高中数学高考导数题型分析.docx

高中数学高考导数题型分析高中数学高考导数题型分析高中数学高考导数题型分析一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析题型一：利用导数几何意义求切线方程31,3处的切线方程是yx2y4xx1曲线在点42若曲线f(x)xx在P点处的切线平行于直线3xy0，则P点的坐标为（1，0）4yx3若曲线的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为4xy304求下列直线的方程：322（1）曲线yxx1在P(-1,1)处的切线；（2）曲线yx过点P(3,5)的切线；即xy20即y2x1或y10x25解：（1）y1x1，（2）y12(x1)或y2510(x5)，题型二：利用导数研究函数的单调性，极值、最值32f(x)xaxbxc,过曲线yf(x)上的点P(1,f(1)的切线方程为y=3x+11已知函数（）若函数f(x)在x2处有极值，求f(x)的表达式；（）在（）的条件下，求函数yf(x)在3，1上的最大值；（）若函数yf(x)在区间2，1上单调递增，求实数b的取值范围32解：（1）f(x)x2x4x5.（2）在3，1上最大值是13。（3）y=f(x)在2，1上单调递增，又f(x)3x2axb,由知2a+b=0。2依题意f(x)在2，1上恒有f(x)0，即3xbxb0.2x当b1时,f(x)minf(1)3bb0,b66；b2时,f(x)minf(2)122bb0,b6；x当612bb221时,f(x)min0,则0b6.b12当综上所述，参数b的取值范围是0,)第1页共5页32f(x)xaxbxc在x1和x1时取极值，且f(2)42已知三次函数(1)求函数yf(x)的表达式；(2)求函数yf(x)的单调区间和极值；3f(x)x3x2解：(1)上是减函数；(2)当x1时，f(x)0函数f(x)在区间(,1上是增函数；在区间1,在区间1,)上是增函数函数f(x)的极大值是f(1)0，极小值是f(1)43设函数f(x)x(xa)(xb)（1）若f(x)的图象与直线5xy80相切，切点横坐标为，且f(x)在x1处取极值，求实数a,b的值；（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点解：（1）a=1，b=1题型三：利用导数研究函数的图象/1f（x）的导函数f(x)的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（D）（A）（B）（C）（D）2函数642-4-2y642-4-2y642x-4-2y642y24-2-4xo24-2-4xyy13x4x1的图像为3(A)o24-2-4xo24-2-4323方程2x6x70在(0,2)内根的个数为(B)A、0B、1C、2D、3第2页共5页题型四：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围1f(x)x32ax23a2xb,0a1.31设函数（1）求函数f(x)的单调区间、极值.（2）若当xa1,a2时，恒有|f(x)|a，试确定a的取值范围.解：（1）f(x)在（a，3a）上单调递增，在（-，a）和（3a，+）上单调递减4f极小(x)ba33，x3a时，f极小(x)bxa时，22f(x)x4ax3a（2）0a1，对称轴x2aa1，f(x)在a+1，a+2上单调递减(a1)24a(a1)3a22a1fmin(a2)24a(a2)3a24a4fMax，|a|f|a，|fmin依题|f(x)|aMax即|2a1|a,|4a4|a44a1,1)解得5，又0a1a的取值范围是522已知函数f（x）x3ax2bxc在x3与x1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。22解：（1）函数f（x）的递增区间是（，3）与（1，），递减区间是（3，1）1222（2）f（x）x32x22xc，x1，2，当x3时，f（x）27c为极大值，而f（2）2c，则f（2）2c为最大值。要使f（x）c2（x1，2）恒成立，只需c2f（2）2c，解得c1或c2题型五：导数与不等式的综合3a0,函数f(x)xax在1,)上是单调函数.1设（1）求实数a的取值范围；（2）设x01，f(x)1，且f(f(x0)x0，求证：f(x0)x0.第3页共5页22f(x)1,yf(x)3xa,y0,即a3x,这解：（1）若在上是单调递减函数，则须样的实数a不存在.故f(x)在1,上不可能是单调递减函数.2若f(x)在1,上是单调递增函数，则a3x，2x1,故3x3.从而011(,1),(,)(1,)f(x)的单调递增区间是22；单调减区间为f(1)2514927f()f(0)8，f(x)的极小值为216，又82749m8，最小值162749581616易知f(x)的极大值为f(x)在1，0上的最大值M对任意x1,x2(1,0)，恒有|f(x1)f(x2)|Mm题型六：导数在实际中的应用1请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？3当OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为163m。2统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/y小时）的函数解析式可以表示为：13x3x8(0x120).12800080已知甲、乙两地相距100千米。