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第1 2卷 第2期2023年6月数学建模及其应用M a t h e m a t i c a l M o d e l i n g a n d I t s A p p l i c a t i o n sV o l.1 2 N o.2J u n.2 0 2 3历史与经典概率统计由线性到非线性的发展陈增敬1,冯新伟2(1.山东大学 数学学院,山东 济南 2 5 0 1 0 0;2.山东大学 中泰证券金融研究院,山东 济南 2 5 0 1 0 0)摘 要:概率统计是研究不确定现象的数学学科,它的本质就是从不确定现象中找确定的统计规律.三百多年以来,概率统计不仅推动了数学由确定性数学到随机数学的发展,也为经济、金融、物理、化学和生物等学科的发展提供了有效的计量工具和方法.随着大数据、人工智能和经济金融的飞速发展,现代概率统计已不能满足经济和科技发展的需要,发展和创新概率统计,为大数据、人工智能和经济金融提供理论基础和计算方法已是数学家攻克的重点热点问题.为了满足概率统计爱好者的需要,本文简单地介绍了概率统计发展的过程、对科学发展的作用、面临的问题和目前正在开展的新的研究方向,从另一个侧面介绍一下概率统计前世与后生.关键词:概率论;极限定理;金融革命;非线性期望;非线性正态分布中图分类号:O 2 9 文献标志码:A 文章编号:2 0 9 5-3 0 7 0(2 0 2 3)0 2-0 1 2 5-1 0 D O I:1 0.1 9 9 4 3/j.2 0 9 5-3 0 7 0.j mm i a.2 0 2 3.0 2.1 3收稿日期:2 0 2 3-0 4-0 2 通讯作者:陈增敬,E-m a i l:z j c h e n s d u.e d u.c n引用格式:陈增敬,冯新伟.概率统计由线性到非线性的发展J.数学建模及其应用,2 0 2 3,1 2(2):1 2 5-1 3 4.CHE N Z J,F E N G X W.T h e d e v e l o p m e n t o f p r o b a b i l i t y a n d s t a t i s t i c s f r o m l i n e a r t o n o n l i n e a r c a s e(i n C h i n e s e)J.M a t h e m a t i c a l M o d e l i n g a n d I t s A p p l i c a t i o n s,2 0 2 3,1 2(2):1 2 5-1 3 4.1 概率统计产生的萌芽概率统计作为数学的一个分支创立至今已有3 0 0多年的历史了,概率史界通常认为概率论起源于掷骰子.早在公元前1 2 0 0年,就已经有骰子被用于赌博之类的机会性游戏中的记录,由于受到尚未完善的数学符号的影响,人们只是将掷骰子可能出现的结果罗列了出来.后来随着数学理论的发展以及经济市场对保险业的大量的需求促进了概率统计的快速发展.其中,大数学家P a s c a l和F e r m a t在1 6 5 4年的通信中首先讨论了赌博中的点数问题,通过把赌博问题转化为数学问题,利用排列组合给出图1 赌徒分资示意图了正确的答案,这标志着概率论的诞生.著名 物 理 学 家H u y g e n s 1 6 5 7年 的 论 文 论 赌 博 中 的 计 算(O n R e c k o n i n g a t G a m e s o f C h a n c e)被学界认为是第一篇概率论文.他在该文中研究了分配赌资问题:甲乙两个赌徒约定谁先赢满3局,谁就获得全部赌本,如果游戏的规则是完全公平的,且在甲赢得两局乙赢得一局后赌博因故中止,应如何分配赌本?H u y g e n s不是简单的将赌本退回赌徒,而是按赢得整局赌博的比例来分赌本的思想,给出了如图1所示的公平的分配赌资的办法.521历史与经典概率统计由线性到非线性的发展2 0 2 3年6月赌徒分得赌本的比例应该等于其获胜概率,因此解决该问题的关键是确定离获得胜利所需的局数,即需要考虑剩下两局的比赛结果.更一般的分赌本问题如下:甲、乙两人按照某种方式下注,规定先胜t局者赢得所有赌注N,但进行到甲胜r局,乙胜s局(rt,s 0,部分和Sn=ni=1i满足l i mn P(|Snn-p|)=1.B e r n o u l l i大数定律不仅揭示了概率与频率之间的关系,也诠释了不确定隐含确定的哲学思想.B e r n o u l l i大数定律只是说明了频率与概率之间的误差可以任意少,但是,到底误差有多少?数学家D e M o i v r e在1 7 3 3年研究了其误差,并证明了极限分布是正态分布,即我们所称的D e M o i v r e和L a p l a c e二项分布的中心极限定理:定理2(D e M o i v r e-L a p l a c e中心极限定理)设(x)为标准正态分布的分布函数,n是n次B e r n o u l l i试验中事件A出现的次数,而p是事件A在每次试验中出现的概率,对-x0),g-期望不再适用.彭实戈院士1 4跳出概率空间框架,直接建立了非线性期望空间理论,并引入了更一般的非线性期望 G-期望.