基于Copula函数的区域洪水频率分析.pdf

Water Resources and Hydropower Engineering Vol.54No.830CEditorial Department of Water Resources and Hydropower Engineering.This is an open access article under the CC BY-NC-ND license.Engineering，2 0 2 3,54(8):30-42.WANGHuiyingLIU Shu,LI Min,et al.Regional flood frequency analysis based on Copula function JJ.Water Resources and Hydropower王慧颖，刘舒，李敏，等.基于Copula函数的区域洪水频率分析J.水利水电技术（中英文）2023,54(8)：30-42第54卷2023年第8 期水利水电技术（中英文）基于Copula函数的区域洪水频率分析王慧颖1.2，刘舒12，李敏12，柏平3，任汉承1.2（1.中国水利水电科学研究院，北京100038；2.水利部防洪抗旱减灾工程技术研究中心，北京100038;3.昆明市防汛抗旱办公室，云南昆明650500)摘要：【目的】洪水频率分析为水利工程的规划、设计和运行提供了理论依据。传统的单变量频率分析方法已被广泛的研究和应用，但区域水文站点之间往往相互关联，单站点的独立洪水频率分析并不能满足实际工作的需求。因此，有必要考虑区域洪水变量间的相关关系，建立联合分布，采用多变量联合概率分析方法以提高洪水频率分析的可靠性。同时，由于区域洪水特性差异显著，需要探究Copula函数在不同区域洪水频率分析中的适用性。【方法】基于盘龙江区域的小河（中和）站、松华坝站、昆明站三个水文站以及长江上游区域的寸滩站、清溪场站、宜昌站三个水文站的洪水资料，建立站点年最大洪峰流量的边缘分布函数，用Kolmogorov-Smirnov法检验其拟合优度，分析站点洪水变量间的相关程度，进而利用嵌套Copula法和Copula函数表达式法构建区域三站点年最大洪峰流量的联合分布，采用分位数图法、均方根误差法和AIC信息准则法在选用的T-Copula、CH Co p u l a、Fr a n kCopula、以及Clayton Copula四类函数模型中进行拟合优度评价，通过优选的函数模型分析计算条件概率。【结果】结果显示：盘龙江和长江上游区域站点的年最大洪峰流量序列均可用P-型分布作为其边缘分布，且站点变量间的相关性良好，可运用Copula函数描述其相关关系，以此建立联合分布。其中，在盘龙江区域站点变量间，T-Copula函数拟合效果最优；在长江上游区域站点变量间，FrankCopula函数拟合效果最优。由优选的Copula函数模型预测下游站点的洪水遭遇量级，预测值与实测值的接近程度均达到8 5%以上。【结论】在区域站点洪水样本序列可求解其边缘分布，且变量间相关性显著的情况下，Copula函数能够较好描述变量间的相关关系。对于洪水特性差异较大的盘龙江和长江上游两个区域可优选出不同类型的Copula函数建立联合分布进行洪水频率分析，且计算结果能够准确的预测区域站点的洪水遭遇量级。研究成果可为区域联合防洪提供科学参考。关键词：区域洪水；频率分析；三维Copula函数；洪峰流量；降水；径流；气候变化；“与作者互动P-II型分布D0I:10.13928/ki.wrahe.2023.08.003开放科学（资源服务）标志码（OSID）：中图分类号：P333.2文献标志码：A文章编号：10 0 0-0 8 6 0(2 0 2 3)0 8-0 0 30-13收稿日期：2 0 2 3-0 2-2 0；修回日期：2 0 2 3-0 3-2 8；录用日期：2 0 2 3-0 3-2 8；网络出版日期：2 0 2 3-0 4-13基金项目：国家自然科学基金项目（52 0 0 9147）作者简介：王慧颖（1999），女，硕士研究生，主要从事流域和城市洪涝研究。E-mail：w h y 2 0 2 1 i w h r.c o m通信作者：刘舒（197 5一），男，正高级工程师，硕士研究生导师，硕土，主要从事城市洪涝特性及洪涝模拟研究。E-mail：f c d s 2 0 0 31王慧颖，等/基于Copula函数的区域洪水频率分析Regional flood frequency analysis based on copula functionWANC Huiying*-,LIU Shu-2,LI Min-2,BAI Ping”,REN Hanchengl.