含混合项的拟线性Schrodinger方程的正规化基态解.pdf

Mathemi数学物理学报2023,43A(4):1062-1072cientiahttp:/含混合项的拟线性Schrodinger方程的正规化基态解归坤明陶虹杉杨俊*（华南理工大学数学学院广州510 6 40)摘要：该文研究了一类含混合项拟线性Schrodinger方程正规化基态解的存在性推广了文献1-2中的结果，与他们研究的情形相比，该文中方程对应能量泛函的结构更加复杂.关键词：正规化解；拟线性Schrodinger方程；摄动法.MR(2010主题分类：35A15;35J10文章编号：10 0 3-39 9 8(2 0 2 3)0 4-10 6 2-111引言拟线性Schrodinger方程it+A+(lal2)+f(ll)=0,(t,a)E(0,+)R可以用来描述等离子体物理、非线性光学和流体力学中的一些现象，参见文献3-5等这里表示波函数，N1.考虑方程(1.1)形如(t,ac)=ua(a)e-it 的驻波解，其中入E R为固定的参数.代入方程(1.1)式可得一类含变分结构的拟线性方程(1.2)其中 g(u)=f(u2)u.对于给定的入，关于方程（1.2)非平凡解的存在性，目前已有大量的结果，如文献6,7.本文关注的是方程（1.2)正规化解的存在性，即解u满足（1.2）且有(1.3)JRN其中0是固定的常数.关于方程（1.2)正规化解的研究，近期吸引了很多学者的关注当g(u）=u|p-2 u 时,文献8 考虑了在限制（1.3)式下，极小解的存在和不存在性准确地讲，作者证明了，当收稿日期：2 0 2 2-0 6-17；修订日期：2 0 2 3-0 1-12E-mail:;基金项目：广东省自然科学基金（2 0 18 A0303130196)Supported by the NSF of Guangdong Province(2018A0303130196)*通讯作者中图分类号：0 17 5.2 9-u-u(u)=入u+g(u),ERN,=a,文献标识码：A(1.1)No.42p2+时，限制极小m(a)0;当2+0,使得当 0 aC(p,N)时，m(a)0且可达，借助于限制上的山路定理和摄动方法间，文献10 进一步考虑了2+六力4+至时，多重解的存在性，近期，在文献1中，同样采取援动方法，得到了临界，即力二4十是时，基态解的存在性和不存在性，以及L2超临界，即4+p时，解的存在性。另外，文献11研究了方程（1.2)含有位势项V()u的情况当2 p4+鲁时，他们得到了基态解在L临界时的存在性，以及趋于L临界时的渐近行为.本文考虑方程（1.2)的一种混合情形，即非线性项包含L2临界和次临界指数的情形-u-(u2)=Xu+lu-2u+aup-2u,a E RN,(1.4)其中入,R，2=4+，3.这种情况是文献2 关于NLS方程结果在拟线性Schrodinger方程上的推广，也是文献1中拟线性Schrodinger方程非线性项的推广。需要指出的是，此时方程（1.4）对应能量泛函的结构更复杂，故要进行更精细的估计.定义1.1称是方程（1.4)式在 Sa上的基态解，若它是方程（1.4)在Sa上有最小能量的解dEls.(a)=0,E(a)=,inf(E(u)dElsa(u)=O),其中泛函为/RN限制在L?球uES上，这里(RN)/ul2/Vul2+8XuEH(I并记m(a,)=inf E(u).uESa同时令*=|Ql1为临界质量（具体定义见下节).下面是本文的主要结论.定理1.1当0,2q 1,q=2+4儿2，2+1063uESalul2/Vul2 _=RNuEXJRN/RN44q4-(1.5)qJRNPJRN时，有-0m(a,）0为常数，其值见(3.2)，(3.3)式记达到函数为i,则3入a0,使（入a,）是方程（1.4)的基态解.(ii)当0,22+时，有-m(a,)0,此时下确界可达，记达到函数为,则3入a3,q=2+40,2+数学物理学报44+Vol.43A时，有m(a,)=-80,其中30为常数，其值见(5.1)式.(ii)当 a*时,有 m(a,)=-0.研究该问题的首要困难在于：能量泛函中如下的积分项JR|uIVul在H(R）上不可微，受文献9，10 的启发，本文采取添加扰动项的办法解决该问题另一方面，相比于不含拟线性项的问题2,本文中指标 p,q取值范围更大而泛函下确界的性质，以及原问题的可解性，与p,9,的取值密切相关，因此需要细致地划分多种情形.注1.1本文用Il,表示LP(R)空间中的通常范数，即ul，会（JelulP).C,C1,C2,通常指的是一些变化的常数，对主要结论没有影响.2预备为了证明主要结论，需要用到下列的Gagliardo-Nirenberg不等式.