概率计算中的差分方程方法.pdf

第 卷 第 期吉林师范大学学报(自然科学版).年 月 ().收稿日期:基金项目:国家自然科学基金项目()第一作者简介:刘伟明()男江苏省淮安市人副教授博士.研究方向:复分析及复几何.通讯作者:程晓亮()男吉林省长岭县人教授博士博士生导师.研究方向:复分析及复几何.:./.概率计算中的差分方程方法刘伟明孙海冰程晓亮(.北京石油化工学院 数理系北京.吉林师范大学 数学与计算机学院吉林 四平)摘 要:给出了一阶变系数非齐次线性差分方程的一种和式解结合一阶、二阶、特别是三阶常系数线性差分方程的理论讨论了差分方程在概率计算中的应用.说明结合概率论原有的方法和技巧差分方程方法则是概率计算的一种非常有效的方法.关键词:差分方程概率计算变系数中图分类号:文献标志码:文章编号:()引言差分方程在经济、管理、生物学等领域以及数学学科自身的许多分支中具有广泛应用文献讨论了差分方程在组合数学研究中的应用文献讨论了差分方程在二阶矩阵的幂、特殊三对角行列式及概率计算中的应用文献讨论了差分方程在离散型随机变量数学期望及概率计算中的应用文献讨论了差分方程在粒子群优化算法研究中的应用.类似于微分方程变系数线性差分方程的解析解一般难以求出即使是一阶、二阶差分方程.另一方面二次以上代数方程求根又比较困难故文献中通常只研究一阶、二阶常系数线性差分方程的应用.如文献仅使用一阶、二阶常系数线性差分方程的理论所以往往只能解决相对比较简单的概率计算问题.本文讨论了差分方程在概率计算中的应用给出了一阶变系数非齐次线性差分方程的一种和式解通过构造实际的例子讨论一阶、二阶、特别是三阶常系数线性差分方程的解以及一阶变系数非齐次线性差分方程的和式解在比较复杂的概率计算问题中的应用说明如何结合概率论原有的方法和技巧差分方程方法则是概率计算的一种非常有效的方法.求解概率问题时若直接求解比较困难则要采用间接方法.一种方法是寻找某些量之间的递归关系来求解问题如递归关系 即得到一阶、三阶常系数线性差分方程利用差分方程理论可得概率问题的解.这样在求解概率问题时可将注意力集中于概率建模即找出不同事件概率间的递推关系.常系数线性差分方程的理论引理 一阶常系数线性差分方程 的通解为 .第 期 刘伟明等:概率计算中的差分方程方法引理 二阶常系数齐次线性差分方程 其特征方程 有两个根 则:()两不相等实根 差分方程通解为 ()两相等实根 差分方程通解为 ()()一对共轭复根 差分方程通解为 ()其中 ()及()()()给定则其解()为()()()()()()中 的系数其中()()()()().证明 利用定理 及生成函数的方法给出证明.由变系数双差分方程可得()()()()()()()().令()()()()()可得()()()().由定理可得()()()()()().命题得证.定理 二阶常系数非齐次线性差分方程 ()有和式解 ()()其中()是定义在正整数集上的任意函数.证明 设 是特征方程 的两个根定义算子 其中 是移位算子.则有 ()()()令 ()则由定理 可得 因为()()则再由定理 可得 ()()()().命题得证.第 期 刘伟明等:概率计算中的差分方程方法 差分方程理论在概率计算中的应用实例下面通过实际或构造的例子来说明如何应用差分方程理论求解概率计算问题特别是如何将概率计算问题转化为各种类型的差分方程.例 有 个袋子:号 号 号每个袋子中分别有 个球颜色为黑或白其中黑球数分别为.从第一个袋子中取出一球放入第二个袋子中然后再从第二个袋子中取出一球放入第三个袋子中如此下去求从最后一个袋子中取出一球而为黑球的概率.解 设 事件“从第 个袋中取出黑球”记 ()由全概率公式得()()(/)()(/)而(/)(/).即得一阶变系数非齐次线性差分方程:.令()()故由定理 可得()()()()故()()()()故所求概率为 .