-2(1.China Institute of Water Resources and Hydropower Research,Beijingg100038,China;2.Research Center on Flood&Drought Disaster Reduction of the Ministry of Water Resources,Beijingg100038,China;3.Kunming FloodControl and Drought Relief Office,Kunming650500,Yunnan,China)Abstract:ObjectiveFlood frequency analysis provides a theoretical basis for the planning,design and operation of water con-servancy project.The traditional univariate frequency analysis method has been widely studied and applied,but the regionalhydrological stations are often interrelated,and the independent flood frequency analysis of a single station cant meet the needsof the actual work.Therefore,it is necessary to consider the correlation between regional flood variables,establish joint distribu-tion,and adopt multivariate joint probability analysis method to improve the reliability of flood frequency analysis.At the sametime,due to the significant differences in regional flood characteristics,it is necessary to explore the applicability of Copula func-tion in different regional flood frequency analysis.Methods Based on the flood data of Xiaohe(Zhonghe)station,SonghuabaStation and Kunming Station in Panlong River region,and Cuntan station,Qingxichang Station and Yichang station in the upperreaches of Yangtze River region,the edge distribution function of the annual maximum flood peak discharge of the stations was es-tablished,and its good fit was tested by Kolmogorov-Smirnov method.The correlation degree of flood variables at three stationswas analyzed,and then the joint distribution of annual maximum flood peak discharge at three stations in the region was construc-ted by using the nested Copula method and the Copula function expression method.Quantile graph method,root mean squareerror method and Akaike information criterial method were used to evaluate the goodness of fit in the selected function models ofT-Copula,GH Copula,Frank Copula and Clayton Copula,and the conditional probability was analyzed by the preferred functionmodel.Results J The result show that the annual maximum flood peak discharge sequence of Panlong River and the upper rea-ches of the Yangtze River can be used as the marginal distribution of P-Il distribution,and the correlation between the variablesof the stations is