方法策略助题解规范表达抓落实——以“圆与圆位置关系的综合问题探究”专题教学课为例.pdf

本文系“年长三角区域中学数学青年教师(初中组)教学设计大赛”一等奖作品方法策略助题解规范表达抓落实 以“圆与圆位置关系的综合问题探究”专题教学课为例 复旦大学第二附属学校杨丽珏摘要:在上海市杨浦区数学思维培育课程的引领下,笔者对“圆与圆位置关系的综合问题探究”进行了教学设计和课堂实践,从落实综合题解题一般步骤、寻找解题策略和归纳数学思想方法等方面探索数学综合题教学的结构化程序,希望能达成教与学的积极“构建”,提高学生解题综合能力关键词:方法策略;规范表达;圆与圆的位置关系;综合问题;专题教学课一、设计背景与意义综合题作为中考数学的压轴题型,往往汇聚初中数学多个知识点,且各知识点之间交叉组合,具有知识覆盖面广泛、导向性明确、题型多变、解法灵活等特点,对学生数学解题综合运用能力有很高的要求如何通过课堂教学提高学生数学综合能力,是九年级专题复习课着重研究的方向通过综合题专题教学课,帮助学生复习巩固综合题所涉及的基础知识和基本技能,理解题目涉及的数学思想方法和解题策略,再联系这些基础知识、思想方法和解题策略,使之系统化、结构化、成熟化,从而完善和发展学生原有的数学知识结构,帮助学生形成科学的综合题解题一般步骤,建立相互贯通、彼此联结的思想方法体系,提高综合题解题能力笔者以杨浦区数学思维培育课程教学实践中的一节“圆与圆位置关系的综合问题探究”专题教学课为例,对综合题专题教学课进行探索,以期帮助学生从解题步骤、解题策略、思想方法和书写表达等方面形成综合题解题经验,提高解题能力,提升数学思维,发展学科核心素养原题呈现如下例题A B C中,A C B ,t a nB,A B,点O为边A B上一动点,以O为圆心,O B为半径的圆交射线B C于点E,以A为圆心,B O长度为半径的圆交射线A C于点G()如图,当点E,G分别在边B C,A C上,且C EC G时,请判断圆A与圆O的位置关系,并证明你的结论;()当圆O与圆A存在公共弦MN时(如图所示),设O Bx,MNy,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;()设圆A与边A B的交点为F,联结O E,E F,当O E F为以O E为腰的等腰三角形时,求圆O的半径长图图二、教学内容分析“圆”这一单元的核心内容是圆的基本性质以及与圆有关的位置关系圆的基本性质主要包括圆中四等关系和垂径定理,与圆有关的位置关系包括点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系,其中圆与圆的位置关系最为复杂经过前段时间的知识梳理和专题复习,学生对圆已具备了一定的知识体系,但对解决与圆有关的综合题仍感到困难,无法抓住问题本质在此背景下,设计本节综合题专题复习课,在学生已经较为熟练地掌握圆的有关知识且知识结构比较清楚的基础上,进一步开展针对性的复习教学活动通过解决一道与圆有关的综合题,帮助学生在解题过程中再次回顾复习与圆有关的基础知识与基本图形,形成解题策略,反思解题方法,体验、运用数学思想,掌握综合题解题一般步骤上海中学数学 年第期三、学习问题分析在综合题专题教学课的学习过程中,预估学生会遇到的困难和问题(一)理解题意和图形的困难综合题的文字较多、图形相对复杂,使得大部分学生对综合题产生畏惧心理解决数学问题的首要关键是正确理解题意综合题的题干中往往存在多个已知条件,这增加了学生审题的难度,而复杂图形又不利于学生快速提取出解题所需要的条件,导致学生无法发现、挖掘出题目中隐藏的条件,容易陷入审题不清的迷茫状态(二)调用相关知识分析问题的困难数学知识点会以一定的逻辑顺序和结构关联出现在一道综合题里,学生要从题目条件中寻找出有价值的信息,思考应用哪一