椭圆导学案(附答案).doc

宁乡一中学科导学案（数学●选修2-1）圆锥曲线
课题：曲线与方程
撰写人：王铁明 审稿人：唐新阳
【学习目标】
一、课程标准
1．使学生了解曲线的点集与方程的解集之间的关系，理解“曲线的方程”与“方程的曲线”这两个概念．
2．使学生掌握证明已知曲线C的方程是f(x,y)=0的方法和步骤．
3．通过曲线和方程概念的知识形成过程，培养学生推理能力、数学交流能力、探索能力，渗透“数形结合”的思想方法，提高学生的逻辑思维能力．
二、重点难点
教学重点：对“曲线的方程”、“方程的曲线”定义中两个条件的理解．
教学难点：“曲线的方程”、“方程的曲线”间的对应关系．
使用说明
本导学案1课时；
【知识导学】
导学一：曲线与方程
曲线与方程的概念是建立数形结合关系形成解析几何基本方
法的出发点，其主要内容是曲线与方程的关系。
在平面直角坐标系中，如果一条曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
点M
按某种规律运动
（几何意义）
曲线C
坐标（x,y）
x,y的制约条件
（代数意义）
方程
定义的实质是平面曲线的点集和方程的解集之间的一一对应关系，
导学二：曲线的对称性
在曲线方程里，如果以代方程不变，那么当点在曲线上时，它关于轴的对称点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理如果以代方程不变，那么曲线关于轴对称，如果以代，以代方程不变，那么曲线关于原点对称。
导学三：已知方程画曲线
（1）对于这类问题，往往要把方程进行同解变形，注意方程的附加条件和的允许值的取值范围，有时要把它看作的函数关系，利用作函数图象的方法画出图形；
（2）对于变形过程一定要注意其等价性，否则作出的曲线与方程不符；
（3）注意方程的隐含的对称性，并充分予以运用从而减少描点量；
（4）解决此类问题要充分依据已知曲线方程的特点，而对于较复杂的方程形式，一般先考虑化简再描点作图，且在化简过程中尽量保持同解变形，以保证轨迹曲线的纯粹性。
【基础演练】
1、命题“曲线上的点的坐标都是方程的解”是正确的，下列命题中正确的是（ B ）
A、方程的曲线是 B、方程的曲线不一定是
C、是曲线的方程 D、以方程的解为坐标的点都在曲线上
2、设方程的解集非空，如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”是不正确的，则下列命题正确的是（ D ）
A、坐标满足方程的点都不在曲线上
B、曲线上的点的坐标都不满足方程
C、坐标满足方程的点有些不在曲线上
D、一定有不在曲线上的点，其坐标满足方程
3、下列命题正确吗？为什么？
（1）过点P（2,0）且平行与轴的直线的方程是； 不正确
（2）以坐标原点为圆心，半径为的圆的方程是； 不正确
4、设A(2,0),B(0,2),能否说线段AB的方程是？为什么？
不能这样说，应该是
5、曲线关于直线对称的曲线方程是（ D ）
A、 B、
C、 D、
6、图形下的方程是图中曲线的方程，对应正确是（ D ）

【合作探究】
例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹方程是.
见课本例题

变式 证明平面内任意一点到矩形的一对对角顶点的距离平方和等于这个点到另一对对角顶点的距离平方和。
建坐标系，设顶点坐标，用两点间的距离公式即可。

【能力提升】
1、下列各对一方程中，表示相同曲线的一对方程是（ C ）
A、 B、
C、 D、
2、“以方程的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是”的（ B ）条件
A、充分 B、必要 C、充要 D、既不充分又不必要
3、方程表示的图形是（ B ）
A、两个点 B、四个点 C、两条直线 D、四条直线
4、方程表示的曲线是（ C ）