good.The Copula function can be used to describe the correlation,and establish the joint distribution.Amongthe station variables in Panlongjiang region,T-Copula function has the best fitting effect.Among the station variables in the upperreaches of the Yangtze River,Frank Copula function has the best fitting effect.The optimal Copula function model is used to pre-dict the magnitude of flood encounter at downstream stations,and the predicted value is more than 85%close to the measuredvalue.ConclusionJ When the flood sample sequence of regional stations can solve the marginal distribution and the correlationbetween variables is significant,the Copula function can better describe the correlation between variables.For the two regions ofthe Panlong River and the upper reaches of the Yangtze River with significant differences in flood characteristics,different typesof Copula functions can be selected to establish joint distribution for flood frequency analysis,and the calculation result can accu-rately predict the magnitude of flood encounters at regional stations.The research result can provide scientific reference forregional joint flood control.Keywords:regional flood;frequency analysis;3 D Copula function;flood peak discharge;precipitation;runoff;climatechange;P-Il distribution0引言近年来，在气候变化和人类活动的影响下，极端天气频发，洪涝灾害加剧，对我国的经济和人民生命财产造成严重损失。2 0 2 0 年7 月长江淮河流域特大暴雨洪涝灾害事件，死亡失踪10 7 人，直接经济损失1322亿元】。2 0 2 1年7 月河南特大暴雨洪涝灾害事件，死亡失踪398 人，直接经济损失12 0 0.6 亿元2 。洪水作为一个区域多站联合随机事件，站点遭遇的洪水不仅仅是单站点的致灾因素导致的，而是区域内多站点多要素相互影响、相互作用的结果。因水利水电技术（中英文）第54卷2023年第8 期此，仅仅研究单站点单变量概率不能准确地描述洪水事件的特征，忽略了区域站点洪峰流量之间的相关关系，将会高估或低估了站点遭遇的洪水量级。随着工程设计要求的不断提高以及研究问题的愈加复杂，多变量的联合分布成为水文频率分析领域一个关注的热点3-6 水文频率分析最早开始于19世纪8 0 年代，美国学者Herschel 和Rafter 提出了频率曲线法7 。Hor-ton、Fu l l e r、Fo s t e r、Fi s h e r 和Tippett等人将正态分布、频率适线法、皮尔逊型分布（P-）、极值I型分布（Gumbel分布）、极值型分布（Frechet分布）32水利水电技术（中英文）第54卷2023年第8 期王慧颖，等/基于Copula函数的区域洪水频率分析以及极值型分布（Weibull分布）应用于水文频率分析8-9。199年，英国出版的洪水估算手册推荐使用广义逻辑分布（CL）作为水文频率分析的线型10 。2 0 世纪6 0 年代，我国学者在做了大量水文频率分析研究工作后，推荐采用皮尔逊型分布作为我国水文频率分析的线型。目前，传统的单变量洪水频率分析已在我国得到广泛应用12-2 0 1，但由于洪水事件具有复杂的空间灾害网络关系，单站点单变量边缘分布无法考虑区域站点洪水遭遇的相互影响，从而使得预测结果可能存在一定偏差，尤其流域上游已有站点发生较大量级的洪水时，多站点多变量的联合分布可考虑站点之间洪水要素的相互影响，能有效地解决此问题。