例 某厂有同型设备 台同时独立运行生产工件每台设备不正常工作的概率分别为 .求()台设备中有 台不正常工作的概率()台设备中有偶数台不正常工作的概率.解()设事件“台设备中有 台不正常工作”的概率为()由全概率公式可推得()()()().由定理 可得其解()是()()()()()()中 的系数其中()()()()()().易知()()()()()()().故()()()()令 故()是()()()中 的系数且吉林师范大学学报(自然科学版)第 卷()()其中 ().特别地当 时()().()设前 台设备中有偶数台不正常工作的概率 由全概率公式可得()()().故由定理 可得()().例 投掷均匀硬币直至第一次接连出现三个正面为止求这时共投掷了 次的概率.解 设 “投掷第 次时首次接连出现三次正面”.记 ()则 表示“投掷第 次时首次接连出现三次正面”即第 次为反面第 次都为正面的事件.事件 可以拆成两个互斥事件之和即 ()()其中:()为事件“掷第 次时首次出现接连三次正面而第 次时投到反面”具体如下:正或反 反反 正 正 正()为事件“掷第 次时首次出现接连三次正面而第 次时投到正面”具体如下:正或反 正反 正 正 正接下来求解()().在投掷一枚硬币时出现正面与反面的概率相等.()可以换成等概率事件()而()可以换成等概率事件()其中()为事件“掷第 次都为正面第 次时投到反面第 次为正面”()为事件“掷第 次都为正面第 次时投到正面第 次为正面”.事件()可分解成两个相互独立事件 与 的交即()其中 表示掷第 次时首次接连出现三次正面的事件 表示掷一次出现正面的事件.所以()()().而事件()可拆成两个互斥事件之和即().其中 为事件“掷第 次都为正面第 次时投到正面第 次为反面”为事件“掷第 次都为正面第 次时投到正面第 次为正面”.所以()()().事件 可以分解成事件 与 的交即 .其中 表示掷第 次时首次接连出现三次正面的事件 表示掷两次都出现正面的事件.事件 与 互为独立事件所以()()().类似地事件 可以分解成事件 与 的交即 .其中 表示掷第 次时首次接连出现三次正面的事件 表示掷三次都出现正面的事件.事件 与 互为独立事件所以()()()所以()()()()().则()()()()()()()()()得到三阶常系数齐次线性差分方程 .第 期 刘伟明等:概率计算中的差分方程方法下面求解该差分方程.相应特征方程为 .这是一元三次方程求根需用求根公式:卡尔丹公式或盛金公式或使用 工具软件求根.根为.和 .由引理 原差分方程的解即所求概率为.(.)(.).其中常数 可由初始值 表示.结语通过上面构造的实际例子可看出:应用差分方程求解概率问题是一种非常有效的方法.这些例子如果仅用概率论自身的方法去求解往往是很困难的.方法的关键是:将概率问题转化为差分方程问题即寻找不同事件概率间的递推关系.从而将比较复杂的概率计算问题转化差分方程的求解问题.而在文中求解比较复杂的概率计算问题时需要三阶常系数线性齐次差分方程的解以及一阶变系数非齐次线性差分方程的和式解的应用.然而在寻找不同事件概率相互间的递推关系时需要巧妙地结合概率论原有的方法和技巧:如全概率公式复杂事件拆成互斥事件的和或分解为相互独立事件的交等概率事件的转化等差分方程方法则会更加有效.参 考 文 献.():.():.():.钱晓莉.利用差分方程巧解线性代数及概率统计中的问题.数学的实践和认识():姜玉英刘强.离散型随机变量数学期望的几种巧妙算法.大学数学():孙福杰张金萍王亚玲.差分方程在概率计算中的应用.长春师范大学学报():.朱晓峰姜玉英.差分方程在概率问题中的应用.北京印刷学院学报():.李宁孙德宝邹彤等.基于差分方程的 算法粒子运动轨迹分析.计算机学报():.李贤平.概率论基础.北京:高等教育出版社.吴传生.经济数学微积分.北京:高等教育出版社.:.(.):.:(责任编辑:孙爱慧)