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中考专项---二次函数

课堂笔记：

复习指导

课堂笔记：

知识归纳
掌握情况
二
次
函
数
1、 二次函数的意义

2、 二次函数表达式

3、 二次函数图象及其性质

4、 根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴

5、用二次函数及其图象解决简单的实际问题

6、利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解

一、 二次函数知识点
1. 二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
例：如果函数y=(m－2)x是二次函数, 求常数m的值.
【思路点拨】该函数是二次函数, 那么m2+m－4=2, 且m－2≠0
解: ∵y=(m－2)x是二次函数
∴m2+m－4=2, 即m2+m－6=0
解这个一元二次方程, 得m1=－3, m2＝2
　当m=－3时, m－2=－5≠0, 符合题意
　当m=2时, m－2＝0, 不合题意.
∴常数m的值为－3.
同类练习：已知：函数（m是常数）. m为何值时，它是二次函数？

2. 二次函数的解析式三种形式
一般式 ： y=ax2 +bx+c(a≠0) 顶点坐标（）
顶点式 ： 二次函数用配方法可化成：的形式（），其中.
顶点坐标（h, k）

交点式 对称轴
例：1.将二次函数y＝x2－2x＋3，化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为（ ）
A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x－1)2＋4
C．y＝(x＋1)2＋2 D． y＝(x－1)2＋2
2．若二次函数配方后为则、的值分别为（ ）
A、0.5 B、0.1 C、—4.5 D、—4.1
3. 二次函数图像与性质
（1）抛物线中，的作用
1）决定抛物线的开口方向：
当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.

y
x
O
2）和共同决定抛物线对称轴的位置：
对称轴：
a与b同号（即ab＞0） 对称轴在y轴左侧
a与b异号（即ab＜0） 对称轴在y轴右侧
3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
① ，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.
总结：以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .（中考非常喜欢考查根据图像判断a、b、c的符号或者反过来根据a、b、c符号来判断图像。）

例1：已知=次函数y＝ax+bx+c的图象如图．则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a－2b+c， 2a+b，2a－b中，其值大于0的个数为（ ）

A．2 B 3 C、4 D、5
点拨：本题考查二次函数图像性质，a的符号由开口方向确定，b的符号由对称轴和a共同决定，c看其与y轴的交点坐标，a+b+c，4a－2b+c看x取某个特殊值时y的值可从图像中直观发现
例2：（2009湖北省荆门市）函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

点拨：本题考查函数图象与性质，当时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D是错的，函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象必过（0，1），所以C是正确的，故选C．

-1
y
x
5
x=2
2
O
课堂练习：1、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，
那么下列判断不正确的是（ ）
A．ac<0 B．a－b+c>0
C．b= -4a D．关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=－1,x2=5

2、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是 （ ）

（2）抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
1）决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.

2）求抛物线的顶点、对称轴的方法：
1)公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.
2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是.
3)运用抛物线的对称性：当横坐标为x1, x2 ，其对应的纵坐标相等，那么对称轴
例1：.二次函数的图像的顶点坐标是（ ）
A．（-1，8） B.（1，8） C（-1，2） D（1，-4）
点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式

例2：二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）
A． 开口向下、对称轴为、顶点坐标（2，9） B．开口向下、对称轴为，顶点坐标（2，9）
C．开口向上，对称轴为，顶点坐标（－2，9） D．开口向上，对称轴为，顶点坐标（－2，－9）
例3：已知抛物线与轴的交点都在原点右侧，则点M（）在第 象限．
例4：二次函数的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ）
A．x＝4 　B. x＝3 C. x＝－5 D. x＝－1。
例5：(2007佛山中考题)已知二次函数（是常数），与的部分对应值如下表，则当满足的条件是 时，；当满足的条件是 时，。（当x=4时，y= ）