个或者哪几个知识点(定理或者公式)去分析解决问题,通过建立基本的数学模型,梳理、整合、重组各类有价值的信息,建立逻辑关系,形成解题思路一旦学生遗忘了某一个知识点,或者调取了不适合的知识点,造成解题知识链断裂,又或者无法根据题意建立数学模型,无法推导逻辑关系,无法将亟待解决的问题转化为已经解决的基本问题等,只要出现其中一个问题,那么解题思路必然因受阻而中断(三)准确把握解题过程的困难答题时,学生需要将自己对综合题的解题思路用规范的数学语言完整地书写表达出来如果学生的解答过程不完整,出现逻辑表达不严谨,计算、证明有错误的情况,都会出现不同程度的失分有些学生无法准确把握综合题解答的关键步骤,把简洁的解答过程写得十分冗长,导致没有足够时间答完整道题目四、教学目标根据以上分析,确定本节课的教学目标如下()复习“圆与圆的位置关系”的基础知识与基本图形()在解题过程中掌握综合题一般的解题策略,科学把握解题的四个步骤()感悟图形运动变化过程中始终不变的规律,体会转化思想、方程思想、分类讨论等数学思想()在分析解题的过程中,发展不怕困难、勇于挑战、积极尝试的数学学习品质五、教学重点与难点教学重点:掌握综合题解题一般步骤,体会解题策略,感悟数学思想,注重综合题的规范表达教学难点:体会并形成综合题解题策略,感悟数学思想,反思归纳,学以致用六、教学过程设计根据波利亚 怎样解题 中提到的“理解题目、拟定方案、执行方案、回顾反思”四个阶段,形成综合题解题一般步骤,以此设计教学过程,开展课堂教学(一)读题析图,理解题意“读题析图,理解题意”即为审题,是解题的第一步,是分析问题与解决问题的起始步骤学生只有通过细致严谨地审题才能获得题目中所有的已知条件,厘清题意,明确问题,为后续分析问题、探求解题思路打下基础例题A B C中,A C B ,t a nB,A B,点O为边A B上一动点,以O为圆心,O B为半径的圆交射线B C于点E,以A为圆心,O B为半径的圆交射线A C于点G(图、图见前文,此处从略)问题通过读题,我们能直接找到的条件是什么?课堂生成:由A C B ,t a nB,A B,可知直角三角形A B C的形状、大小是确定不变的,A C,B C;圆A与圆O都是以O B长度为半径的圆,是两个等圆,A GB O;当点O在线段A B上运动时,两圆的位置关系会发生变化,点E与点G会分别运动到线段B C与线段A C的延长线上其中,与是题目中的静态条件,是结合图形得到的动态变化情况设计意图:在教师的不断追问和师生的互动交流中,抽丝剥茧,层层挖掘,引导学生发现题目中不变的条件是什么,变化的条件是什么,分析不变的条件与变化的条件之间存在怎样的联系,帮助学生审清题意,促使学生养成认真、仔细的审题习惯(二)分析问题,探究思路在“分析问题,探究思路”这一环节,可以通过复习巩固与本题相关的基础知识与基本图形,寻找题目条件与题目结论之间的数学联系,揭示解决问题的切入点,引导学生快速提取、有效迁移,形成解题思路当然,在很多复杂问题的分析过程中,有时通过回顾、重构知识体系仍不足以解决问题例如,“分类讨论”型问题作为综合题中的一类常见题型,其解决过程就复杂得多解决这类问题时,需要结上海中学数学 年第期合图形运动变化,将所有可能情况分门别类地罗列出来,不能重复也不能遗漏,要有序不乱例题题干同上()如图,当点E,G分别在边B C,A C上,且C EC G时,请判断圆A与圆O的位置关系,并证明你的结论问题要判断两圆的位置关系,先一起回顾“圆与圆的位置关系”的相关知识两圆的位置关系有哪几种?我们是如何判断两圆位置关系的?