毒素环境下水生生物持续生存的状态反馈脉冲控制分析.pdf

D O I:1 0.3 9 6 9/j.i s s n.1 0 0 3-0 9 7 2.2 0 2 3.0 3.0 1 0 文章编号:1 0 0 3-0 9 7 2(2 0 2 3)0 3-0 4 0 3-0 5毒素环境下水生生物持续生存的状态反馈脉冲控制分析张 蒙1*,洪久胜1,李泽妤2(1.北京建筑大学 理学院,北京 1 0 0 0 4 4;2.北京工商大学 嘉华学院,北京 1 0 1 1 1 8)摘 要:建立了一类具有H o l l i n g-型功能反应函数的状态反馈脉冲模型,描述在毒素环境下通过收获食饵和投放捕食者使物种持续生存的策略。使用后继函数等定性方法,得到阶1周期解的存在性、稳定性的充分条件及异宿环的存在性。数值模拟结果验证了理论结果的正确性。关键词:状态脉冲反馈控制;阶1周期解;毒素;异宿环中图分类号:O 1 7 5.2 文献标识码:A开放科学(资源服务)标识码(O S I D):S t u d i e s o n S t a t e F e e d b a c k I m p u l s i v e C o n t r o l f o r S u s t a i n a b l e S u r v i v a l o f A q u a t i c P o p u l a t i o n i n T o x i c E n v i r o n m e n tZ H A N G M e n g1*,H O N G J i u s h e n g1,L I Z e y u2(1.S c h o o l o f S c i e n c e,B e i j i n g U n i v e r s i t y o f C i v i l E n g i n e e r i n g a n d A r c h i t e c t u r e,B e i j i n g 1 0 0 0 4 4,C h i n a;2.C a n v a r d C o l l e g e,B e i j i n g T e c h n o l o g y a n d B u s i n e s s U n i v e r s i t y,B e i j i n g 1 0 1 1 1 8,C h i n a)A b s t r a c t:A c l a s s o f s t a t e f e e d b a c k i m p u l s i v e m o d e l w i t h H o l l i n g-I I t y p e f u n c t i o n a l r e s p o n s e i s p r o p o s e d t o d e s c r i b e t h e s t r a t e g i e s f o r s p e c i e s s u s t a i n i n g i n a t o x i c e n v i r o n m e n t t h r o u g h h a r v e s t i n g p r e y a n d r e l e a s i n g p r e d a t o r.T h e s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h e e x i s t e n c e a n d s t a b i l i t y o f o r d e r-1 p e r i o d i c s o l u t i o n a n d t h e e x i s t e n c e o f h e t e r o c l i n i c o r b i t a r e o b t a i n e d u s i n g q u a l i t a t i v e a n a l y s i s m e t h o d s s u c h a s t h e s u c c e s s o r f u n c t i o n.N u m e r i c a l s i m u l a t i o n r e s u l t s a r e g i v e n t o v e r i f y t h e c o r r e c t n e s s o f t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t s.K e y w o r d s:s t a t e f e e d b a c k i m p u l s i v e m o d e l;o r d e r-1 p e r i o d i c s o l u t i o n;t o x i n;h e t e r o c l i n i c o r b i t0 引言自2 0世纪中叶以来,全球有近一半的淡水资源受到了工业和生活污水的污染,水体中的毒素引起的生物多样性丧失、水质退化等生态问题已成为亟待解决的问题1。水体中含有大量的毒素和污染物,会直接或间接造成水中的动植物窒息死亡,同时水体的富营养化会加速细菌和病毒的繁殖,影响动植物的生长和发育,破坏水生生物的良好生长环境,甚至会造成物种的灭绝2。因此保护水体环境和维持水生生物多样性是当今科学研究的热点问题3。