0
1
2
3

0
2
0

（3）增减性，最大或最小值
当a>0时，在对称轴左侧（当时），y随着x的增大而减少；在对称轴右侧（当时），y随着x的增大而增大；
当a<0时，在对称轴左侧（当时），y随着x的增大而增大；在对称轴右侧（当时），y随着x的增大而减少；
当a>0时，函数有最小值，并且当x=，；当a<0时，函数有最大值，并且当x=，；
例1: 已知二次函数y=x2+2x+1. (1) 写出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (2) 当x为何值时, y随x的增大而减小? 当x为何值时, y随x的增大而增大? (3) 该函数是有最大值还是最小值? 此时x的值为多少?
【思路点拨】利用公式法求顶点坐标和对称轴.
解: (1) ∵＞0, ∴函数图像开口向上.
∵－＝－2, ＝＝－1.
∴函数图象的对称轴是直线x=－2, 顶点坐标是(－2, －1).
(2) 由(1) 可知: 当x＜－2时, y随x的增大而减小; 当x＞－2时, y随x的增大而增大.
(3) 由＞0知, 该函数有最小值. 由(1)可知当x＝－2时, 函数有最小值－1.
【方法点评】(1) 求二次函数图象的对称轴、顶点坐标可用配方法和公式法两种方法, 本例运用公式法. (2) 讨论二次函数的性质时, 可先求出其图象对称轴和顶点坐标, 并明确图明的开口方向. 再画出草图, 然后根据草图说明性质, 也可不画草图, 直接说明.
例2：阅读下列材料, 探究问题.
已知正方形的周长为4a, 面积为S. (1) 求S与a的函数关系式; (2) 画出它的图象, 求出S＝6cm2时, 正方形的周长; (4) 根据函数图象, 求出a取何值时, S≥.
解: (1) ∵正方形的周长为4a, ∴其边长为a.
∴正方形的面积为S＝a2.
(2) 列表
a
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
S
9
4
1
0
1
4
9
…
画出图象如图所示
(3) 当S=6cm2时, a=±cm, 的周长为4cm.
(4) ∵当a=±cm时, S=cm2, 且此函数在其取值范围内, S随a的增大而增大.
∴当a≥或a≤－时, S≥.
　　　　请你就上述材料谈谈你的感受, 并与同伴交流从中获利的启迪
【思路点拨】上述问题是二次函数y=x2的实际应用题. 在解题过程中, 由于忽视了对自变量a的取值范围的讨论, 致使整个过程发生错误. 作为几何量, 边长a应是个正数, 即a＞0, 所以图象只是抛物线S=a2的一部分, 且不包括最低点(0, 0).
正确解法如下:
(1) ∵正方形的周长为4a, ∴其边长为a.
∴正方形的面积S＝a2(a＞0).
(2) 列表:
a
1
2
3
…
S
1
4
9
…
画出图象如图所示.
(3) 当S＝6cm2, a=cm(a＝－cm不合题意, 舍去). 故正方形的周长为4cm.
(4) ∵当a=cm时, S=cm2, 且函数在取值范围内S随a的增大而增大,
∴当a≥cm时, S＝cm2.
【方法点评】上述问题是一个实际应用题, 所以注意自变量a的取值范围, 运用图象来解决问题.
例3：若二次函数的图像开口向上，与x轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时时，对应的y1 与y2的大小关系是（ ）
A．y1 <y2 B. y1 =y2 C. y1 >y2 D.不确定
点拨：本题可用两种解法
解法1：利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值y随x的变化规律确定：a>0时，抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大；a<0时，抛物线上越靠近对称轴的点对应的函数值越大
解法2：求值法：将已知两点代入函数解析式，求出a，b的值 再把横坐标值代入求出y1 与y2 的值，进而比较它们的大小
变式1：已知二次函数上两点，试比较的大小
变式2：已知二次函数上两点，试比较的大小

（1,-2）
-1
变式3：已知二次函数的图像与的图像关于y轴对称，是前者图像上的两点，试比较的大小
练习：1.如图，已知二次函数的图象经过点（－1，0），
（1，－2），当随的增大而增大时，的取值范围是　 　．

2. 已知二次函数y=x2－2x－3, 则函数值y＜0时, 对应x取值范围是　　　　　　　.
3. 二次函数有（ ）
A． 最大值 B． 最小值 C． 最大值 D． 最小值
4. 求二次函数y=3x2+12x-29的最小值。
若二次函数的图像开口向上，与x轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时时，对应的y1 与y2的大小关系是（ ）
A．y1 <y2 B. y1 =y2 C. y1 >y2 D.不确定
5.（烟台市2009年中考题）p67如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8m，BC=6m，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上。
⑴求△ABC中AB边上的高h；
⑵设DG=x,当x取何值时，水池DEFG的面积(S)最大？
答案：h=4.8m x=2.4m S有最大值12m2

（4）几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标

当时
开口向上
当时
开口向下
(轴)
(0,0)

(轴)
(0, )

(,0)

(,)

()