引理 2.1（文献11,GagliardoNirenberg 不等式)设 2 p0,suppu CC BR,uu=0,n取uEX,在不等式(2.1)中用u替换,可得1nplulP K(p,N)2uPJRN4N-p(N-2)np2(N+2)p(N+2)-N(P-4)E OBr.RN+2/u/RN(2.2)PPNo.4其中 K(p,N)=C(p)plQliN当 p=P时，(2.2)式化为JRN于是定义*=Ql1为临界质量且由文献11,引理2.1知，Q与临界质量还具有如下关系下面以=0的情况为例，观察临界质量如何影响泛函结构由（1.5）和（2.2)式得工Eo(u)2/RN注意到显然，当2 p 1,pp2(2*).(）%1-K(p,N)a=1-0.Q*10652aNQplJRN1,2p时，limEo(su)=-;s-+8当p=p，a*时，由(2.3)式等号可达知，存在ES使则 _ lim_ Eo(s*u)=-00.S-+8a.E RN,IVul2+e(N+2)sVul2/RN1PJRNepYp/RNPRN/RN3基态解的存在性在引言中提到，拟线性项对应的能量泛函可微性的不足是寻找问题（1.4）基态解的首要阻碍为此，本节采取添加扰动项的方式解决该问题且由于证明过程十分相似，本节将一并说明定理1.1和1.2(i).1066数学物理学报Vol.43AIVul4+E(u),，m(a,)=inf E(u),/RN其中0 1.uESaluEx其中W1,4(RN)nW1,2(R）是自反的Banach空间，具有如下范数Ilullx=Ilullw1,2+Ilullw1,4.同时由文献9 知，EEC1(X).引理3.1在定理1.1和1.2 的(i)所述的指标范围内，有-8 0 (a,)0.证当aa 时，利用(2.2)式和 Caudly 不等式，注意到 群1,则对 vu e 5.,有ueSa/RN12+1-(u)2/RN1-C.当=*，2 2+时，利用 Sobolev不等式22VuJRN/R注意到 2/RN1IVul22JRN-C.上述 C0 与u无关，故总有 m(a,)-0.另一方面，对于a*，2 q 2+，直接计算得Se(N+4)sE(s*u)4(N+2)s注意到q2,将u固定，将s视为自变量，上式即可简记为Eg(s*u)=Cie(N+4)s+Ce2s+Cge(N+2)s-Che9as=Ceq%gs(Cie(N+4-q7)s+C2e(2-aa)s+Cge(N+2-aa)s _注意到e(N+4-qa)s+e(2-ma)s+e(N+2-qa)s 8-=0,NJRNul2/Vul2-(q,N)aNlul2/Vul2-k(q,N)ana/RN(1=2)2/RNJRN+2RN+2/RNRNuqJRNJRNe2s2/RNIR2RN2ueqqs/RN(3.1)No.4则当8 -1充分小时，有E(su)0.对于a1时,有2+2TRN同理得，当t-1充分小时，有E(wt)2+时，考察(t)=0,即(N+2)StN+4-q7g24/RN(q%-2)a%-2a*JRN注意到+4 N+0 2 则上式左侧关于t0从0 单增到+，而右侧关于t是正常数。故存在唯一 0,使(t)=0,且是的极小值点.令(t)0得+Na*N1-()*+2%+2-q%qqt4PN1Ql1+%aQ1+2 时,Ei(ut)=()(t)0.上述过程证明了总有 m(a,)0.综上，证毕.注3.1若记u*为u的Schwarz对称化，则由文献8,引理4.3知F(u*)F(u)且还有JRN因此在之后的证明中，若出现E的极小化序列，则始终默认其是Schwarz对称的.引理 3.2 任意给定0 1,设【un)S。满足 E(un）m(a,),则在定理1.1和1.2的(i)所述的指标范围内，un文有界.证当*时，由(2.2)式得d1V/R-K(q,N)an注意到121,由 EP(un)m(a.)知lun12/Vunl2 C,JRN数学物理学报2/RVul?+RNlul2/Vul2,lulP,Vp E 2,P.JRN2/RNRNJRNVol.43ARNN+2VunC,JRNIVunI2C,即(un CX有界.当=*，q 2+时，由(3.1)式得Eg(un)注意到1,由 E(un)m(a,)和(3.1)式得2+/IRNJRN/RNIVunl4C,JRN注意到 p 4=一,由 Holder 不等式得将上述四项有界性直接带入E(un)，立得 JelunlIVunl0满足a1+2=a*.则 m(a,)m(a1,)+m(a2,).证任取 0 c1使 Oca*.设【un)C S。满足 E(un）m(c,),直接计算得m(oc,)E)(un(e-a)501-4JRN0EumIVunl2C,unly lunli-lunla.C.1Vun14+01-%JRNlunl 1,=a1m(a,).同理，m(a2,)m(a,).两式相加即得结论，证毕.命题3.1设【un)C S。满足 E(un）m(a,).则在平移意义下，【un存在子列在X中相对紧，即，uns)Cun),ur C R,us Sa,使 uns(a+ys)us(ar)在X中.