已有很多数学模型来描述淡水生态系统中的水生生物之间的相互作用关系,但利用状态反馈脉冲微分方程描述人类的调控措施对毒素环境下水生生物种群影响的文献并不多。近些年,许多学者将状态反馈脉冲微分方程广泛应用到生产和生活中。例如,陈兰荪等4构建了害虫脉冲治理模型,得出阶1周期解存在性。郭红建等5建立了具有物质循环的状态反馈脉冲模型,并证明了模型具有唯一的轨道渐近稳定周期解。J I ANG等6-7对一类具有状态反馈脉冲动力系统的动力学性质研究,丰富了脉冲动力系统的分岔理论。WE I等8-9证明了状态反馈脉冲模型异宿环的存在性。这些研究逐步完善了状态反馈脉冲系统的理论框架,并初步形成了半连续动力系统的理论体系1 0-1 4。本文将建立一类毒素环境下水生生物的捕食者-食饵状态反馈脉冲模型,研究其动力学性质,以讨论人为调控(投放及捕获)策略对物种持续生存的影响,最后用数值模拟对所得结论加以验证。收稿日期:2 0 2 2-0 6-1 9;修回日期:2 0 2 3-0 4-2 6;*.通信联系人,E-m a i l:z h a n g m e n g b u c e a 1 2 6.c o m 基金项目:国家自然科学基金项目(1 1 7 0 1 0 2 6);北京建筑大学研究生创新项目(P G 2 0 2 2 1 4 1)作者简介:张蒙(1 9 8 0),女,吉林省吉林市人,副教授,硕士生导师,主要从事生物数学研究。304信阳师范学院学报(自然科学版)J o u r n a l o f X i n y a n g N o r m a l U n i v e r s i t y第3 6卷 第3期 2 0 2 3年7月 N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n V o l.3 6 N o.3 J u l.2 0 2 31 无控制模型的建立与分析1.1 无控制模型的建立基于文献8,建立毒素环境下具有A l l e e效应的捕食者-食饵模型如下:dxdt=a x(x-L)(1-xK)-b x y1+w x-x,dydt=-e y+d x y1+w x-y,(1)式中:x=x(t)和y=y(t)分别表示t时刻食饵和捕食者的种群密度,L表示食饵种群的A l l e e效应系数,K表示 食饵种群环 境容 纳 量,b x y/(1+w x)表示H o l l i n g-型功能性反应函数,d表示捕食转化率,和分别是毒素对食饵和捕食者的影响系数,e表示捕食者的自然死亡率,且捕食者种群无法离开食饵种群而存在。所有参数均为正。1.2 无控制模型分析模型(1)的正性和有界性的讨论可参阅文献8。下面在R2+=(x,y)|x0,y0 中对模型(1)进行定性和稳定性分析。根据模型(1)的第一个方程可以得到两条垂直等倾线x=0和y=(1+w x)ab(x-L)(1-xK)-b 。同理可得两条水平等倾线y=0和x=x*=+ed-(+e)w,式中:d(+e)w。显然,模型(1)存在一个边界平衡点E0(0,0),下面讨论其他边界平衡点和正平衡点存在性。当y=0时,由y=(1+w x)ab(x-L)(1-xK)-b ,可以得到(x-L)(1-xK)=a,令f(x)=(x-L)(1-xK),通过计算得到fm a x=m a x0 x/a时,模型(1)有两个边界平衡点;(2)当fm a x=/a,模型(1)有一个边界平衡点;(3)当fm a x/a的情况,记两个边界平衡点分别E1(x1,0)和E2(x2,0),其中x1和x2为方程ab(x-L)(1-xK)-b=0的两个根。由韦达定理可知两根均为正,不妨设x1x2。若x1x*(+e)w,fm a x/a时存在两个边界平衡点E1(x1,0)和E2(x2,0),且 若 满 足x1x*(+e)w,fm a x/a,x1x*x2,那 么E0(0,0)是 一 个 稳 定 的 结 点,E1(x1,0)和E2(x2,0)是 鞍 点,且 若A2(1+x*)3-b d x*y*0(A0时,A的表达式见证明过程),则E*(x*,y*)是稳定的焦点。证明 记P(x,y)=a x(x-L)(1-xK)-b x y1+w x-x,Q(x,y)=d x y1+w x-(+e)y,可得到J a c o b i a n矩阵为J=PxPyQxQy ,式中:Px=a(x-L)(1-xK)-b y1+w x-+x a(1+L-2xK)+b w y(1+w x)2 ,Py=-b x1+w x,Qx=d y(1+w x)2,Qy=d x(1+w x)-(e+)。易得,E0(0,0)是稳定的结点。模型(1)在E1的J a c o b i a n矩阵为J(E1)=a x1(1+L-2x1K)-b x1+w x10d x11+w x1-e-。由x10,d x11+w x1-e-0,404第3 6卷 第3期信阳师范学院学报(自然科学版)h t t p:/j o u r n a l.x y n u.e d u.c n2 0 2 3年7月即d e t(J(E1)0,若模型(1)满足A0且A2(1+x*)3-b d x*y*0,则E*是一个稳定的焦点。证毕。注1 下面的讨论均在满足定理1和定理2的条件下进行。2 脉冲模型的建立与分析为使食饵和捕食者可以持续性生存,人们在一些情况下需要对其进行管理,管理措施有多种,这里仅考虑状态脉冲反馈控制措施。