（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？13(403408)2.517.580解：（I）128000（升）。（II）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。第5页共5页导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。32f(x)x3x2在区间1,1上的最大值是2122已知函数yf(x)x(xc)在x2处有极大值，则常数c6；33函数y13xx有极小值1,极大值3题型二：利用导数几何意义求切线方程31,3处的切线方程是yx2y4xx1曲线在点42若曲线f(x)xx在P点处的切线平行于直线3xy0，则P点的坐标为（1，0）4yx3若曲线的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为4xy304求下列直线的方程：322（1）曲线yxx1在P(-1,1)处的切线；（2）曲线yx过点P(3,5)的切线；32y/3x22xky/|x1321解：（1）点P(1,1)在曲线yxx1上，即xy20所以切线方程为y1x1，2/（2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为A(x0,y0)，则y0x0又函数的导数为y2x，所以过2x0A(x0,y0)点的切线的斜率为ky/|xx02x0，又切线过A(x0,y0)、P(3,5)点，所以有y05x03x01x05y1或y250，由联立方程组得，0，即切点为（1，1）时，切线斜率为k12x02;；当切点为（5，25）时，切线斜率为k22x010；所以所求的切线有两条，方程分即y2x1或y10x25别为y12(x1)或y2510(x5)，题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值32f(x)xaxbxc,过曲线yf(x)上的点P(1,f(1)的切线方程为y=3x+11已知函数第1页共61页（）若函数f(x)在x2处有极值，求f(x)的表达式；（）在（）的条件下，求函数yf(x)在3，1上的最大值；（）若函数yf(x)在区间2，1上单调递增，求实数b的取值范围322f(x)xaxbxc,求导数得f(x)3x2axb.解：（1）由过yf(x)上点P(1,f(1)的切线方程为：yf(1)f(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).的切线方程为y3x1.而过yf(x)上P1,f(1)32ab3故ac32ab0即ac3yf(x)在x2时有极值,故f(2)0,4ab1232f(x)x2x4x5.由得a=2，b=4，c=52（2）f(x)3x4x4(3x2)(x2).23x2时,f(x)0;当2x时,f(x)0;3当2当x1时,f(x)0.f(x)极大f(2)133又f(1)4,f(x)在3，1上最大值是13。2f(x)3x2axb,由知2a+b=0。（3）y=f(x)在2，1上单调递增，又2依题意f(x)在2，1上恒有f(x)0，即3xbxb0.x当b1时,f(x)minf(1)3bb0,b66；b2时,f(x)minf(2)122bb0,b6；x当612bb221时,f(x)min0,则0b6.b12当综上所述，参数b的取值范围是0,)322已知三次函数f(x)xaxbxc在x1和x1时取极值，且f(2)4第2页共61页(1)求函数yf(x)的表达式；(2)求函数yf(x)的单调区间和极值；(3)若函数g(x)f(xm)4m(m0)在区间m3,n上的值域为4,16，试求m、n应满足的条件(x)3x22axbf解：(1)，2由题意得，1,1是3x2axb0的两个根，解得，a0,b33f(2)4f(x)x3x2c2再由可得(x)3x233(x1)(x1)f(2)，当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0函数f(x)在区间(,1上是增函数；上是减函数；在区间1,)上是增函数在区间1,函数f(x)的极大值是f(1)0，极小值是f(1)4(3)函数g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移m个单位，向上平移4m个单位得到的，所以，函数f(x)在区间3,nm上的值域为44m,164m（m0）而f(3)20，44m20，即m4于是，函数f(x)在区间3,n4上的值域为20,0令f(x)0得x1或x2由f(x)的单调性知，1n4综上所述，m、n应满足的条件是：m4，且3n3设函数f(x)x(xa)(xb)（1）若f(x)的图象与直线5xy80相切，切点横坐标为，且f(x)在x1处取极值，求实数a,b的值；62，即3n6第3页共61页（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点解：（1）f(x)3x2(ab)xab.由题意f(2)5,f(1)0，代入上式，解之得：a=1，b=12令f(x)0得方程3x2(a1)xa0.（2）当b=1时，224(aa1)0,故方程有两个不同实根x1,x2因xxf(x)3(xx)(xx)f(x)的符号如下：2，由12可判断不妨设1xx时，xxx时，xx时，f(x)f(x)f(x)1122当；当；当因此x1是极大值点，x2是极小值点，当b=1时，不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点。