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《复变函数论》试题库

《复变函数》考试试题（一）
一、 判断题（20分）：
1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( )
2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )
3.若收敛，则与都收敛. ( )
4.若f(z)在区域D内解析，且，则（常数）. ( )
5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )
6.若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点. ( )
7.若存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( )
8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则. ( )
9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C.
( )

10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数.（ ）
二.填空题（20分）
1、 __________.（为自然数）
2. _________.
3.函数的周期为___________.
4.设，则的孤立奇点有__________.
5.幂级数的收敛半径为__________.
6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.
7.若，则______________.
8.________，其中n为自然数.
9. 的孤立奇点为________ .
10.若是的极点，则.
三.计算题（40分）：
1. 设，求在内的罗朗展式.
2.
3. 设，其中，试求
4. 求复数的实部与虚部.
四. 证明题.(20分)
1. 函数在区域内解析. 证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.
2. 试证: 在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在的值.

《复变函数》考试试题（二）
一. 判断题.（20分）
1. 若函数在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.
( )
2. cos z与sin z在复平面内有界. ( )
3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( )
4. 有界整函数必为常数. ( )
5. 如z0是函数f(z)的本性奇点，则一定不存在. ( )
6. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( )
7. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C.
( )
8. 若数列收敛，则与都收敛. ( )
9. 若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析. ( )
10. 存在一个在零点解析的函数f(z)使且. ( )
二. 填空题. (20分)
1. 设，则
2.设，则________.
3. _________.（为自然数）
4. 幂级数的收敛半径为__________ .
5. 若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是的_____零点.
6. 函数ez的周期为__________.
7. 方程在单位圆内的零点个数为________.
8. 设，则的孤立奇点有_________.
9. 函数的不解析点之集为________.
10. .
三. 计算题. (40分)
1. 求函数的幂级数展开式.
2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.
3. 计算积分：，积分路径为（1）单位圆（）的右半圆.
4. 求 .
四. 证明题. (20分)
1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析.
2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.

《复变函数》考试试题（三）
一. 判断题. (20分).
1. cos z与sin z的周期均为. ( )
2. 若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f(z)在z0解析. ( )
3. 若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续. ( )
4. 若数列收敛，则与都收敛. ( )
5. 若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D内为常数. ( )
6. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导. ( )
7. 如果函数f(z)在上解析,且,则
. （ ）
8. 若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )
9. 若z0是的m阶零点, 则z0是1/的m阶极点. ( )
10. 若是的可去奇点，则. ( )
二. 填空题. (20分)
1. 设，则f(z)的定义域为___________.
2. 函数ez的周期为_________.
3. 若，则__________.
4. ___________.
5. _________.（为自然数）
6. 幂级数的收敛半径为__________.
7. 设，则f(z)的孤立奇点有__________.
8. 设，则.
9. 若是的极点，则.
10. .
三. 计算题. (40分)
1. 将函数在圆环域内展为Laurent级数.
2. 试求幂级数的收敛半径.
3. 算下列积分：，其中是.
4. 求在|z|<1内根的个数.
四. 证明题. (20分)
1. 函数在区域内解析. 证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.
2. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当时
，
证明是一个至多n次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题（四）
一. 判断题. (20分)
1. 若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件. （ ）
2. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. （ ）
3. 函数与在整个复平面内有界. （ ）
4. 若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有.
（ ）
5. 若存在且有限，则z0是函数的可去奇点. （ ）
6. 若函数f(z)在区域D内解析且，则f(z)在D内恒为常数. （ ）
7. 如果z0是f(z)的本性奇点，则一定不存在. （ ）
8. 若，则为的n阶零点. （ ）
9. 若与在内解析，且在内一小弧段上相等，则. （ ）
10. 若在内解析，则
. （ ）
二. 填空题. (20分)
1. 设，则.
2. 若，则______________.
3. 函数ez的周期为__________.
4. 函数的幂级数展开式为__________
5. 若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.
6. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________.
7. 设，则.
8. 的孤立奇点为________.
9. 若是的极点，则.
10. _____________.
三. 计算题. (40分)
1. 解方程.

2. 设，求
3. .
4. 函数有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.
四. 证明题. (20分)
1. 证明：若函数在上半平面解析，则函数在下半平面解析.
2. 证明方程在内仅有3个根.

《复变函数》考试试题（五）
一. 判断题.（20分）
1. 若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数. （ ）
2. 若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数. （ ）
3. 若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析. （ ）
4. 若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析. （ ）
5. 若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析. （ ）
6. 若存在且有限，则z0是f(z)的可去奇点. （ ）
7. 若函数f(z)在z0可导，则它在该点解析. （ ）
8. 设函数在复平面上解析，若它有界，则必为常数. （ ）
9. 若是的一级极点，则
. （ ）
10. 若与在内解析，且在内一小弧段上相等，则. （ ）
二. 填空题.（20分）
1. 设，则.
2. 当时，为实数.
3. 设，则.
4. 的周期为___.
5. 设，则.
6. .
7. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。
8. 函数的幂级数展开式为_________.
9. 的孤立奇点为________.
10. 设C是以为a心，r为半径的圆周，则.（为自然数）
三. 计算题. (40分)
1. 求复数的实部与虚部.
2. 计算积分：
，
在这里L表示连接原点到的直线段.
3. 求积分：，其中0<a<1.
4. 应用儒歇定理求方程，在|z|<1内根的个数，在这里在上解析，并且.
四. 证明题. (20分)
1. 证明函数除去在外，处处不可微.
2. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R及M，使得当时
，
证明:是一个至多n次的多项式或一常数.