定义1(次线性期望)给定可测空间(,F),H是定义在(,H)上由实值函数构成的线性空间.若泛函E:HR满足下列4个条件:1)单调性:若XY,则 E(X)E(Y);2)保常数性:E(c)=c,cR;3)次可加性:E(X+Y)E(X)+E(Y),X,YH,其中,E(X)+E(Y)有意义;4)正齐次性:E(X)=E(X),0.则称E是次线性期望.三元组(,H,E)称为次线性期望空间.若只满足1)和2),E称为非线性期望,(,H,E)称为非线性期望空间.在非线性期望框架下,从基本假设出发,同样可以给出随机变量分布、独立性、相关性、平稳性、M a r k o v过程等概念.同时,非线性布朗运动及相应的随机分析是经典随机分析理论的实质性推广.此外,非线性期望下极限定理仍然成立,但不同于经典概率论的是:非线性大数定律的极限会落入一个区间,而非线性中心极限定理中的极限分布不再是从概率诞生至今一直占据主导地位的正态分布.彭实戈院士在文献1 5 中给出了如下形式的极限定理:定理8 设(Xi,Yi)i=1为(,H,E)中的R2d-值的独立同分布的随机变量序列.我们还假设E Y1 =E-Y1 =0,l i mc E(|X1|-c)+=0,l i mc EY12-c +=0.031第1 2卷 第2期数学建模及其应用V o l.1 2 N o.2 J u n.2 0 2 3记S-n:=ni=1Xin+Yin ,则随机向量序列S-n n=1依分布收敛:l i mn ES-n =E(+),CL i pRd ,其中,随机变量对(,)为G-正态分布随机向量且相应的次线性函数G:RdS(d)?R由下式给出:G(p,A):=E+12 ,pRd,AS(d).D e M o i v r e(1 7 3 3)在研究二项分布的极限分布时最早发现了正态分布的存在,后来G a u s s(1 8 0 1)在研究误差分布时也发现了误差服从正态分布.正态分布的发现与证明吸引了一大批数学家(例如L a p l a c e、K o l m o g o r o v等)参与正态分布的普世性研究,即,自然界在什么条件下会存在着正态分布?最后,最为普世的研究结果是独立同分(I I D)一定会产生正态分布,有很多反例说明:违反了独立或同分布就会产生非正态分布.当然,也有很多反例说明:违反了独立或同分布依然会产生的正态分布,例如,鞅的中心极限定理.K o l m o g o r o v建立的概率公理体系是假定概率空间(,F,P)中的概率测度P是已知的.然而,在经济市场的上,随机变量是客观存在的,但是度量不确定的概率测度P未必是确定的.著名的E l l s b e r g 悖论7说明了随机变量是存在的,但是,人们不可能找的一个概率测度P来度量给定的随机变量.这个例子说明了,在概率论的实际应用中,人们对概率测度会产生模糊,不知道该用哪个测度才能更好地度量不确定.这就是经济界常说的“Am b i g u i t y”,即经济市场既有市场本身的不确定,也有人们由于认识能力不足而带来的不确定.从经济市场发展的规律看K o l m o g o r o v建立的概率公理体系,经济学家发现:K o l m o g o r o v建立的概率公理体系可以量化经济市场发展的内在规律,而无法精确地刻画人们的行为对市场发展规律的外在影响.因此,研究用不同的价值观(概率测度)来刻画经济市场的规律的新学科 行为经济学,应运而生.可以说:自D e M o i v r e(1 7 3 3)和G a u s s(1 8 0 1)在单一的概率测度下,发现和证明了(线性)正态分布二百多年来,研究多个概率测度(Am b i g u i t y)下的非线性正态分布显式表达式是行为经济学学派的一个重要的热点和难点问题.陈增敬和E p s t e i n1 6建立了一族概率测度下具有均值不确定性的中心极限定理,在随机变量序列的条件方差不变,条件均值限制在一固定区间-,-中变化的假设下,证明了其极限分布为一类方差不变型非线性正态分布,其密度函数如下:f(z)=12 e-z2+2k|z|+k22+ke-2k|z|(-|z|+k),当且仅当k=0时,上述密度函数退化成经典正态分布的密度函数(图4).图4 文献3 中非线性正态分布密度函数图像(彩图见封三)131历史与经典概率统计由线性到非线性的发展2 0 2 3年6月 定理9(C h e n-E p s t e i n,2 0 2 2)令(,G)为一可测空间,P为(,G)上的一族概率测度,Xi 为其上的一列实值随机变量序列,并且满足e s s s u pQP EQXi|Gi-1=-,e s s i n fQP EQXi|Gi-1=-,i1,EQXi-EQXi|Gi-1 2=20,QP,i1.假设P是矩形的且Xi 满足L i n d e b e r g条件l i mn1nni=1E|Xi|2I|Xi|n=0,0.则对所有的C(-,),l i mn s u pQP EQ1nni=1Xi+1nni=11Xi-EQXiGi-1 =E-,-B1 ,等价地,l i mni n fQP EQ1nni=1Xi+1nni=11Xi-EQXiGi-1 =-,-(B1),其中,E-,-(B1)Y0,Yt,Zt 是如下倒向随机微分方程的解Yt=(B1)+1tm a x-(Zs)ds-1tZsdBs,0t1,-,-(B1)y0,(yt,zt)是如下倒向随机微分方程的解yt=(B1)+1tm i n-(zs)ds-1tzsdBs,0t1.