证利用集中紧原理，以下三条结论有且仅有一条成立(i)消失性：VR0,有lun/2=0.n-+yERNJBr()(i)二分性：3a1 E(O,a),uh),un C X有界，使un-(un+u)l,0,r (2,2(2*)，u l 2 a 1,dist(suppun,suppun)+oo,lim infn-+8RN(lunl?/Vun/?-(lu/Vuh?+uz/Vu)0,lim infn+8RN(IVunl2-(/Vu/+/Vual)0,lim infn-+80RN(1Vun4-(/Vuh/4+/Vu/)0.(ii)紧性：(yk)C RN,使 Ve 0,3R0,有a-E.JBR(yk)若(i）成立，则由文献12，引理I.1知：I：u n 0 于 Lr(RN),Vr E(2,2(2*)中.则liminf E(un)0,与引理3.1矛盾！n一若(i)成立，则有m(a,)=,limEg(un)liminf(E(uh)+Eg(u)m(a1,)+m(a2,),n+8归坤明等：含混合项的拟线性Schrodinger方程的正规化基态解limlim.supunn+810690RN/RNm(0c,)0,任取【on】0.设Schwarz对称序列【unCSa和 入nC R满足Ejr(un)|C,(Er)(un)-n un=0,Vn 1,其中C0与n无关.则 3i E W1,2 n L(RN)(0),入a E R,使特别的,若入a0与S,N无关.以及由引理3.4知，3W1,2(RN)nL(RN)0)以及入aER,使入n 入a，(E)(u)-入ai=0.故有Pohozaev恒等式N-2N(2JRM代入E(u)化简得0 limsup Er(un)E(a)=n-+8显然有入a0,故是E在Sa上的临界点，即为方程（1.4)的基态解.综上，定理1.1和1.2 的(i)证毕.数学物理学报入n 入a，(E)(u)-入ai=0.(E%)(us)-sus=0.E/n(un)/=|m(a,)/C,(Egn)(un)-入nUn=0,Vn 1.IVi2+JRNVol.43Aa|=0,(3.4)u2RNN/RNP/RN2N/RqJRN2RN4问题无解的情形在引言中提到，问题（1.4)的可解性既与临界质量有关，又与扰动系数有关，本节将说明问题无解的情形，证明定理1.1的(ii）和定理1.2 的(ii).若是方程(1.4)的解，则有(3.4)式成立又在（1.4)式左右乘u并积分得/Vul2+4,ul2/Vul2 入RN/RNul=0,/R/RNRVNo.4将上式与(3.4)式联立，消去入，并利用(2.2)式得/Vu/2+(N+2)IRN归坤明等：含混合项的拟线性Schrodinger方程的正规化基态解/RN1071/RNRN/RN1VuP+(N+2)1-()*)/lu/ul20,但显然JR|u2/RN0,且 limE(s u)=0,故m(a,)=0.综上，定理1.1的(ii)）和定理1.2 的(ii)证毕.1Vu2+e(N+2)1-()*)Vul2RN5泛函无下界的情形寻找问题（1.4）的基态解，重点在能量泛函的下确界而如果泛函无下界，则问题的可解性是不明确的本节将说明能量泛函无下界的情形，证明定理1.2 的（ii）和定理1.3.定理1.2 的（i）的证明对于q=2+，仿照引理3.1的方法这时=*，故取直接计算得Eu(Wt今Wt=t*w(ta),W=2PRN22P2+4JRN(5.1)23=N则3 时，有,limE(wt)=-00.对于2+，记（2.2)式的达到函数为W，注意到（2.2)式关于u齐次，则不妨设WESa*.直接计算得E(s*w)=e2s2JRN注意到q2,显然有。limE(sw）=-0 0.定理1.2 的（i)证毕.S一+定理1.3的证明由文献8,定理1.9 知，m(a,0)=-00.故 3uo E Sa,使 Eo(uo)0.直接计算得E(s*uo)=e(N+2)s注意到qN+2,显然有limE(so）=-0 0.定理1.3证毕.V1Q1+%eqqs/RNe2sEo(u/RNS+80P2RWeqqs/RN10721 Li H W,Zou W M.Quasilinear Schrodinger equations:ground state and infinitely many normalizedsolutions.arXiv preprint,2021,2101.075742 Soave N.Normalized ground states for the NLS equation with combined nonlinearities.J Differ Equ,2020,269:6941-69873 Borovski A V,Galkin A L.Dynamical modulation of an ultrashort high-intensity laser pulse in matter.J Exp Theor