《复变函数》考试试题（一）参考答案
一． 判断题
1．×2．√　３．√　４．√　５．√ 　6．√　７．×８．×９．×10．×
二．填空题
1. ； 2. 1； 3. ，； 4. ； 5. 1
6. 整函数； 7. ； 8. ； 9. 0； 10. .
三．计算题.
1. 解 因为 所以
.
2. 解 因为
,
.
所以.
3. 解 令, 则它在平面解析, 由柯西公式有在内,
.
所以.
4. 解 令, 则
.
故 , .
四. 证明题.
1. 证明 设在内.
令.
两边分别对求偏导数, 得
因为函数在内解析, 所以. 代入 (2) 则上述方程组变为
. 消去得, .
1) 若, 则 为常数.
2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .
所以. (为常数).
所以为常数.
2. 证明的支点为. 于是割去线段的平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.
由于当从支割线上岸一点出发,连续变动到 时, 只有的幅角增加. 所以
的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在的幅角为, 故.

《复变函数》考试试题（二）参考答案
一. 判断题.
1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×.
二. 填空题
1.1，， ； 2. ； 3. ； 4. 1； 5. .
6. ，. 7. 0； 8. ； 9. ； 10. 0.
三. 计算题
1. 解 .
2. 解 令.
则.
又因为在正实轴去正实值，所以.
所以.
3. 单位圆的右半圆周为, .
所以.
4. 解
=0.
四. 证明题.
1. 证明 (必要性) 令,则. (为实常数).
令. 则.
即满足, 且连续, 故在内解析.
(充分性) 令, 则 ,
因为与在内解析, 所以
, 且.
比较等式两边得 . 从而在内均为常数,故在内为常数.
2. 即要证“任一 次方程 有且只有 个根”.
证明 令, 取, 当在上时, 有 .
.
由儒歇定理知在圆 内, 方程 与 有相
同个数的根. 而 在 内有一个 重根 . 因此次方程在 内有 个根.

《复变函数》考试试题（三）参考答案

一. 判断题
1．× ２．×３．√ ４．√ ５．√6．√７． √ ８．√ ９．√ 10．√.
二.填空题.
1.; 2. ; 3. ; 4. 1; 5. ;
6. 1; 7. ; 8. ; 9. ; 10. .
三. 计算题.
1. 解 .
2. 解 .
所以收敛半径为.
3. 解 令 , 则 .
故原式.
4. 解 令 , .
则在 上均解析, 且, 故由儒歇定理有
. 即在 内, 方程只有一个根.
四. 证明题.
1. 证明 证明 设在内.
令.
两边分别对求偏导数, 得
因为函数在内解析, 所以. 代入 (2) 则上述方程组变为
. 消去得, .
1) , 则 为常数.
2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .
所以. (为常数).
所以为常数.

2. 证明 取 , 则对一切正整数 时, .
于是由的任意性知对一切均有.
故, 即是一个至多次多项式或常数.

《复变函数》考试试题（四）参考答案
一. 判断题.
1．√ ２．× ３．× ４．×　５．×　6．√ ７．×８．× ９．√10．√ .
二. 填空题.
1. , ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. 整函数;
6. 亚纯函数; 7. 0; 8. ; 9. ; 10. .
三. 计算题.
1.

2. 解 , .
故原式.
3. 解 原式.
4. 解 =，令，得，
而
为可去奇点

当时，
而 为一阶极点.
四. 证明题.
1. 证明 设, 在下半平面内任取一点, 是下半平面内异于的点, 考虑
.
而, 在上半平面内, 已知在上半平面解析, 因此, 从而在下半平面内解析.
2. 证明 令, , 则与在全平面解析,
且在上, ,
故在内.
在上, ,
故在内.
所以在内仅有三个零点, 即原方程在内仅有三个根.

《复变函数》考试试题（五）参考答案

一. 判断题.
1．√２．√ ３．×４．√５．× 6．× ７．× ８．√ ９．√ 10．√.
二. 填空题.
1.2, , ; 2. ;
3. , ; 4. ; 5. 0; 6. 0;
7. 亚纯函数; 8. ; 9. 0; 10. .
三. 计算题.
1. 解 令, 则
.
故 , .
2. 解 连接原点及的直线段的参数方程为 ,
故.
3. 令, 则. 当时
,
故, 且在圆内只以为一级极点, 在上无奇点, 故, 由残数定理有
.
4. 解 令 则在内解析, 且在上, ,
所以在内, , 即原方程在 内只有一个根.
四. 证明题.
1. 证明 因为, 故.
这四个偏导数在平面上处处连续, 但只在处满足条件, 故只在除了外处处不可微.
2. 证明 取 , 则对一切正整数 时, .
于是由的任意性知对一切均有.
故, 即是一个至多次多项式或常数.