课堂生成:半径不同的两个圆的位置关系有五种,分别是内含、内切、相交、外切和外离 判断两圆位置关系,即从“形”的角度,观察两圆是否有交点及交点的个数;从“数”的角度,比较两圆圆心距和两圆半径和、两圆半径差的大小关系 可以用一条关于圆心距d的数轴来刻画两圆的位置关系(如图所示)当两圆半径相等时,两圆的位置关系只有相交、外切和外离 判断两圆位置的关键是找到内切和外切这两个临界位置图问题根据条件C EC G,要判断图中两圆位置关系,该如何思考?课堂生成:解决本题的关键是求出两圆半径长O B与圆心距A O的长度,由于圆心距A OA BO B,因此只要求出圆O半径O B的长度,问题就得以解决思路:利用两圆半径相等,设A GO Bx,则C Gx;作过点O的弦心距OHB E,由垂径定理和B的锐角三角比,可得C Ex;根据条件C EC G,建立关于x的方程xx,解出两圆半径和两圆圆心距A O的大小,进行判断,得出“圆A与圆O外切”的结论(如图所示)图思路:直接从条件出发,设C EC Gx,根据两圆半径相等,即A GO B,建立关于x的方程x x,解决问题设计意图:通过回顾复习“圆与圆的位置关系”的基础知识与基本图形,从数与形两个角度明确判断两圆位置关系就是确定两圆半径和、差与圆心距的数量关系引导学生发现解决此类问题的关键是明确两圆半径长与圆心距的大小()当圆O与圆A存在公共弦MN时(如图所示),设O Bx,MNy,求y关于x的函数解析式,并写出定义域问题圆O与圆A存在公共弦MN,说明两圆相交对于相交的两圆,又具有哪些性质?课堂生成:相交两圆的连心线垂直平分公共弦;相交两圆的圆心可以分别在公共弦的两侧,也可以在公共弦的同侧(如图所示)因此,解相交两圆的问题时,有时需要注意分类讨论图问题在此背景下,求y关于x的函数解析式,如何思考?课堂生成:因相交两圆的连心线垂直平分公共弦,可知A BMN,且MDMNy由圆O与圆A是等圆,可得AMO为等腰三角形再利用等腰三角形三线合一的性质得D OA Ox,运用勾股定理OMMDD O建立方程,求得y关于x的函数关系式yx x(如图所示)最后,根据相交两圆的位置关系得出本题的定义域为x,而定义域的临界值是否可取也由两圆相交的位置关系决定图上海中学数学 年第期设计意图:通过回顾复习“相交两圆位置关系”的基础知识和基本图形,引导学生发现相交两圆的性质定理、等腰三角形三线合一的性质和直角三角形勾股定理这些知识点之间的内在联系,巩固并完善学生的数学知识体系,便于今后遇到类似问题时,能迅速调取全面的知识系统()设圆A与边A B的交点为F,联结O E,E F,当O E F为以O E为腰的等腰三角形时,求圆O的半径长问题“圆A与边A B的交点为F”意味着什么?问题“O E F为以O E为腰的等腰三 角形”,因此需要怎样解决这个问题?如何思考?课堂生成:条件“圆A与边A B的交点为F”意味着点F在圆A上,即A F等于圆A的半径长,A FA GO B“O E F为以O E为腰的等腰三角形”,因此解决这个问题需要进行分类讨论,讨论O EE F(如图所示)和O EO F(如图所示)两种情况图图问题当O EO F时,你有什么发现?课堂生成:由于O EO B,且A FO B,可知线段A B被三等分,得O BA B,即rO,此时回到小问()中圆A与圆O外切的情况(如图所示)图问题当O EE F时,又该如何分析呢?请仔细观察图形,积极联想,大胆尝试课堂生成:思路:当O EE F时,A F,E F,B O,O E这四条线段都相等,发现它们具有对称性因此联想对称轴,作EHF O,运用等腰三角形三线合一的性质得OHFH,由于A FO B,因此BHA B再由B的锐角三角比c o sBBHB E建立关于圆O半径x的方程,解得rO (如图 所示)图 思路:由A F,E F,B O,O E这四条线段的对称性,自然联想到联结A E,可证得A E FB E O,由全等三角形的性质得A EB Ex,则C Ex在R t A C E中,根据勾股定理A EA CC E,建立关于x的方程,解决问题(如图 所示)图 思路:在 思 路的 基 础 上,可 证B A EB E O,利用相似三角形对应边成比例,得B EO BA B,建立方程,求解问题(如图 所示)图 至此,得到当O E F为以O E为腰的等腰三角形时,圆O半径的两解:当O EO F时,rO;当O EE F时,rO 追问请同学们仔细想想,大家考虑问题严密吗?