这里(Bt)是定义在*,F*,P*上的标准布朗运动.陈增敬及合作者1 7研究了一族概率测度下具有方差不确定性的中心极限定理,在随机变量序列的条件均值不变,条件方差限制在一区间-2,-2 中变化的假设下,证明了其极限分布为一类均值不变型非线性正态分布,具有如下形式的显式概率密度函数(图5):q(y)=q*(y,)2+,y0,q*(y,)2+,y0,其中,q*(y,)=12 e x p-y 2/2 是正态分布N(0,2)的密度函数.特别地,当-=-时,该非线性正态分布退化为正态分布.值得指出的是,这两种非线性正态分布在多臂机器人和量子计算的研究中也有非常重要的作用.图5 文献1 7 中非线性正态分布密度函数图231第1 2卷 第2期数学建模及其应用V o l.1 2 N o.2 J u n.2 0 2 3定理1 0(C h e n-E p s t e i n-Z h a n g,2 0 2 3)令(i,Gi)为一族可测空间,G=(i=1Gi).令Xi:i=1i R为Gi-可测,P为(i=1i,G)上的一族概率测度,H为(i=1i,G)上满足s u pQPEQ|X|0和o-n=0,0.令=-.对所有的cR,1C3b(R+),且1(0)=0,定义(x)=1(x-c),xc,-11(-(x-c),xc.如果x0时1(x)0,那么l i mn s u pQP EQni=1Xi /n =EP*(Wc1).8 结语概率论起源于赌博和保险问题.经过3 0 0多年的发展,概率统计的方法已经被广泛应用于自然科学、经济学、医学及金融保险等科学,特别是引起了华尔街的两次金融革命.当今信息时代产生了海量数据,不确定性日益加剧,而金融危机后面临的第三次金融革命,都表明经典概率统计已不能满足现代金融发展的需求,亟需概率统计的发展和新的理论.参考文献1G a u s s C.T h e o r y o f t h e m o t i o n o f t h e h e a v e n l y b o d i e s m o v i n g a b o u t t h e s u n i n c o n i c s e c t i o n sM.S t i r l i n g,G e o r g i a:F r a n k l i n C l a s s i c s T r a d e P r e s s,1 9 5 7.2K o l m o g o r o v A N.F o u n d a t i o n s o f t h e t h e o r y o f p r o b a b i l i t yM.O x f o r d:C h e l s e a P u b l i s h i n g,1 9 5 6.3K e y n e s J.A t r e a t i s e o n p r o b a b i l i t yJ.J o r u n a l o f t h e I n s t i t u t e o f A c t r a r i e s(1 8 8 6-1 9 9 4),1 9 2 2,5 3(1):7 8-8 3.4M a r k o w i t z H.P o r t f o l i o s e l e c t i o nJ.T h e J o u r n a l o f F i n a n c e,1 9 5 2,7(1):7 7-9 1.5B l a c k F,S c h o l e s M S.T h e p r i c i n g o f o p t i o n s a n d c o r p o r a t e l i a b i l i t i e sJ.J o u r n a l o f P o l i t i c a l E c o n o m y,1 9 7 3,8 1:6 3 7-6 5 4.6A l l a i s M.L e C o m p o r t e m e n t d e l H o mm e R a t i o n n e l d e v a n t l e R i s q u e:C r i t i q u e d e s P o s t u l a t s e t A x i o m e s d e l E c o l e Am e r i c a i n eJ.E c o n o m e t r i c a,1 9 5 3,2 1:5 0 3-5 4 6.7E l l s b e r g D.R i s k,Am b i g u i t y,a n d t h e s a v a g e a x i o m sJ.Q u a r t e r l y J o u r n a l o f E c o n o m i c s,1 9 6 1,7 5:6 4 3-6 6 9.8M e h r a R,P r e s c o t t E C.T h e e q u i t y p r e m i u m a p u z z l eJ.J o u r n a l o f M o n e t a r y E c o