角平分线.doc

学习内容： 12.3 角平分线的性质（1）
学习目标:
1.应用全等三角形的知识理解角平分线的原理
2.会利用尺规作一个角的角平分线
3.在利用尺规作图的过程中培养学生的动手操作能力。
学习重点：利用尺规作一个角的角平分线
学习难点：角平分线作图方法的提炼
学习方法：讲练结合法
一、课前预习
阅读课本，完成下列的问题：
1.角平分线的尺规作图：做∠AOB的角平分线，并将做法补充完整。
做法：1）以＿为圆心，＿＿＿为半径，交OA 于＿＿＿
OB于 ＿＿＿2）分别以＿＿＿为圆心，大于＿＿＿为半径
画弧，两弧在∠AOB内部交于点＿＿＿3）画＿＿＿
2.从作图我们可猜想：
角平分线的性质:角的平分线上的＿＿到角的两边的＿＿＿相等。
3．小帅尝试证明这个性质，已经做出了一些步骤，请你帮他补充完整：
解： 如图，已知：
求证：______=_______
证明：

结论：角平分线的性质定理
注意：该定理证明线段相等的一种方法，也是引辅助线的一种常用方法．
4.用数学符号表示为：(如上图)
∵点P在∠AOB的角平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ______=_______（ ）
证明一个几何命题的一般步骤1. 。
2. 。3. 。
三．例题学习
1、如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?
B
A
E
O
D
C
P

2、如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
求证：CF=EB

E
D
C
B
A
3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？

⑵哪条线段与DE相等？为什么？

⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长。

四、新知应用 体验成功
1.如图在△ABC中∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8，BD=5，
那么D到直线AB的距离是＿＿＿。
2. 如图若点P在∠AOB的角平分线上，若应用角平分线的性质可
得到：PA=PB则需要添加的条件是＿＿＿。
3.如图，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DEAB，
且DE=3cm,BD=4cm,则BC= cm
4．如图，平分，于，于，为上一点，
连接、．求证：⑴

⑵=

5．如图所示，是的平分线，于，于，
且，那么与相等吗？为什么？

【自能训练】
1．如图，于，于，平分，
则下列结论中正确的有（ ）①；②；③
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．如图，在中，，平分，，连接，
则下列结论错误的是（ ）
A．≌ B． C． D．
3．如上题图，在中，，，平分，
于，且，则的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．如图，在中，，平分，已知，
，则点到的距离为_______cm．
5．如图，平分，交延长线于，于，且．
求证：

6．如图，平分，于，于，连接交于．
求证：

7．已知，如图为的平分线，，点在上，
于，于．求证：

学习内容：12.3 角平分线的性质（2）
学习目标:
1.会叙述角平分线的性质及“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”
2.能利用两个性质解决一些实际问题
学习重点：角平分线的性质及应用
学习难点：利用两个性质解决一些实际问题
学习方法：探索归纳法
一、课前预习:阅读课本，完成下列的问题：角平分线的判定及几何语言表述
【自能学习】复习旧知——角平分线的性质定理
1．性质定理：角平分线上的点到角的 的距离 ．
2．几何语言：（注意：三个已知条件缺一不可）
∵，，
∴
3、画出三角形三个内角的平分线

你发现了什么特点吗？
4．如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证，点P到三边AB，BC，CA的距离相等。

二、探究新知：
1.求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）
小帅已经做出了一些步骤，请你帮他补充完整：
解：如右图，过______做射线，
已知：，；并且_______=_______
求证：_____是的平分线
证明：

结论：角平分线的判定定理:
角的内部到角的两边＿＿＿＿的点在角的＿＿＿上。
注意：（1）该定理也是证明两角相等的一种方法；
（2）三角形的三条角平分线交于一点，这点是三角形的内心，到三边的距离相等．
(3）符号语言：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD= PE
∴ ＿＿＿＿＿＿（ ）
（4）作用：常证明两个角相等
2、比较角平分线的性质与判定

2、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，
求证∠1＝∠2

三、例题学习
例1．如图，在四边形中，，
平分交于，且，求证：平分

例2．如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE＝2cm，
AB＝9cm，BC＝6cm，求△ABC的面积．

3.如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC,BD平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180°

【自能训练】
1、已知△ABC中，∠A=60°，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数为
2、到三角形三条边的距离相等的点是（ ）
A、三条中线的交点 B、三条高线的交点
C、三条边的垂直平分线的交点 D、三条角平分线的交点
3．下面哪个点到三角形三边的距离相等（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三角形内任意一点
4．如图，的两个外角平分线相交于点，则下面结论正确的是（ ）
A．不平分 B．平分 C．平分 D．
5．在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为　　　　　．
6．如图，的三边、、的长分别为20、30、40，其三条角平分线的交点为，则 ．
7．的平分线上一点，到的距离为，则到的距离为　　　．
8．如图，在直线上求一点，
使得点到射线和的距离相等．

9．如图，在中，，
点为三条角平分线的交点，于，
于，于，且，
，，求的长．

10．如图，是内一点，在上，在上，且，与的面积相等．
求证：平分

11．如图，，于，于．
⑴求证：在的平分线上；
⑵若将⑴的条件“”和结论“在的平分线上”互换，成立吗？说明理由．

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