当xh时,食饵、捕食者种群的演化按照模型(1)进行;当x=h时,对食饵种群进行收获,收获比例为p,并对捕食者种群进行投放,投放量为常数,从而有如下具有状态反馈脉冲控制的模型:dxdt=a x(x-L)(1-xK)-b x y1+w x-x,dydt=-e y+d x y1+w x-y,xh,x=-p x,y=,x=h,(2)式中:x=x+-x,y=y+-y。考虑实际的生物意义,模型(2)的参数均为正值。2.1 异宿环的存在性 为了从理论上讨论异宿环的存在性,下面仅考虑脉冲集为M=x|x=h,x*hx2、M的像集N=x|x=(1-p)h,x1xh。假设鞍点E2的不稳定流形为l1,与脉冲集M相交于点C(xC,yC),鞍 点E1的 稳 定 流 形 为l2,与N交 于 点D(xD,yD)。由于x=-p x,当yDyC时,通过对无脉冲模型(1)的定性分析和模型(2)轨线的性质可知,不稳定流形l1和稳定流形l2都在等倾线dx/dt=0的上方。于是存在*=yD-yC,当=*使得点D恰好为点C的后继点,即轨线弧E2C、脉冲线段C D、轨线弧D E1、E1E2和平衡点E1、E2构成模型(2)的异宿环(如图1所示)。当*时,C会脉冲到D的上方,而后在模型(2)的作用下,向(0,0)点靠近。从l1右边出发的解,最终也会趋于(0,0),这表示投放量过大,捕食者和食饵食物均趋于灭绝。图1 模型(2)异宿环的存在性F i g.1 T h e e x i s t e n c e o f H e t e r o c l i n i c o r b i t o f s y s t e m(2)注2 当yDyC时,理论上存在*=yD-yC,当=*时,使得模型(2)存在异宿环;当yDyC且*时,模型的解趋于点(0,0),但此时的*h,只是为了从数学上说明模型异宿环的存在性。注3 当yDyC且yC的情况,如图2所示,点R(xR,yR)为垂直等倾线与N的交点,点R在模型(2)的 映 射 下 与 等 倾 线dx/dt=0交 于 点R(xR,yR)。当1-xR/x*p1-xR/xR 时,脉冲集M介于x=x*和x=xR 之间。不失一般性,令初值(x0,y0)2=(x0,y0)|(1-p)hx0yC,1-xR/x*p1-xR/xR 和*时,模型(2)存在阶1和阶2周期解。证明 在N上选取一点A(xA,yA),满足0yA0。由于正平衡点是焦点,根据轨线的性质,在N上选取一点B(xB,yB)充分接近R点,满足yB504张蒙,洪久胜,李泽妤.毒素环境下水生生物持续生存的状态反馈脉冲控制分析yR,从B点出发的轨线在模型(2)的作用下与脉冲集交于B(xB,yB),模型(2)的脉冲函数将B 映射到B(1-p)xB,yB+)(如图2所示),后继函数存在两种情况,分别为F(B)0和F(B)0。图2 模型(2)阶1周期解的存在性示意图F i g.2 T h e e x i s t e n c e o f o r d e r-1 p e r i o d i c s o l u t i o n o f s y s t e m(2)(1)当F(B)0时,显然存在一点P使得F(P)=0,即模型(2)存在阶1周期解。由于该阶1周期解关于x是单调的,容易证明其唯一性。(2)当F(B)0时,模型存在阶1周期解或者阶2周期解。限于篇幅,这里略去证明过程,可参见文献6-7。证毕。令h(x)=ab(x-L)(1-xK),g(x)=1+w x。定理4 设(x,y)=(t),(t)是模型(2)的一个具有周期T的阶1周期解,(0),(0)=(xp,yp),(T),(T)=(xq,yq),若ypg(xp)(h(xp)-h(xq)+yqg(xp)g(xq),则该阶1周期解是轨道渐近稳定的。证明 由(t),(t)是模型(2)的一个阶1周期解,可知(0)=(1-p)h=xp,(0)=yp,(T)=h=xq,(T)=yq,(T+)=(1-p)h,(T+)=yq+。由类P o i n c a r 准则5,7,可令A(x,y)=-p x,B(x,y)=,(x,y)=x-h,进而可得Ax=-p,Ay=0,Bx=0,By=0,x=1,y=0,从而有1=b h(xp)-b yp1+w xp-b h(xq)-b yq1+w xq-(1-p),T0Px(t),(t)dt=l n11-p+T0 x a(1+L-2xK)+b w y(1+w x)2 dt,T0Qy(t),(t)dt=l nyp-yp,式中T0 x a(1+L-2xK)+b w y(1+w x)2 dt0,从而得到1h(xp)-yp1+w xph(xq)-yq1+w xq。当定理条件满足时,由类P o i n c a r 准则可知,模型(2)的阶1周期解是轨道渐近稳定的。证毕。3 数值模拟由定理3可知,模型(2)存在阶1和阶2周期解。选择a=4.0 0,K=4.0 0,L=0.4 0,w=0.0 7,b=3.6 0,e=2.6 0,d=3.2 2,=0.0 1,=2.6 0,p=3/7,使用M a t l a b进行数值模拟,其分支图和相图如图3所示。图3 模型(2)的周期解及分支图F i g.3 T h e p e r i o d i c s o l u t i o n s a n d b i f u r c a t i o n o f m o d e l(2)604第3 6卷 第3期信阳师范学院学报(自然科学版)h t t p:/j o u r n a l.x y n u.e d u.c n2 0 2 3年7月 将投放量作为分支参数,其分支图如图3(a)所示。