5、已知两条直线和的交点为，则过两点，的直线方程是 ．
6、点是否方程表示的曲线上？为什么？
7、已知方程的曲线经过点和点，求的值。

课题：求曲线的方程
撰写人：王铁明 审稿人：唐新阳
【学习目标】
一、课程标准
(一)知识教学点
使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．
(二)能力训练点
通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．
(三)学科渗透点
通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．
二、重点难点
教学重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．
教学难点：作相关点法求动点的轨迹方法．
使用说明
本导学案1课时；
【知识导学】
导学一 坐标法
借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上的点的坐标所满足的方程表示曲线，通过研究方程的性质间接的来研究曲线的性质，这就叫做坐标法。
由坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何，解析几何研究的主要问题是： (1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
(2)通过方程，研究平面曲线的性质．
导学二 求曲线的方程
【合作探究】
例2 设A,B两点的坐标分别是，求线段AB的垂直平分线的方程。
见课本解答过程
求曲线方程一般有以下五个步骤：①建立适当的直角坐标系，并用表示曲线上任意一点M的坐标；②写出适合条件p的点M的集合；③用坐标表示条件,列出方程；④化简为最简形式；⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。简记为：建系、列式、代换、化简、证明。这五步构成一个有机的整体，每一步都有其特点和重要性，一般的化简前后方程的解集是相同的，步骤⑤可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明，另外，也可以根据情况省略步骤②，直接列出曲线的方程。
建坐标系要适当，常见的建系方法：以已知定点为坐标原点；以已知定直线为坐标轴；以已知线段所在直线为坐标轴，以已知线段的中点为坐标原点；以已知互相垂直的两条定直线为坐标轴；让尽量多得已知点在坐标轴上。遵循垂直性和对称性原则。

例3 已知一条直线和它上方的一个点F，点F到的距离是2，一条曲线也在直线的上方，它上面的每一点到F的距离减去到的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。
见课本解答

例4 设圆C:，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程。
直接法：设为过O得一条弦，为其中点，
则,设OC的中点为
,得方程
定义法：动点P在以为圆心，OC为
直径的圆上，由圆的定义知
代人法：设，则，又点在圆上，
所以，即
参数法：设动弦OQ的方程为代人圆方程得
即，，消去即可。
后三种方法仅供参考
【能力提升】
1、两定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程。
2、△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边斜率的积是，求顶点A的轨迹方程。
3、点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程。
4、已知直角坐标平面上点和圆，过动点作圆的切线，其切线长与的比等于常数，求动点的轨迹方程，说明它表示什么曲线。
解略：
当时，方程化为，它表示一条直线；当时，方程化为
，它表示圆，圆心为，半径为。

课题：椭圆及其标准方程
撰写人：王铁明 审稿人：唐新阳
【学习目标】
一、课程标准
理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；
理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；
了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法。
二、重点难点
教学重点：对概念的理解及椭圆标准方程的推导过程。
教学难点：对椭圆标准方程的推导过程。
使用说明
本导学案1课时；
【知识导学】
导学一：简介章头内容
当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线吗？第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子吗？
导学二 实验
取一条定长得细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，笔尖画出的轨迹是一个圆；如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
在这一过程中，你能说出移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
导学三 椭圆的定义
通过上述实验知道，移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离和等于常数。
把平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）。其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距。即当动点设为，常数记为时，椭圆即为点集。
当时，轨迹是线段；当时，轨迹不存在。
导学四 椭圆标准方程的探究（重点）
已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系。
无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理。
说明：设参量的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、的关系有明显的几何意义。
类比：写出焦点在轴上，中心在原点的椭圆的标准方程
【基础演练】
1、平面内以动点M到两定点距离之和为常数，则点M的轨迹是（ D ）
A、椭圆 B、圆 C、无轨迹 D、椭圆或线段或无轨迹
2、如果椭圆上一点P到焦点的距离等于6，那么点P到另一个焦点的距离是 14 ，过焦点得直线交椭圆与A、B两点，则的周长是 40 。
3、椭圆的焦距为2，则= 3或5 。
4、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)，焦点在轴上；

(2) 焦点在轴上；

(3)。

【合作探究】
例1已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程．
分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出．引导学生用其他方法来解．
另解：设椭圆的标准方程为，因点在椭圆上，
则．
例2 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？
分析：点在圆上运动，由点移动引起点的运动，则称点是点的伴随点，因点为线段的中点，则点的坐标可由点来表示，从而能求点的轨迹方程．
引申：设定点，是椭圆上动点，求线段中点的轨迹方程．
解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设，；②（点与伴随点的关系）∵为线段的中点，∴；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵，∴点的轨迹方程为；④伴随轨迹表示的范围．
例3 如图，设，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程．
分析：若设点，则直线，的斜率就可以用含的式子表示，由于直线，的斜率之积是，因此，可以求出之间的关系式，即得到点的轨迹方程．
解法剖析：设点，则，；
代入点的集合有，化简即可得点的轨迹方程．
引申：如图，设△的两个顶点，，顶点在移动，且，且，试求动点的轨迹方程．
引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当值在变化时，线段的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴．