n o m i c s,1 9 8 5,1 5:1 4 5-1 6 1.9K a h n e m a n D,T v e r s k y A.P r o s p e c t t h e o r y:a n a n a l y s i s o f d e c i s i o n u n d e r r i s kJ.E c o n o m e t r i c a,1 9 7 9,4 7(2):2 6 3-2 9 2.1 0S c h m e i d l e r D.S u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y a n d e x p e c t e d u t i l i t y w i t h o u t a d d i t i v i t yJ.E c o n o m e t r i c a,1 9 8 9,5 7(3):5 7 1-5 8 7.331历史与经典概率统计由线性到非线性的发展2 0 2 3年6月1 1G i l b o a I,S c h m e i d l e r D.M a x m i n e x p e c t e d u t i l i t y w i t h n o n-u n i q u e p r i o rJ.J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l E c o n o m i c s,1 9 8 9,1 8(2):1 4 1-1 5 3.1 2C h o q u e t G.T h e o r y o f c a p a c i t i e sJ.A n n a l e s d e l I n s t i t u t F o u r i e r,1 9 5 4,5:1 3 1-2 9 5.1 3P e n g S.B a c k w a r d S D E a n d r e l a t e d g-e x p e c t a t i o n sJ.B a c k w a r d S t o c h a s t i c D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s,1 9 9 7:1 4 1-1 5 9.1 4P e n g S.F i l t r a t i o n c o n s i s t e n t n o n l i n e a r e x p e c t a t i o n s a n d e v a l u a t i o n s o f c o n t i n g e n t c l a i m sJ.A c t a M a t h e m a t i c a e A p p l i c a t a e S i n i c a,E n g l i s h S e r i e s,2 0 0 4,2 0:1 9 1-2 1 4.1 5P e n g S.N o n l i n e a r e x p e c t a t i o n s a n d s t o c h a s t i c c a l c u l u s u n d e r u n c e r t a i n t y:w i t h r o b u s t C L T a n d G-B r o w n i a n m o t i o nM.B e r l i n:S p r i n g e r,2 0 1 9.1 6C h e n Z,E p s t e i n L G.A c e n t r a l l i m i t t h e o r e m f o r s e t s o f p r o b a b i l i t y m e a s u r e sJ.S t o c h a s t i c P r o c e s s e s a n d t h e i r A p p l i c a t i o n s,2 0 2 2,1 5 2:4 2 4-4 5 1.1 7C h e n Z,E p s t e i n L G,Z h a n g G.A c e n t r a l l i m i t t h e o r e m,l o s s a v e r s i o n a n d m u l t i-a r m e d b a n d i t sJ.J o u r n a l o f E c o n o m i c T h e o r y,2 0 2 3,2 0 9:3 5.T h e D e v e l o p m e n t o f P r o b a b i l i t y a n d S t a t i s t i c s f r o m L i n e a r t o N o n l i n e a r C a s eCHE N Z e n g j i n g1,F E NG X i n w e i2(1.S c h o o l o f M a t h e m a t i c s,S h a n d o n g U n i v e r s i t y,J i n a n,S h a n d o n g 2 5 0 1 0 0,C h i n a;2.Z h o