(5)图像的平移步骤：
1）配方 ，确定顶点（h,k）；
2）对x轴 左加右减；对y轴 上加下减。
例：二次函数y=ax2+bx+c的图象向左平移2个单位, 再向上平移3个单位, 得二次函数y=x2－2x+1, 求b和c.
【思路点拨】本题原函数解析式中的一次项系数b, 常数项c是待定的. 解题关键是需先求抛物线的顶点坐标, 根据两个抛物线的平移情况, 可确定其顶点坐标.
解: ∵y=x2－2x+1=(x－1)2,
∴抛物线y=x2－2x+1的顶点是B(1, 0), 根据题意知: 把抛物线向下平移3个单位,再向右平移2个单位, 就得到抛物线y=x2+bx+c, 这时由顶点B(1, 0)平移到A(3, －3)处, 所以抛物线y=x2+bx+c的顶点是(3, －3).
∵y=x2+bx+c=(x－3)2－3=x2－6x+6.
∴b=－6, c=6.
【方法点评】本题根据抛物线的顶点的移动变化确定函数解析式, 从图象顶点的变化直观地找到解题思路, 体现了数形结合的基本思想, 这是一个基本的解题途径, 也是一条行之有效的坦途.
方法二：函数y=ax2+bx+c的图象向左平移2个单位后得函数解析式为
，
再向上平移3个单位，得函数解析式为
化简后得
依题平移后函数解析式应为y=x2－2x+1
∴得
随堂练：
1. 把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是则原二次函数的解析式为　　　　　
2.将函数y=3x2平移到顶点为（1,2）处，请问怎么平移？
3.把抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
（A）=3(x+3)2-2 （B）=3(x+2)2+2 （C）=3(x-3)2-2 （D）=3(x-3)2+2
（6）二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点。
随堂练：请画出二次函数y=3x2+12x -29的图像
练习：（1）请在坐标系中画出二次函数y=-x2+2x的大致图象；
（2）在同一个坐标系中画出y=-x2+2x的图象向上平移两个单位后的图象；
（3）直接写出平移后的图象的解析式．

注：图中小正方形网格的边长为1．
7.二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况。
二次函数图象与轴的交点个数：
（1） 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离
（2） 当时，图象与轴只有一个交点；
（3）当时，图象与轴没有交点.
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
练习：
1. 二次函数的值永远为负值的条件是 0， 0．
2. 函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8. 用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(3)交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.
例1.（2011年佛山中考题）如图，已知二次函数的图像经过、、；
（1）求二次函数的解析式；
（2）画出二次函数的图像；

1. 二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=3，最小值为－2，，且过（0，1），求此函数的解析式。

3. 已知抛物线开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，－3）两点。
（1）若抛物线的对称轴为直线＝－1，求此抛物线的解析式；
（2）如果抛物线的对称轴在轴的左侧，试求的取值范围；

4. 如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．
⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；

5. (中考变式）如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。交Y轴于C,求该抛物线的解析式与△ABC的面积。

9. 代数与几何的综合
例1：你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)
( )
A．1．5 m B．1．625 m　　　　 　　
C．1．66 m D．1．67 m
答案：B

例2：已知抛物线与轴交于点A，与轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，则= ，= ．
练习：已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由．
点拨：本类题主要考察二次函数表达式的求法，二次函数与几何知识的运用。面广，知识综合性强。复习时要着重深究点、线、面中所包含的隐含条件，要用运动、发展、全面的观点去分析图形，并注意到图形运动过程中的特殊位置。
总扩展练习：
例（拓展，2008年武汉市中考题，12）
下列命题中正确的是
若b2－4ac＞0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3
若b2－4ac=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。
当c=－5时，不论b为何值，抛物线y=ax2+bx+c一定过y轴上一定点。
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点，则方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根。
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点A、B，与y轴交于c点，c=4，S△ABC=6，则抛物线解析式为y=x2－5x+4。
若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在x轴下方，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。
若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为0。
若a－b+c=2，则抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）必过一定点。
若b2＜3ac，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴一定没有交点。
若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx2+bx+a的图象与x轴必有两个交点。
若b=0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。
点拨：本题主要考查二次函数图象及其性质，一元二次方程根与系数的关系，及二次函数和一元二次方程二者之间的联系。复习时，抓住系数a、b、c对图形的影响的基本特点，提升学生的数形结合能力，抓住抛物线的四点一轴与方程的关系，训练学生对函数、方程的数学思想的运用。