题型四：利用导数研究函数的图象/f1如右图：是f（x）的导函数，(x)的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（D）（A）（B）（C）（D）2函数642-4-2y642-4-2y642x-4-2y642y24-2-4xo24-2-4xyy13x4x1的图像为3(A)o24-2-4xo24-2-4323方程2x6x70在(0,2)内根的个数为(B)A、0B、1C、2D、3题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围第4页共61页1f(x)x32ax23a2xb,0a1.31设函数（1）求函数f(x)的单调区间、极值.（2）若当xa1,a2时，恒有|f(x)|a，试确定a的取值范围.22xa,x23af(x)x4ax3a解：（1）=(x3a)(xa)，令f(x)0得1列表如下：x（-，a）a（a，3a）3a+0极大（3a，+）-f(x)f(x)-0极小f(x)在（a，3a）上单调递增，在（-，a）和（3a，+）上单调递减4f极小(x)ba33，x3a时，f极小(x)bxa时，22f(x)x4ax3a（2）0a1，对称轴x2aa1，f(x)在a+1，a+2上单调递减(a1)24a(a1)3a22a1fmin(a2)24a(a2)3a24a4fMax，|a|f|a，|fmin依题|f(x)|aMax即|2a1|a,|4a4|a44a1,1)解得5，又0a1a的取值范围是522已知函数f（x）x3ax2bxc在x3与x1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。解：（1）f（x）x3ax2bxc，f（x）3x22axb由f（21241ab03）93，f（1）32ab0得a2，b2f（x）3x2x2（3x2）（x1），函数f（x）的单调区间如下表：第5页共61页x22（，3）302（3，1）1（1，）f（x）f（x）0极大值极小值22所以函数f（x）的递增区间是（，3）与（1，），递减区间是（3，1）1222（2）f（x）x32x22xc，x1，2，当x3时，f（x）27c为极大值，而f（2）2c，则f（2）2c为最大值。要使f（x）c2（x1，2）恒成立，只需c2f（2）2c，解得c1或c2题型六：利用导数研究方程的根131已知平面向量a=(3,1).b=(2,2).（1）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t23)b，y=-ka+tb，xy，试求函数关系式k=f(t)；(2)据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)k=0的解的情况.yxy解：(1)x，=0即a+(t2-3)b(-ka+tb)=0.22整理后得-ka+t-k(t2-3)ab+(t2-3)b=0122ab=0，a=4，b=1，上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=4t(t2-3)11(2)讨论方程4t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=4t(t2-3)与直线y=k的交点个数.33于是f(t)=4(t2-1)=4(t+1)(t-1).令f(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f(t)、f(t)的变化情况如下表：tf(t)F(t)(-,-1)+-10极大值(-1,1)-10极小值(1,+)+1当t=1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2.第6页共61页1当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=21函数f(t)=4t(t2-3)的图象如图1321所示，可观察出：11(1)当k2或k2时,方程f(t)k=0有且只有一解；11(2)当k=2或k=2时,方程f(t)k=0有两解；11(3)当2k2时,方程f(t)k=0有三解.题型七：导数与不等式的综合3a0,函数f(x)xax在1,)上是单调函数.1设（1）求实数a的取值范围；（2）设x01，f(x)1，且f(f(x0)x0，求证：f(x0)x0.22f(x)1,yf(x)3xa,y0,即a3x,这解：（1）若在上是单调递减函数，则须样的实数a不存在.故f(x)在1,上不可能是单调递减函数.2若f(x)在1,上是单调递增函数，则a3x，2x1,故3x3.从而03f(x)(x2)(xa)22已知a为实数，函数（1）若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围（2）若f(1)0，（）求函数f(x)的单调区间（）证明对任意的x1、x2(1,0)，不等式|f(x1)f(x2)|516恒成立f(x)x3ax2解：333xaf(x)3x22ax22，2函数f(x)的图象有与x轴平行的切线，f(x)0有实数解4a24339330a2（，22，）22，所以a的取值范围是22，399310af(x)3x2x3(x)(x1)24，222，11f(x)0,1x2；由2f(1)0，32a由f(x)0,x1或x11(,1),(,)(1,)f(x)的单调递增区间是22；单调减区间为f(1)2514927f()f(0)8，f(x)的极小值为216，又82749m8，最小值162749581616易知f(x)的最大值为f(x)在1，0上的最大值M对任意x1,x2(1,0)，恒有|f(x1)f(x2)|Mm题型八：导数在实际中的应用1请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为xm，则1x4第8页共61页由题设可得正六棱锥底面边长为：32(x1)282xx2，（单位：m）6故底面正六边形的面积为：333(82xx2)22282xx)=24，（单位：m）帐篷的体积为：V（x）1333(1612xx3)(82xx2)(x1)13322（单位：m）V（x）求导得3(123x2)2。