追问当点O向点A运动,点E落在线段B C的延长线上时,O E F仍需是以O E为腰的等腰三角形,此时,会出现怎样的情况?课堂 生 成:点E在 边B C的 延 长 线 上,此 时E O B为钝角,只能成为等腰三角形O E F的顶角,故只有O EO F这一种情况(如图 所示)而O EO B,因此O FO B,则点F与点B重合,点O则上海中学数学 年第期与点A重合,此时rO由此,得到小问()的完整解答:rO或 或图 设计意图:在对“点E在边B C上,O EE F时”这一情况的思路分析过程中,遵循波利亚 怎样解题 中解题表的精髓 启发联想,引导学生观察图形,展开“联想”,大胆尝试通过联想,学生发现解题所需的相关知识和基本图形,通过添加适合的辅助线,建立已知与未知的“桥梁”,把未知的问题转化为能够解决的问题,再运用学过的定理、性质实现问题的解答值得注意的是,在本题“分析问题,探究思路”的过程中,学生容易直接对“以O E为腰的等腰三角形O E F”这个条件进行分类讨论,忽视动点O在线段A B上运动而引起的图形变化,导致解答不完整这里通过教师追问,引导学生重视“读题析图,理解题意”这一综合题解题的第一步在审题时,学生若能关注到由点O运动所引起的图形变化,化动为静,把动态变化情况分为几个阶段和范围进行步骤分解,分类探究点E所在位置,再分别作出以O E为腰的等腰三角形O E F,画出静态图形,那么在解决本题时才能做到分类要求的不重不漏(三)书写过程,规范表达这一步骤就是用数学语言准确、清楚地把在“分析问题,探究思路”时厘清的解题思路规范地表达出来教学时需要提醒学生注意书写表达的层次要清晰,论证要严密,书写的格式和过程要规范课件呈现本题完整解答过程与评分标准,学生在评价自己答题过程中强化规范意识示例:例题小问()解答过程解:如图,联结MO,MA,设MN与A B的交点为D,MN为圆O与圆A的公共弦,A BMN,且MDMNy 圆A与圆O是等圆,MAMO ADO D(x)在R t MD O中,MOMDO D,MDMOO D,yxx,yx x,其中x图(四)回顾反思,提炼方法,一题多解法国哲学家、数学家笛卡尔有一句名言:“我解决过的每一个问题都成为日后用以解决其他问题的法则”要使得已解决的每个问题都能成为一个范例,用以解决其他问题,这离不开问题解决后的回顾反思通过回顾反思,学生梳理、总结、思考整个解题过程,提炼思想方法,积累解题经验,提高解题能力,形成研究性学习习惯,发展数学核心素养回顾反思小问():本小问主要运用“圆与圆的位置关系”的相关知识、与圆有关的性质(垂径定理)来解决问题把判断两圆位置关系转化为求线段O B长度的问题,通过设元,利用C EC G建立方程,求解问题,涉及转化思想和方程思想回顾反思小问():本小问主要运用了相交两圆的性质定理、等腰三角形和直角三角形的性质等相关知识来解决问题要求y关于x的函数解析式,其实就是用x的代数式来表示线段MN的长度,可转化为“求线段长度”的问题,运用勾股定理建立方程解决问题,也涉及转化的数学思想和方程思想回顾反思小问():本小问求圆O的半径长,仍然是“求线段长度”的问题解决此类问题时,常常将线段放在可解三角形中去求,而决定三角形是否可解的主要因素是寻找三角形中是否有充足的可利用的边角关系,进而主动识别或构造合适的三角形,运用锐角三角比、勾股定理和相似三角形对应边成比例等相关知识寻找等量关系,建立方程,求解问题在讨论“点E在边B C上,O EE