Copula函数理论最早由SKLAR21于1959年提出，2 0 0 3年被DEMICHELE22引人了水文分析领域，经过不断发展和完善，成为干旱、洪水、暴雨等水文事件频率分析研究的热点。Copula函数可以将联合分布和相关结构分成两部分研究，构建任意边缘分布的联合分布，形式灵活、计算简便，在求解多变量联合分布问题中体现了良好的适用性和一定优越性2 3-2 4。目前，二维Copula函数求解两变量联合分布方法已经非常成熟，水文领域对Copula函数的研究正在向多变量高维拓展应用。莫崇勋等2 5 采用Copula函数对西南岩溶地区流域的多变量洪水进行二维联合分布模型的构建，得出了在洪峰、洪量、历时在不同组合条件下最优Copula函数的选择。马明卫等2 6 基于黄河唐乃亥站的逐日流量资料，利用Copu-la函数构建了干旱历时、干旱强度和干旱烈度峰值三个特征变量之间的二维联合分布以及三维联合分布，并对单变量和多变量重现期进行了计算分析。肖名忠等2 7 基于多变量的Copula函数，比较分析了珠江流域的干旱风险。谢华等2 8 引人三维Copula函数构建三变量联合分布模型，用来分析分析长江、黄河和淮河流域的丰枯遭遇概率。刘成林等2 9 采用三维Copu-la函数对广州市历史降雨数据进行多变量频率分析，构建了3维Copula函数的联合概率分布模型，对不同量级降雨特征变量的遭遇概率及条件概率进行研究。陈子案等30 采用对称ArchimedeanCopula函数对洪水的洪峰、洪量和历时三变量进行概率联合分布模型构建，得出按三变量“或”重现期或三变量同频率设计值推算的洪水设计值偏高的结论。宋松柏31 对Copula函数在水文分析计算中存在的问题进行了集中讨论，提出Copula函数在非平稳多变量联合概率分布与设计值计算的实用化、参数估计精度、随机变量和、差、积、商分布计算的精度等方面的建议。目前，Copula函数在洪水遭遇中的应用研究，多集中在比较单变量重现期和联合或同现重现期的关系、计算比较不同重现期水平下的洪水设计值以及变量的最可能组合等方面32-33，较少运用历史实测数据对构建的Copula函数模型进行验证以及探究其预测洪水遭遇的可行性。基于Copula函数理论和方法，本文引人T-Copu-la、G H Co p u l a、Fr a n k Co p u l a 和 Clayton Copula 函数构造区域站点年最大洪峰流量的联合分布，通过拟合优度评价，选取最优的Copula函数模型，并利用实测数据对函数模型进行验证。为研究Copula 函数在不同区域的适用性，选取盘龙江和长江上游的两个区域为研究对象，两个区域站点的流量、水位和集水面积等水文特征差异性较大。盘龙江是主要的人滇池河流，贯穿昆明主城区，盘龙江的防洪措施将影响着整个昆明市防洪安全。长江流域水系复杂，控制面积广，且水灾害频发，从近2 0 年来看，长江上游在洪水中的受灾程度要比中下游严重34-35。因此，科学分析盘龙江区域和长江上游区域的洪水频率，对两个地区的防洪工程设施建设和调度决策具有重要意义。1研究方法1.1边缘分布我国水文领域应用比较广泛的是皮尔逊型曲线（P-曲线），根据水利水电工程设计洪水计算规范36 ，P-II型分布的概率密度函数为f(x)=(1)XaT()4=C2(2)xC,c,2XCa=xC式中，（）为的伽马函数；、分别为P-型分布的形状、尺寸和位置参数。由矩法和P-线型适线法计算得到总体的统计参数均值x、变差系数C，、偏态系数C，再根据式（2）确定概率密度函数参数、o。确定边缘分布函数后，采用Kolmogorov-Smirnov(K-S）检验法对年最大洪峰流量服从的P-型分布进行拟合优度检验1.2非一致性洪水频率分析传统的洪水频率分析假设洪水变量的样本系列服从同一总体分布，即要求样本系列具有一致性。由于33水利水电技术（中英文）第54卷2023年第8 期王慧颖，等/基于Copula函数的区域洪水频率分析气候变化和水资源开发、水利工程的修建等人为因素的影响，流域下垫面条件发生改变，从而导致洪水系列不再满足一致性要求37 。基于非一致性的洪水系列的频率计算，国内通常采用还原或还现的方法，但此方法需要大量相关实测数据支撑，应用过程复杂，还有一种较为常用的途径是依据数理统计的理论对非一致性洪水系列直接进行洪水计算，这类方法主要有混合分布法、时变距法和条件概率分布法等38-39OSINCH等40 提出了条件概率分布法。假设洪水序列中存在一个显著的变异点，样本序列被分为两个子序列，两个子序列都采用P-分布进行拟合，得到理论频率的计算公式为nn2F(x)=F(x)+=F2(x)=nn+80o1dt+n&2+80ndt(3)n式中，ni、n z 和n分别为两个子序列的样本和洪水序列总容量，F（x）和F（x）分别为两个子序列的概率分布函数。1.3Copula函数的定义当随机变量具有不同的边缘函数，且相互不独立时，其联合分布的求解过程将变得十分复杂。