Phys,1993,77(4):562-5734 Ritchie B.Relativistic self-focusing and channel formation in laser-plasma interactions.Phys Rev E,1994,50:687-6895 Hasse R W.A general method for the solution of nonlinear soliton and kink Schrodinger equations.ZPhys B:Condens Matter,1980,37:83-876 Shen Y T,Wang Y J.Soliton solutions for generalized quasilinear Schrodinger equations.Nonlinear AnalTheory Methods Appl,2013,80:194-2017 Wang Y J,Shen Y T.Existence and asymptotic behavior of a class of quasilinear Schrodinger equations.Adv Nonlinear Stud,2018,18(1):131-1508 Colin M,Jeanjean L,Squassina M.Stability and instability results for standing waves of quasi-linearSchrodingerr equations.Adv Nonlinear Stud,2010,23(6):1353-13859 Liu X Q,Liu J Q,Wang Z Q.Quasilinear elliptic equations with critical growth via perturbation method.J Differ Equ,2013,254(1):102-1241o Jeanjean L,Luo T J,Wang Z Q.Multiple normalized solutions for quasi-linear Schrodingerr equations.JDiffer Equ,2015,259(8):3894-392811 Zeng X Y,Zhang Y M.Existence and asymptotic behavior for the ground state of quasilinear ellipticequations.Adv Nonlinear Stud,2018,18(4):725-74412 Lions P L.The concentration-compactness principle in the calculus of variations,the locally compact case,part 2.Ann I H Poincare-AN,1984,1(4):223-28313 Berestycki H,Lions P L.Nonlinear scalar field equations,II existence of infinitely many solutions.ArchRat Mech AN,1983,82:347-375数学物理学报参考文献Vol.43ANormalized Ground States for the Quasi-linear Schrodinger Equationwith Combined NonlinearitiesGui Kunming Tao HongshanYang Jun(School of Mathematics,South China University of Technology,Guangzhou 510640)Abstract:In this paper,we mainly investigate the existence of normalized ground states forthe Schrodinger equation with combined nonlinearities.Our results extend those reported in 1,2.Compared with the case they studied,the structure of the energy function correspongdingto the equation in this paper is more complex.Key words:Normalized solutions;Quasi-linear Schrodinger equation;Perturbation method.MR(2010)Subject Classification:35A15;35J10