F时”这一情况时,还要多角度进行思考,一题多解,一题多思,不仅调动了相关知识,还体会了知识间的联系,感受数学探究的乐趣本题的解题过程中,除分类讨论思想外,也蕴含了转化思想和方程思想在“回顾反思”这一教学环节中,学生巩固问题涉及的知识点,包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等,打通知识点之间的相互关系,重建或完善知识的系统结构,提炼、总结、归纳问题解决过程中所揭示出来的数学思想方法和解题策略,从而促成知识点、关系结构以及思想、方法、策略的深度融合,提炼解题的通性通法,提升解题能力,达到综合题专题教学课深度学习的教学目的上海中学数学 年第期七、目标检测设计综合题的设计往往遵循从特殊到一般的数学思想,逐步弱化条件,综合三角形、四边形及圆等核心数学知识,呈现不同数学知识与数学思想方法之间的联系,揭示数学知识的整体性和解题方法的一般性在上述“圆与圆位置关系的综合问题探究”专题教学后,继续深挖例题,一题多变,引导学生在类比、迁移解决与例题有关的变式题的过程中,进一步巩固知识体系,落实综合题解题一般步骤,体会模式识别、分解组合、动静转化和数形结合的解题策略,感悟转化思想、方程思想、分类讨论等思想方法,激发学习兴趣,提升思维品质,增强探究意识例题改编如图,A B C中,A C B ,t a nB,A B,点O为边A B上一动点,以O为圆心,O B为半径的圆交射线B C于点E,以A为圆心,O A为半径的圆交射线A C于点G()当点E在B C延长线上,点G在边A C上,且C EC G时,请判断圆A与圆O的位置关系,并证明你的结论;()当圆A与直线B C相切时,求此时圆O与圆A的公共弦MN的长度()联结O E,A E,当O A E为等腰三角形时,求圆O的半径长图 八、教学反思本节课的整体教学设计思路是将专题复习与问题解决相结合,将课堂教学与课后巩固相融合在精选例题的专题教学过程中,针对每一小问反复落实综合题解题的一般步骤,帮助学生形成综合题解题一般策略在“读题析图,理解题意”时,弄清题目条件,挖掘隐藏条件,分析题目条件中变与不变之间的数学联系,培养认真、细致的审题习惯在“分析问题,探究思路”时,重构或完善知识结构体系,努力在已知和未知之间找出直接的联系,把亟待解决的问题转化为已经解决的基本问题如果找不出直接的联系,就要学会将问题分解成几个具体、简单的小问题,各个击破,分别解决;或者挖掘图形潜在的本质属性,展开联想,关联以往解题经验,寻找问题突破口多角度、深层次地思考问题,一题多解,多解归一,在分析问题中体会解题策略,在探究思路时感悟思想方法在“书写过程,规范表达”时,及时理清思路,用规范、准确的数学语言把解题思路完整表达出来,每一步都言之有理、言之有据在“回顾反思”时,反思问题解决过程,反思题目涉及的知识结构、解题过程中使用的思想方法和解题策略,并把它们深度地融合在一起,提炼方法,提升思维利用课后变式练习,将未知解法或难以解决的问题,通过观察、比较、迁移、联想等思维重构过程,转化为课上已经解决过的问题在习题解决的过程中,再次强化巩固综合题解题一般步骤,感悟解题策略和思想方法本节课通过一道综合题的专题教学,促使学生掌握综合题解题一般步骤,在问题解决过程中回顾知识结构、渗透思想方法、积累活动经验,使专题复习课有了浓厚的探究意味,不仅促使学生掌握科学、有效的解决综合题的基本方法,更提升了学生对知识整合、加工、迁移应用的能力,提升了学生的应变能力和思辨能力,将发展学生的核心素养落到了实处参考文献布鲁纳教育过程M邵瑞珍,译北京:文化教育出版社,:波利亚怎样解题:数学思维的新方法M涂泓,冯承天,译上海:上海科技教育出版社,程龙军,史承灼基于“一题一课”的初中数学单元复习教学策略的研究J中学数学教学,():欢迎订阅上海中学数学上海中学数学 年第期