Copula函数在求解这种情形下的联合分布具有一定的优越性，能够将随机变量之间的相关结构和变量的边缘分布分开研究，同时各个随机变量的边缘分布和它们的联合分布又可用一个Copula函数连接起来41Sklar定理42 ：n维随机变量（Xi，X2，X）的联合分布为H(x1，x 2，x），其边缘分布分别为Fi，F2，Fn，则存在一个Copula函数C(Fi,F2，F,），使得任意X,，X2，.X,ER，有H(x1,x2,x,)=CFi(x),F(x2),F,(xn)=C(u1,u2,(4)式中，F（x,）=u,为边缘分布函数；F为联合分布函数；C为一个Copula函数。若Fi，F2，F,是连续的，则存在唯一的C函数。否则仅在Ran（F）Ran（F,）上C是唯一的。1.4变量间的相关性分析Copula函数被称为“连接函数”，对于具有较好相关性的变量，Copula函数能够很好地描述它们之间的相依关系，但对于相互独立或者之间的相关性可以忽略不计的变量，其联合分布可直接用它们各自边缘分布的乘积表示43因此，在构建多变量的联合分布之前，应先对变量间的相关性进行分析，评价相关程度。常用的相关系数有Pearson相关系数、Spearman秩相关系数、Kendall 秩相关系数4。Pearson相关系数适用于连续变量，变量观测值成对，变量的标准差均不为零且总体服从正态分布的数据，而Spearman秩相关系数和Kendall秩相关系数的适用范围较广，只要求两个变量观测值是成对的，或者是由连续变量系列转化得到的等级系列1.5Copula函数的选择和参数估计Copula函数主要包括椭圆型、Arachimedean型以及二次型三类。其中，椭圆型的T-Copula函数和Archimedeam 型的 GH Copula、Fr a n k Co p u l a 以及ClaytonCopula函数在水文频率研究中应用比较广泛4-46 。本文选用上述四种Copula函数构建多变量的联合分布。在水文洪水频率的研究领域，Copula模型因其多元分析的优势被广泛关。其中，二维Copula模型的理论和方法都比较成熟47 ，高维Copula模型还存在一些计算难题，例如，高维Copula函数的构造和参数估计48 。目前高维Copula函数的构造方法主要包括高维Copula函数表达式方法、嵌套Copula方法和混合Copula方法49。利用高维Copula函数表达式直接计算其联合分布需要解决参数估计的难点。因此，也可以选择嵌套法，基于二维Copula函数模型生成高维Copula函数模型，这样均是对二维Copu-la函数进行参数估计，避免了高维Copula函数参数估计的难点。本文选用Copula函数表达式方法和嵌套Copula方法构建三维GHCopula、Fr a n k Co p u l a、以及ClaytonCopula函数模型，因T-Copula函数的高维求解比较容易实现，不再对其进行嵌套Copula方法求解。然后对比分析各个模型的计算结果，优选出最适合本文案例的Copula函数模型。Copula函数的参数估计方法主要有矩法、核估计法、非参数法和极大似然法50 。非参数法中的相关指标法可根据Spearman秩相关系数p，和Kendall秩相关系数与Copula函数参数的关系式求解，但这种方法仅适用于单参数的二维Copula函数的参数估计41。三维及以上的Copula 函数的参数估计可选用参数法中的极大似然法52-531.6Copula函数的拟合优度评价与检验实际应用中，不同类型Copula函数的适用情况不同，构建的联合分布在描述变量相关结构的准确34水利水电技术（中英文）第54卷2023年第8 期FX王慧颖，等/基于Copula函数的区域洪水频率分析表1几类Copula函数表达式Table 1 Several classes of Copula function expressions函数类型二维Copula函数表达式三维Copula函数表达式GH Copulaexp/-(-Inu)+(-Inuz)jexp/-(-Inu,)+(-Inu2)+(-Inus)j0E1,+80E1,+8(exp(-Qu)-1)(exp(-Quz)(exp(-Qu,)-1)(exp(-Qu2)-1)(exp(-Qu,)-1)Frank Copulaexp(-0)-1exp(-0)-1?0eR0ER1Clayton Copula2E(0.80)+2u3(0.80)+性上有所差别。因此，需要对Copula函数进行拟合优度评价与检验，选出拟合效果最优的Copula函数。拟合优度评价与检验的方法主要包括Genest-Rivest图形分析法、分位数图法（QQ图法）、均方根误差法（R M SE）、A IC信息准则法和离差平方和准则法(OSL）、K o l mo g o r o v-Smi r n o v（K-S）检验、Cramer-von-Mises（C-M）检验、Anderson-Darling（A-D）检验等54-57 。具体介绍均方根误差法（RMSE）、A IC信息准则法求解公式以及Kolmogorov-Smirnov(K-S）检验统计量计算公式如下。