（x）0，解得x2（不合题意，舍去）令V，x2，（x）0，V（x）当1x2时，V为增函数；（x）0，V（x）当2x4时，V为减函数。当x2时，V（x）最大。3答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为163m。2统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/y小时）的函数解析式可以表示为：13x3x8(0x120).12800080已知甲、乙两地相距100千米。（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？1002.5x40解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了40小时，13(403408)2.517.580要耗没128000（升）。100（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了x小时，设耗油量为h(x)升，131001280015h(x)(x3x8).x(0x120),12800080x1280x4依题意得x800x3803h(x)2(0x120).2640x640x第9页共61页令h(x)0,得x80.当x(0,80)时，h(x)0,h(x)是减函数；当x(80,120)时，h(x)0,h(x)是增函数。当x80时，h(x)取到极小值h(80)11.25.因为h(x)在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。题型九：导数与向量的结合3113a(，),b(，).2222若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使1设平面向量xa(t2k)b,ysatb,且xy，（1）求函数关系式Sf(t)；，上是单调函数，求k的取值范围。（2）若函数Sf(t)在1a(解：（1）3113,),b(,).ab1，ab02222又xy,xy0，得2ab0，（tk）（satb）2222即sa（ttk）b-（tstsk）ab0。s（t2k）t0，故s（ft）t3kt。（2）f（t）3t2k且f（t）在1，上是单调函数，0则在1,上有f(t)0或f（t）222f(t)03tk0k3tk(3t)mink3；由22f(t)03tk0k3t由。因为在t1,上3t是增函数，所以不存在k，使k3t在1,上恒成立。故k的取值范22围是k3。第10页共61页导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。32f(x)x3x2在区间1,1上的最大值是2122已知函数yf(x)x(xc)在x2处有极大值，则常数c6；33函数y13xx有极小值1,极大值3题型二：利用导数几何意义求切线方程31,3处的切线方程是yx2y4xx1曲线在点42若曲线f(x)xx在P点处的切线平行于直线3xy0，则P点的坐标为（1，0）4yx3若曲线的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为4xy304求下列直线的方程：322（1）曲线yxx1在P(-1,1)处的切线；（2）曲线yx过点P(3,5)的切线；32y/3x22xky/|x1321解：（1）点P(1,1)在曲线yxx1上，即xy20所以切线方程为y1x1，2/（2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为A(x0,y0)，则y0x0又函数的导数为y2x，所以过2x0A(x0,y0)点的切线的斜率为ky/|xx02x0，又切线过A(x0,y0)、P(3,5)点，所以有y05x03x01x05y1或y250，由联立方程组得，0，即切点为（1，1）时，切线斜率为k12x02;；当切点为（5，25）时，切线斜率为k22x010；所以所求的切线有两条，方程分即y2x1或y10x25别为y12(x1)或y2510(x5)，题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值32f(x)xaxbxc,过曲线yf(x)上的点P(1,f(1)的切线方程为y=3x+11已知函数第11页共61页（）若函数f(x)在x2处有极值，求f(x)的表达式；（）在（）的条件下，求函数yf(x)在3，1上的最大值；（）若函数yf(x)在区间2，1上单调递增，求实数b的取值范围322f(x)xaxbxc,求导数得f(x)3x2axb.解：（1）由过yf(x)上点P(1,f(1)的切线方程为：yf(1)f(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).的切线方程为y3x1.而过yf(x)上P1,f(1)32ab3故ac32ab0即ac3yf(x)在x2时有极值,故f(2)0,4ab1232f(x)x2x4x5.