰度值G通道随机点像素灰度值G通道随机点像素灰度值d加密图水平方向e加密图垂直方向f加密图对角线方向图18 G通道加密前、后相邻像素的相关性Fig.18Adjacent pixel correlation before and after G-channel encryption396兰州大学学报（自然科学版），2 0 2 3，59(3)乱程度更高.由表1可知，原图像3个通道的相关系数都接近于1,加密后的相关系数都接近于0,与文献2 4-25加密后的相关系数对比，该加密算法具有良好的置乱效果信息熵可用于分析图像的混乱程度，其值越接近8，说明图像的混乱程度越接近极限值.本研究设计的新型超混沌系统加密后各通道的信息与文献2 4-2 5 加密后的信息熵相比更接近理想值8，表明具有良好的加密效果，255255255225225225195195195165165165135135135105105105757575454545151515154575105135165195225255154575105135165195225255154575105135165195225255B通道随机点像素灰度值B通道随机点像素灰度值B通道随机点像素灰度值a原图水平方向b原图垂直方向c原图对角线方向25525525522522519519519516513510510575445151515154575105135165195225255154575105135165195225255154575105135165195225255B通道随机点像素灰度值B通道随机点像素灰度值B通道随机点像素灰度值d加密图水平方向e加密图垂直方向f加密图对角线方向图19 B通道加密前、后相邻像素的相关性Fig.19Adjacent pixel correlation before and after B-channel encryption表1图像加密前、后的相关系数和信息熵Table 1 Correlation coefficient and information entropy before and after image encryption图像原始图像加密图像信息通道水平方向垂直方向对角线方向水平方向垂直方向对角线方向R0.977 1600.9877400.964.0700.003 233-0.011 6670.013 47779993G0.9773100.9883400.9643300.0282530.022427-0.01371179992B0.9556000.974.3300.932030-0.0100200.001 107-0.025 1917.9993文献2 40.9790000.9193000.9593000.0194000.0258000.00200079897文献2 50.9705000.9383000.924900-0.016.900-0.012.700-0.0075007.99734结论基于Lu混沌系统，引入双曲正切的广义压控忆阻器，设计一种新型忆阻超混沌系统，增加了系统的复杂程度，使其具有新的动力学特性.通过Lyapunov指数、对称性、耗散性、平衡点稳定性验证了该系统的超混沌特性.对系统参数与初始值的改变进行分析，得到因参数变化引起的分岔与瞬态混沌现象，以及随初始值变化得到的吸引子共存现象.制作该系统的实际电路，用示波器观察吸引子的相图，验证了此超混沌系统的正确性与物理可实现性.将该新型超混沌系统与DNA编码相结合应用于图像加密，对加密前、后图像的直方图、相关性、信息熵进行分析，验证了此新型忆阻超混沌系统适用于图像加密算法.参考文献1 CHUA L.Memristor-the missing circuit elementJ.IEEETransactions on Circuit Theory,1971,18(5):507-519.2 STRUKOV D B,SNIDER G S,STEWART D R,et al.Themissing memristor foundJ.Nature,2008,453(7191):80-83.勇）397孙绍泽，等：基于广义忆阻器的L超混沌系统分析及其应用3 LAI Q,WAN Z Q,KUATE PD K,et al.Coexistingattractors,circuit implementation and synchronizationcontrol of a new chaotic system evolved from the sim-plest memristor chaotic circuitJ.Communications inNonlinear Science and Numerical Simulation,2020,89:105341.4 RAJAGOPAL K,KACAR S,WEI Z,et al.Dynamicalinvestigation and chaotic associated behaviors of memris-tor Chuas circuit with a non-ideal voltage-controlledmemristor and 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