（1）均方根误差法（the root mean square error，RMSE)RMSE=VMSE二1(Famp(xi,xi2,xa)-C(ua,Uuiz,uia)2ni=1(5)式中，n为样本容量，Femp（x i l，x i a，x a）为三变量经验频率值，C(ui，u i z，u i s）为三变量理论频率值。（2）A I C信息准则法（Akaikeinformationcriterial)AIC=nln(MSE)+2(6)式中，k为Copula函数模型中的参数个数，其他符号意义同式（5）。(3)Kolmogorov-Smirnov（K-S)检验统计量：D=max|Fo(x)-F,(x)l(7)式中，F（）为样本的理论频率值，F（）为样本的经验频率值。1.7概率分布对于连续性随机变量，通常研究事件Xx的概率，其概率分布函数为F(x)=P(X x)=f(x)dx(8)然而，在洪水频率分析中，往往更关注事件Xx的概率，其概率分布函数为F(x)=P(X x)=J f(x)dx(9)联合事件（x1，2XX3的联合概率分布函数为f(ui,uz,us)du,du,dus=C(ui,u2,u3(10)其中，ui，u 2，u，分别为边缘分布F(xi），F2(x2),Fs(x3)。2实例应用本文选取盘龙江小河（中和)站、松华坝站、昆明站三站1958 一2 0 0 5年（共48 年）和长江上游寸滩站、清溪场站、宜昌站三站1954一2 0 0 4年（共51年）的洪水资料构建三维Copula模型，描述相邻三站点年最大洪峰流量频率间的相关关系，并对两个区域构建的三维Copula模型进行对比分析。小河站位于松华坝的入流河道牧羊河上，1993年上迁，更名为中和站，因集水面积相差较小，可将中和站1993一2005年的洪水资料根据面积比修正至小河站。松华坝和昆明水文站为松华坝的出库水文站。寸滩水文站位于长江与嘉陵江交汇口下游约7.5km处，距下游的清溪场水文站约12 8 km，距河口约2 495km，再下游的宜昌水文站距河口约18 55km。水文站具体分布如图1和图2 所示2.1边缘分布函数的确定盘龙江区域选用的三个水文站1958 一2 0 0 5年的数据资料，经审查满足一致性要求，可直接采用P-型分布进行拟合长江上游区域选用的三个水文站1954一2 0 0 4年的数据资料，经审查洪水序列不具有一致性。本文采用Pettitt检验法和物理成因分析确定洪水序列变异点为198 9年，198 8 年12 月份宜昌站上游的葛洲坝水利枢纽工程建成。然后，利用条件概率分布法对非一致性洪水系列进行计算。一个变异点将洪水序列分为两个子序列，两个子序列均采用P-型分布进行拟合。35水利水电技术（中英文）第54卷2023年第8 期王慧颖，等/基于Copula函数的区域洪水频率分析NE10250N2512E10250N2512中和站小河站松华坝站E10246N258昆明站E10243N253km03.5714水文站点高程/m高：2 7 8 9水系流域范围低:1 8 6 4图1盘龙江流域示意Fig.1Schematic diagram of the Panlong River Basin利用线性矩法和P-线型适线法计算得到区域站点洪水序列总体的统计参数均值、变差系数C，、偏态系数C，据此确定概率密度函数参数、ao，具体计算结果如表2 所列。选用Kolmogorov-Smirnov（K-S）检验法对各序列分布的拟合结果进行检验，统计量D的计算结果如表2所列。盘龙江和长江区域三站点洪水系列的样本容量分别为n=48和n=51，在显著型水平=0.05下，各站点样本序列的统计量均小于其对应的临界值D，（0.0 5），故接受前提假设，认为站点洪水序列的分布符合皮尔逊型分布描述2.2变量间的相关性分析本文选用Spearman秩相关系数和Kendall秩相关系数对站点间年最大洪峰流量的相关性进行度量。需要注意，相关系数越大并不一定代表相关程度越好，相关程度的评价与样本空间有关，不同的样本空间对应一个相关系数临界值，当相关系数大于临界值时，可认为其相关程度显著58 已知两个样本组数分别为48 和51，取显著性水平=0.01，对应的临界值ro.99分别为0.36 8 和0.358。显然，在显著水平0.0 1下变量间相关关系是显著的，计算结果如表3所列。2.3Copula函数的参数估计本文基于 T-Copula、G H Co p u l a、Fr a n k Co p u l a、以及Clayton Copula函数模型，在盘龙江的小河（中和)站、松华坝站、昆明站和长江上游的寸滩站、清溪场站、宜昌站分别构建站点年最大洪峰流量的联合分布，并选用极大似然法进行Copula函数的参数估计。在二维Copula函数模型的基础上嵌套计算得到三维联合分布将会产生两个参数，利用三维Copula函数表达式直接计算联合分布仅产生一个参数，参数计算结果如表4所列2.4拟合优度评价本文选用分位数图法（QQ图法）、均方根误差法（RMSE）和AIC信息准则法来评价Copula函数的拟合效果。