由得a=2，b=4，c=52（2）f(x)3x4x4(3x2)(x2).23x2时,f(x)0;当2x时,f(x)0;3当2当x1时,f(x)0.f(x)极大f(2)133又f(1)4,f(x)在3，1上最大值是13。2f(x)3x2axb,由知2a+b=0。（3）y=f(x)在2，1上单调递增，又2依题意f(x)在2，1上恒有f(x)0，即3xbxb0.x当b1时,f(x)minf(1)3bb0,b66；b2时,f(x)minf(2)122bb0,b6；x当612bb221时,f(x)min0,则0b6.b12当综上所述，参数b的取值范围是0,)322已知三次函数f(x)xaxbxc在x1和x1时取极值，且f(2)4第12页共61页(1)求函数yf(x)的表达式；(2)求函数yf(x,p:h:16.69,w:7.131,x:243（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点解：（1）f(x)3x2(ab)xab.由题意f(2)5,f(1)0，代入上式，解之得：a=1，b=12令f(x)0得方程3x2(a1)xa0.（2）当b=1时，224(aa1)0,故方程有两个不同实根x1,x2因xxf(x)3(xx)(xx)f(x)的符号如下：2，由12可判断不妨设1xx时，xxx时，xx时，f(x)f(x)f(x)1122当；当；当因此x1是极大值点，x2是极小值点，当b=1时，不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点。题型四：利用导数研究函数的图象/f1如右图：是f（x）的导函数，(x)的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（D）（A）（B）（C）（D）2函数642-4-2y642-4-2y642x-4-2y642y24-2-4xo24-2-4xyy13x4x1的图像为3(A)o24-2-4xo24-2-4323方程2x6x70在(0,2)内根的个数为(B)A、0B、1C、2D、3题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围第14页共61页1f(x)x32ax23a2xb,0a1.31设函数（1）求函数f(x)的单调区间、极值.（2）若当xa1,a2时，恒有|f(x)|a，试确定a的取值范围.22xa,x23af(x)x4ax3a解：（1）=(x3a)(xa)，令f(x)0得1列表如下：x（-，a）a（a，3a）3a+0极大（3a，+）-f(x)f(x)-0极小f(x)在（a，3a）上单调递增，在（-，a）和（3a，+）上单调递减4f极小(x)ba33，x3a时，f极小(x)bxa时，22f(x)x4ax3a（2）0a1，对称轴x2aa1，f(x)在a+1，a+2上单调递减(a1)24a(a1)3a22a1fmin(a2)24a(a2)3a24a4fMax，|a|f|a，|fmin依题|f(x)|aMax即|2a1|a,|4a4|a44a1,1)解得5，又0a1a的取值范围是522已知函数f（x）x3ax2bxc在x3与x1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。解：（1）f（x）x3ax2bxc，f（x）3x22axb由f（21241ab03）93，f（1）32ab0得a2，b2f（x）3x2x2（3x2）（x1），函数f（x）的单调区间如下表：第15页共61页x22（，3）302（3，1）1（1，）f（x）f（x）0极大值极小值22所以函数f（x）的递增区间是（，3）与（1，），递减区间是（3，1）1222（2）f（x）x32x22xc，x1，2，当x3时，f（x）27c为极大值，而f（2）2c，则f（2）2c为最大值。要使f（x）c2（x1，2）恒成立，只需c2f（2）2c，解得c1或c2题型六：利用导数研究方程的根131已知平面向量a=(3,1).b=(2,2).（1）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t23)b，y=-ka+tb，xy，试求函数关系式k=f(t)；(2)据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)k=0的解的情况.yxy解：(1)x，=0即a+(t2-3)b(-ka+tb)=0.22整理后得-ka+t-k(t2-3)ab+(t2-3)b=0122ab=0，a=4，b=1，上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=4t(t2-3)11(2)讨论方程4t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=4t(t2-3)与直线y=k的交点个数.33于是f(t)=4(t2-1)=4(t+1)(t-1).令f(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f(t)、f(t)的变化情况如下表：tf(t)F(t)(-,-1)+-10极大值(-1,1)-10极小值(1,+)+1当t=1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2.第16页共61页1当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=21函数f(t)=4t(t2-3)的图象如图1321所示，可观察出：11(1)当k2或k2时,方程f(t)k=0有且只有一解；11(2)当k=2或k=2时,方程f(t)k=0有两解；11(3)当2k2时,方程f(t)k=0有三解.