【能力提升】
1、如果点在运动过程中，总满足关系式
，
点M的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程。
根据定义知轨迹是焦点在轴上的椭圆，其方程为
2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在轴上，焦距等于4，并且经过点

(2)焦点坐标分别为；

(3)。

3、已知是两个定点，,且的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。

4、已知动圆P过定点，并且在定圆的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程。

课题：椭圆的简单几何性质（一）
撰写人：王铁明 审稿人：唐新阳
【学习目标】
一、课程标准
了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用；
二、重点难点
教学重点：椭圆的几何性质及初步运用，解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结。
教学难点：椭圆离心率的概念的理解，解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响。
使用说明
本导学案1课时；
【知识导学】
导学一 复习与引入过程
引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P45的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．
提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？
通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．
导学二 椭圆的简单几何性质
①范围：由椭圆的标准方程可得，，进一步得：，同理可得：，即椭圆位于直线和所围成的矩形框图里，注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点；
②对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴（线段A1A2），较短的叫做短轴（线段B1B2）；a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长。
④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率（），； ．
【基础演练】填空
椭圆的标准方程

图象

范围

对称性

长轴

短轴

离心率

【合作探究】
例4 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量．
扩展：已知椭圆的离心率为，求的值．
解法剖析：依题意，，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在轴上，即时，有，∴，得；②当焦点在轴上，即时，有，∴．
例5 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上，由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，．建立适当的坐标系，求截口所在椭圆的方程．（课本P46）
解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为，算出的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．
引申：如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面，远地点距地面，已知地球的半径．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．
【能力提升】
1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在轴上，

(2)焦点在轴上，

2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过点

(2)长轴长等于20，离心率等于

3、若方程表示椭圆，则的取值范围为 。
4、椭圆的焦距是长轴长与短轴长的等比中项，则椭圆的离心率是 。
5、设椭圆的两个焦点分别为,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ D ）
A、 B、 C、 D、
6、求与椭圆有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程。
或

课题：椭圆的简单几何性质（二）
撰写人：王铁明 审稿人：唐新阳
【学习目标】
一、课程标准
进一步了解椭圆的几何性质，通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义；解决弦、最值问题等；通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力
二、重点难点
教学重点：对椭圆的第二定义的理解及求椭圆中得最值问题。
教学难点：求椭圆中的最值问题是难点。
使用说明
本导学案1课时；
【知识导学】
导学一 椭圆的第二定义
见例六
导学二 求直线与圆锥曲线的交点坐标和弦长问题
将直线与圆锥曲线联立，构建关于的方程组，消元得
，解方程组即可得到交点坐标。
利用两点间的距离公式得 ，进一步引申得出弦长公式
或者，请思考公式是怎样推导出来的。
导学三 求最值问题
【基础演练】
1、 比较下列每组中的椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？
(1) 与 更扁
(2) 与 更扁
2、求下列直线与椭圆的交点坐标：
(1)
(2)
【合作探究】
例6 设与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，求点的轨迹方程．
分析：若设点，则，到直线：的距离，则容易得点的轨迹方程．
引申：1、若点与定点的距离和它到定直线：的距离比是常数，则点的轨迹方程是椭圆．其中定点是焦点，定直线：相应于的准线；由椭圆的对称性，另一焦点，相应于的准线：．
若焦点在轴上呢？
2、焦半径：椭圆上的点到焦点的距离叫做焦半径，由第二定义知：

例7 经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求的长。
分析：不难得左焦点坐标，从而可得直线的方程，代入椭圆方程得，
例8 已知椭圆，直线，椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？
分析：作出直线及椭圆，观察图形，可以发现，利用平行于直线且与椭圆只有一个交点的直线，可以求得相应的最小值。

【能力提升】
1、若动点在运动过程中，满足关系式，则点的轨迹是（ C ）
A、直线 B、圆 C、椭圆 D、双曲线
2、过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长（叫通径）为 。
3、椭圆的焦点为，点P为其上的动点，当为钝角时，点P的横坐标的取值范围是 。
，又为钝角，由得出。
4、点与定点的距离是它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹方程。
5、已知椭圆内一点P，F是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M,使|MP|+2|MF|的值最小。

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