由 图3(a)可 知,存 在 一 个 阈 值00.3 6,当0时,模型(2)存在一个阶2周期解(如图3(c)所示,=0.3 8)。4 结束语考虑环境中毒素的影响,构建了一类具有毒素项的食饵-捕食者模型。在无控制模型(1)的定性分析和动力学分析的基础上,构建了状态反馈脉冲模型(2),并研究其相应的动力学性质。结果表明:在食饵数量达到一定阈值时,当投放捕食者*时,会导致捕食者缺少食物而灭绝。这说明在人工干预维持物种持续生存时,不同的控制强度会产生不同的控制效果,选择合适的控制手段十分必要。参考文献:1 WU G a o j i e,C AO W e n z h i,L I U L u s a n,e t a l.W a t e r p o l l u t i o n m a n a g e m e n t i n C h i n a:R e c e n t i n c i d e n t s a n d p r o p o s e d i m p r o v e m e n t sJ.W a t e r S u p p l y,2 0 1 8,1 8(2):6 0 3-6 1 1.2 L I H u i m i n,C AO Y o n g c h a o,S U L i m i n.M u l t i-d i m e n s i o n a l d y n a m i c f u z z y m o n i t o r i n g m o d e l f o r t h e e f f e c t o f w a t e r p o l l u t i o n t r e a t m e n tJ.E n v i r o n m e n t a l M o n i t o r i n g a n d A s s e s s m e n t,2 0 1 9,1 9 1(6):3 5 2.3 X I ON G W e i,N I P i n g,CHE N Y i y o n g,e t a l.B i o l o g i c a l c o n s e q u e n c e s o f e n v i r o n m e n t a l p o l l u t i o n i n r u n n i n g w a t e r e c o s y s t e m s:A c a s e s t u d y i n z o o p l a n k t o nJ.E n v i r o n m e n t a l P o l l u t i o n,2 0 1 9,2 5 2,P a r t B:1 4 8 3-1 4 9 0.4 陈兰荪,程惠东.害虫综合防治建模驱动“半连续动力系统理论”兴起J.数学建模及其应用,2 0 2 1,1 0(1):1-1 6.CHE N L a n s u n,CHE N G H u i d o n g.M o d e l i n g o f i n t e g r a t e d p e s t c o n t r o l d r i v e s t h e r i s e o f“s e m i-c o n t i n u o u s d y n a m i c a l s y s t e m t h e o r y”J.M a t h e m a t i c a l M o d e l i n g a n d I t s A p p l i c a t i o n s,2 0 2 1,1 0(1):1-1 6.5 郭红建,吴春鹤.一类具有物质循环和状态反馈控制的营养-浮游植物模型研究J.信阳师范学院学报(自然科学版),2 0 2 1,3 4(4):5 2 4-5 3 0.GUO H o n g j i a n,WU C h u n h e.S t u d i e s o n a n u t r i e n t-p h y t o p l a n k t o n m o d e l w i t h n u t r i e n t c y c l e a n d s t a t e f e e d b a c k c o n t r o lJ.J o u r n a l o f X i n y a n g N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n),2 0 2 1,3 4(4):5 2 4-5 3 0.6 J I AN G G u i r o n g,L U Q i s h a o.I m p u l s i v e s t a t e f e e d b a c k c o n t r o l o f a p r e d a t o r-p r e y m o d e lJ.J o u r n a l o f C o m p u t a t i o n a l a n d A p p l i e d M a t h e m a t i c s,2 0 0 7,2 0 0(1):1 9 3-2 0 7.7 J I AN G G u i r o n g,L U Q i s h a o,Q I AN L i n n i n g.C o m p l e x d y n a m i c s o f a H o l l i n g t y p e p r e y-p r e d a t o r s y s t e m w i t h s t