QQ图可以直观的看出理论频率值和经验频率值的拟合程度，简单分析得到经验点据更接近于斜率为1准线的Copula函数模型。但对于图形上呈现的拟合结果非常近似的情况，仅依靠QQ图法无法给出最优的选择。为此，再利用均方根误差法（RMSE）和AIC信息准则法定量的进行拟合优度评价。由图3、图4和表5可以得出，在盘龙江三站点洪水频率分析中，三维表达式T-Copula函数模型拟合结果最优。由图5、图6 和表5可以得出，在长江上游三站点洪水频率分析中，嵌套FrankCopula函数模型拟合结果最优。所以，选用三维表达式T-Copula函数模型构建小河（中和)站、松华坝站和昆明站三站的年最大洪峰流量的联合分布，选用嵌套FrankCopula函数模型构建寸滩站、清溪场站和宜昌站三站的年最大洪峰流量的联合分布2.5历史实测数据验证盘龙江所选区域利用三站2 0 0 7 年和2 0 0 8 年的实测洪峰流量数据对优选出的三维表达式T-Copula函数模型进行计算验证。首先，利用确定的边缘分布，计算小河（中和）站、松华坝站和昆明站2 0 0 7 年和2008年最大洪峰流量的理论频率值，将上游两站对应的理论频率值代人函数模型，预测得到下游昆明站遭遇与实测数据同一量级洪水的概率分别为93%和87%，计算过程结果如表6 所列。36第54卷水利水电技术（中英文）王慧颖，等/基于Copula函数的区域洪水频率分析N沱沱河（玛曲）长江宜昌站寸滩站清溪场站E11117N3042湘E10727N2948E10636N2937清水江绵水水文站点高程/m高：7 148水系km03106201240流域范围低：-140图2 长江流域示意Fig.2Schematic diagram of the Yangtze River Basin表2 达边缘分布的参数及拟合检验统计量Table 2Parameters and fit test statistics of the marginal distribution站点aoDD,(0.05)中和(小河）站3.270.067500.08190.196 3松华坝站2.230.060 100.076 40.196.3昆明站3.580.069.900.072.80.196 3样本序列120.180.000.40寸滩站0.085 90.190 4样本序列213.490.000 515 108.33样本序列112.930.000417 602.62清溪场站0.115 90.190 4样本序列214.560.000416340.00样本序列117.120.000 517 184.29宜昌站0.068 10.190 4样本序列214.100.000 416 541.67表3变变量相关系数Table 3The Correlation coefficient of variables区域站点Spearman 秩相关系数Kendall秩相关系数Fo.99小河（中和）站与松华坝站0.4940.371盘龙江小河（中和）站与昆明站0.6570.4810.368松华坝站与昆明站0.7550.619寸滩站与清溪场站0.8710.711长江上游寸滩站与宜昌站0.8070.6030.358清溪场站与宜昌站0.9160.751长江上游所选区域利用三站1953年和2 0 0 5年的实测洪峰流量数据对优选出的嵌套FrankCopula函数模型进行计算验证。首先，利用确定的边缘分布，计算寸滩站、清溪场站和宜昌站1953年和2 0 0 5年最大洪峰流量的理论频率值，将上游两站对应的理论频率值代人函数模型，预测得到下游宜昌站遭遇与实测数据同一量级洪水的概率94%和95%，计算过程结果如表6 所列。2023年第8 期37水利水电技术（中英文）第54卷2023年第8 期王慧颖，等/基于Copula函数的区域洪水频率分析表4Copula函数参数值Table 4Parameters of Copula function盘龙江区域长江上游区域Copula函数类型嵌套二维Copula函数参数三维表达式Copula函数参数嵌套二维Copula函数参数三维表达式Copula函数参数210.4900.61410.9060.813T-Copula0.49010.7750.90610.9230.6140.77510.8160.9231(5.6)(20)CH Copula1.3731.7091.6443.0122.5572.712Frank Copula3.0675.0434.72012.55510.40410.986Clayton Copula0.6171.1181.1434.2982.7433.1111.01.01.00.80.80.80.60.60.60.40.40.40.20.20.200.20.40.60.81.000.20.40.60.81.000.20.40.60.81.0经验频率经验频率经验频率(a)GH Copula(b)Frank Copula(c)Clayton Copula图3嵌套Copula函数理论与经验频率拟合图（盘龙江区域）Fig.3The comparison of the theoretic