n g t a i S e c u r i t i e s I n s t i t u t e f o r F i n a n c i a l S t u d i e s,S h a n d o n g U n i v e r s i t y,J i n a n,S h a n d o n g 2 5 0 1 0 0,C h i n a)A b s t r a c t:P r o b a b i l i t y a n d s t a t i s t i c s a r e m a t h e m a t i c a l s u b j e c t s t h a t s t u d y u n c e r t a i n p h e n o m e n a,a n d t h e e s s e n c e i s t o f i n d t h e s t a t i s t i c a l l a w s f r o m u n c e r t a i n p h e n o m e n a.F o r m o r e t h a n 3 0 0 y e a r s,p r o b a b i l i t y a n d s t a t i s t i c s n o t o n l y p r o m o t e t h e d e v e l o p m e n t o f m a t h e m a t i c s f r o m d e t e r m i n i s t i c t o s t o c h a s t i c m a t h e m a t i c s,b u t a l s o p r o v i d e e f f e c t i v e t o o l s a n d m e t h o d s f o r t h e d e v e l o p m e n t o f e c o n o m i c s,f i n a n c e,p h y s i c s,c h e m i s t r y,b i o l o g y a n d o t h e r d i s c i p l i n e s.W i t h t h e r a p i d d e v e l o p m e n t o f b i g d a t a,a r t i f i c i a l i n t e l l i g e n c e,e c o n o m y a n d f i n a n c e,c l a s s i c a l p r o b a b i l i t y a n d s t a t i s t i c s c a n n o l o n g e r m e e t t h e n e e d s o f e c o n o m i c a n d t e c h n o l o g i c a l d e v e l o p m e n t.T h e r e f o r e,i n n o v a t i n g p r o b a b i l i t y a n d s t a t i s t i c s t o p r o v i d e t h e o r e t i c a l b a s i s f o r b i g d a t a,a r t i f i c i a l i n t e l l i g e n c e,e c o n o m y a n d f i n a n c e h a s b e c o m e a k e y i s s u e f o r m a t h e m a t i c s.I n t h i s p a p e r,w e b r i e f l y i n t r o d u c e t h e d e v e l o p m e n t o f c l a s s i c a l p r o b a b i l i t y a n d s t a t i s t i c s,t h e r o l e s i n s c i e n t i f i c d e v e l o p m e n t,t h e p r o b l e m s t h a t w e f a c e a n d t h e f u t u r e r e s e a r c h d i r e c t i o n s.K e y w o r d s:p r o b a b i l i t y t h e o r y;l i m i t t h e o r e m s;f i n a n c i a l r e v o l u t i o n;n o n l i n e a r e x p e c t a t i o n;n o n l i n e a r n o r m a l d i s t r i b u t i o n作者简介陈增敬(1 9 6 1-),男,教授,中国工业与应用数学学会金融数学与工程和精算保险专业委员会主任、中国数学会理事,主要研究方向为金融数学、计量经济学、概率统计及倒向随机微分方程.冯新伟(1 9 8 7-),男,教授,主要研究方向为倒向随机微分方程、随机最优控制及自正则化极限理论.431