a t e f e e d b a c k c o n t r o lJ.C h a o s,S o l i t o n s&F r a c t a l s,2 0 0 7,3 1(2):4 4 8-4 6 1.8 WE I C h u n j i n,CHE N L a n s u n.P e r i o d i c s o l u t i o n a n d h e t e r o c l i n i c b i f u r c a t i o n i n a p r e d a t o r-p r e y s y s t e m w i t h A l l e e e f f e c t a n d i m p u l s i v e h a r v e s t i n gJ.N o n l i n e a r D y n a m i c s,2 0 1 4,7 6(2):1 1 0 9-1 1 1 7.9 WE I C h u n j i n,CHE N L a n s u n.H e t e r o c l i n i c b i f u r c a t i o n s o f a p r e y-p r e d a t o r f i s h e r y m o d e l w i t h i m p u l s i v e h a r v e s t i n gJ.I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f B i o m a t h e m a t i c s,2 0 1 3,6(5):1 3 5 0 0 3 1.1 0 Z HAN G Q i a n q i a n,T AN G S a n y i.B i f u r c a t i o n a n a l y s i s o f a n e c o l o g i c a l m o d e l w i t h n o n l i n e a r s t a t e-d e p e n d e n t f e e d b a c k c o n t r o l b y P o i n c a r m a p d e f i n e d i n p h a s e s e tJ.C o mm u n i c a t i o n s i n N o n l i n e a r S c i e n c e a n d N u m e r i c a l S i m u l a t i o n,2 0 2 2,1 0 8:1 0 6 2 1 2.1 1 XU J i n g,HUAN G M i n g z h a n,S ON G X i n y u.D y n a m i c s o f a g u a n a c o-s h e e p c o m p e t i t i v e s y s t e m w i t h u n i l a t e r a l a n d b i l a t e r a l c o n t r o lJ.N o n l i n e a r D y n a m i c s,2 0 2 2,1 0 7(3):3 1 1 1-3 1 2 6.1 2 Z HAN G M e n g,Z HAO Y i,S ON G X i n y u.D y n a m i c s o f b i l a t e r a l c o n t r o l s y s t e m w i t h s t a t e f e e d b a c k f o r p r i c e a d j u s t m e n t s t r a t e g yJ.I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f B i o m a t h e m a t i c s,2 0 2 1,1 4(5):2 1 5 0 0 3 1.1 3 HR I T ON E NKO N,KA T O N,YA T S E NKO Y.I m p u l s e c o n t r o l s i n o p t i m a l h a r v e s t i n g o f a g e-s t r u c t u r e d p o p u l a t i o n sJ.I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f B i o m a t h e m a t i c s,2 0 2 3,1 6(7):2 2 5 0 1 2 8.1 4 F U J i n b o,CHE N L a n s u n.M o d e l l i n g a n d q u a l i t a t i v e a n a l y s i s o f w a t e r h y a c i n t h e c o l o g i c a l s y s t e m w i t h t w o s t a t e d e p e n d e n t i m p u l s e c o n t r o l sJ.C o m p l e x i t y,2 0 1 8,2 0 1 8:4 5 4 3 9 7 6.责任编辑:郭红建704张蒙,洪久胜,李泽妤.毒素环境下水生生物持续生存的状态反馈脉冲控制分析