题型七：导数与不等式的综合3a0,函数f(x)xax在1,)上是单调函数.1设（1）求实数a的取值范围；（2）设x01，f(x)1，且f(f(x0)x0，求证：f(x0)x0.22f(x)1,yf(x)3xa,y0,即a3x,这解：（1）若在上是单调递减函数，则须样的实数a不存在.故f(x)在1,上不可能是单调递减函数.2若f(x)在1,上是单调递增函数，则a3x，2x1,故3x3.从而03f(x)(x2)(xa)22已知a为实数，函数（1）若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围（2）若f(1)0，（）求函数f(x)的单调区间（）证明对任意的x1、x2(1,0)，不等式|f(x1)f(x2)|516恒成立f(x)x3ax2解：333xaf(x)3x22ax22，2函数f(x)的图象有与x轴平行的切线，f(x)0有实数解4a24339330a2（，22，）22，所以a的取值范围是22，399310af(x)3x2x3(x)(x1)24，222，11f(x)0,1x2；由2f(1)0，32a由f(x)0,x1或x11(,1),(,)(1,)f(x)的单调递增区间是22；单调减区间为f(1)2514927f()f(0)8，f(x)的极小值为216，又82749m8，最小值162749581616易知f(x)的最大值为f(x)在1，0上的最大值M对任意x1,x2(1,0)，恒有|f(x1)f(x2)|Mm题型八：导数在实际中的应用1请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为xm，则1x4第18页共61页由题设可得正六棱锥底面边长为：32(x1)282xx2，（单位：m）6故底面正六边形的面积为：333(82xx2)22282xx)=24，（单位：m）帐篷的体积为：V（x）1333(1612xx3)(82xx2)(x1)13322（单位：m）V（x）求导得3(123x2)2。（x）0，解得x2（不合题意，舍去）令V，x2，（x）0，V（x）当1x2时，V为增函数；（x）0，V（x）当2x4时，V为减函数。当x2时，V（x）最大。3答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为163m。2统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/y小时）的函数解析式可以表示为：13x3x8(0x120).12800080已知甲、乙两地相距100千米。（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？1002.5x40解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了40小时，13(403408)2.517.580要耗没128000（升）。100（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了x小时，设耗油量为h(x)升，131001280015h(x)(x3x8).x(0x120),12800080x1280x4依题意得x800x3803h(x)2(0x120).2640x640x第19页共61页令h(x)0,得x80.当x(0,80)时，h(x)0,h(x)是减函数；当x(80,120)时，h(x)0,h(x)是增函数。当x80时，h(x)取到极小值h(80)11.25.因为h(x)在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。题型九：导数与向量的结合3113a(，),b(，).2222若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使1设平面向量xa(t2k)b,ysatb,且xy，（1）求函数关系式Sf(t)；，上是单调函数，求k的取值范围。（2）若函数Sf(t)在1a(解：（1）3113,),b(,).ab1，ab02222又xy,xy0，得2ab0，（tk）（satb）2222即sa（ttk）b-（tstsk）ab0。s（t2k）t0，故s（ft）t3kt。（2）f（t）3t2k且f（t）在1，上是单调函数，0则在1,上有f(t)0或f（t）222f(t)03tk0k3tk(3t)mink3；由22f(t)03tk0k3t由。因为在t1,上3t是增函数，所以不存在k，使k3t在1,上恒成立。故k的取值范22围是k3。第20页共61页导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。32f(x)x3x2在区间1,1上的最大值是2122已知函数yf(x)x(xc)在x2处有极大值，则常数c6；33函数y13xx有极小值1,极大值3题型二：利用导数几何意义求切线方程31,3处的切线方程是yx2y4xx1曲线在点42若曲线f(x)xx在P点处的切线平行于直线3xy0，则P点的坐标为（1，0）4yx3若曲线的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为4xy304求下列直线的方程：322（1）曲线yxx1在P(-1,1)处的切线；（2）曲线yx过点P(3,5)的切线；解：（1）点P(1,1)在曲线yx3x21上，y/3x22xky/|x1321即xy20所以切线方程为y1x1，2/（2）显然点P