二次函数复习课.doc

中考专项-二次函数课堂笔记：复习指导课堂笔记：知识归纳掌握情况二次函数1、 二次函数的意义2、 二次函数表达式3、 二次函数图象及其性质4、 根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴5、用二次函数及其图象解决简单的实际问题6、利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解一、 二次函数知识点1. 二次函数的定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.例：如果函数y=(m2)x是二次函数, 求常数m的值.【思路点拨】该函数是二次函数, 那么m2+m4=2, 且m20解: y=(m2)x是二次函数m2+m4=2, 即m2+m6=0 解这个一元二次方程, 得m1=3, m22当m=3时, m2=50, 符合题意当m=2时, m20, 不合题意.常数m的值为3.同类练习：已知：函数（m是常数）. m为何值时，它是二次函数？2. 二次函数的解析式三种形式一般式 ： y=ax2 +bx+c(a0) 顶点坐标（）顶点式 ： 二次函数用配方法可化成：的形式（），其中. 顶点坐标（h, k） 交点式 对称轴例：1.将二次函数yx22x3，化为y(xh)2k的形式，结果为（ ）Ay(x1)24 By(x1)24Cy(x1)22 D y(x1)222若二次函数配方后为则、的值分别为（ ）A、0.5 B、0.1 C、4.5 D、4.13. 二次函数图像与性质（1）抛物线中，的作用1）决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.yxO2）和共同决定抛物线对称轴的位置：对称轴：a与b同号（即ab0） 对称轴在y轴左侧 a与b异号（即ab0） 对称轴在y轴右侧 3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： ，抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴.总结：以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .（中考非常喜欢考查根据图像判断a、b、c的符号或者反过来根据a、b、c符号来判断图像。）例1：已知=次函数yax+bx+c的图象如图则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a2b+c， 2a+b，2ab中，其值大于0的个数为（ ） A2 B 3 C、4 D、5点拨：本题考查二次函数图像性质，a的符号由开口方向确定，b的符号由对称轴和a共同决定，c看其与y轴的交点坐标，a+b+c，4a2b+c看x取某个特殊值时y的值可从图像中直观发现例2：（2009湖北省荆门市）函数y=ax1与y=ax2bx1（a0）的图象可能是（ ）A B C D点拨：本题考查函数图象与性质，当时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D是错的，函数y=ax1与y=ax2bx1（a0）的图象必过（0，1），所以C是正确的，故选C-1yx5x=22O课堂练习：1、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么下列判断不正确的是（ ）Aac0 Cb= -4a D关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=1,x2=52、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：ac0；a+b=0；4acb2=4a；a+b+c0.其中正确的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 43. 二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是（ ）（2）抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 1）决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. 2）求抛物线的顶点、对称轴的方法：1)公式法：，顶点是，对称轴是直线.2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是.3)运用抛物线的对称性：当横坐标为x1, x2 ，其对应的纵坐标相等，那么对称轴例1：.二次函数的图像的顶点坐标是（ ） A（-1，8） B.（1，8） C（-1，2） D（1，-4）点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式例2：二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）A 开口向下、对称轴为、顶点坐标（2，9） B开口向下、对称轴为，顶点坐标（2，9）C开口向上，对称轴为，顶点坐标（2，9） D开口向上，对称轴为，顶点坐标（2，9）例3：已知抛物线与轴的交点都在原点右侧，则点M（）在第 象限例4：二次函数的图象上有两点(3，8)和(5，8)，则此拋物线的对称轴是（ ）Ax4 B. x3 C. x5 D. x1。例5：(2007佛山中考题)已知二次函数（是常数），与的部分对应值如下表，则当满足的条件是 时，；当满足的条件是 时，。（当x=4时，y= ）0123020（3）增减性，最大或最小值当a0时，在对称轴左侧（当时），y随着x的增大而减少；在对称轴右侧（当时），y随着x的增大而增大；当a0时，函数有最小值，并且当x=，；当a0时，函数有最大值，并且当x=，；例1: 已知二次函数y=x2+2x+1. (1) 写出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (2) 当x为何值时, y随x的增大而减小? 当x为何值时, y随x的增大而增大? (3) 该函数是有最大值还是最小值? 此时x的值为多少?【思路点拨】利用公式法求顶点坐标和对称轴.解: (1) 0, 函数图像开口向上. 2, 1.函数图象的对称轴是直线x=2, 顶点坐标是(2, 1). (2) 由(1) 可知: 当x2时, y随x的增大而减小; 当x2时, y随x的增大而增大. (3) 由0知, 该函数有最小值. 由(1)可知当x2时, 函数有最小值1.【方法点评】(1) 求二次函数图象的对称轴、顶点坐标可用配方法和公式法两种方法, 本例运用公式法. (2) 讨论二次函数的性质时, 可先求出其图象对称轴和顶点坐标, 并明确图明的开口方向. 再画出草图, 然后根据草图说明性质, 也可不画草图, 直接说明.例2：阅读下列材料, 探究问题.已知正方形的周长为4a, 面积为S. (1) 求S与a的函数关系式; (2) 画出它的图象, 求出S6cm2时, 正方形的周长; (4) 根据函数图象, 求出a取何值时, S.解: (1) 正方形的周长为4a, 其边长为a.正方形的面积为Sa2.(2) 列表a3210123S9410149画出图象如图所示(3) 当S=6cm2时, a=cm, 的周长为4cm.(4) 当a=cm时, S=cm2, 且此函数在其取值范围内, S随a的增大而增大.当a或a时, S.请你就上述材料谈谈你的感受, 并与同伴交流从中获利的启迪【思路点拨】上述问题是二次函数y=x2的实际应用题. 在解题过程中, 由于忽视了对自变量a的取值范围的讨论, 致使整个过程发生错误. 作为几何量, 边长a应是个正数, 即a0, 所以图象只是抛物线S=a2的一部分, 且不包括最低点(0, 0).正确解法如下:(1) 正方形的周长为4a, 其边长为a.正方形的面积Sa2(a0).(2) 列表:a123S149画出图象如图所示.(3) 当S6cm2, a=cm(acm不合题意, 舍去). 故正方形的周长为4cm.(4) 当a=cm时, S=cm2, 且函数在取值范围内S随a的增大而增大, 当acm时, Scm2.【方法点评】上述问题是一个实际应用题, 所以注意自变量a的取值范围, 运用图象来解决问题.例3：若二次函数的图像开口向上，与x轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时时，对应的y1 与y2的大小关系是（ ）Ay1 y2 D.不确定点拨：本题可用两种解法 解法1：利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值y随x的变化规律确定：a0时，抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大；a0时，抛物线上越靠近对称轴的点对应的函数值越大 解法2：求值法：将已知两点代入函数解析式，求出a，b的值 再把横坐标值代入求出y1 与y2 的值，进而比较它们的大小变式1：已知二次函数上两点，试比较的大小变式2：已知二次函数上两点，试比较的大小（1,-2）-1变式3：已知二次函数的图像与的图像关于y轴对称，是前者图像上的两点，试比较的大小练习：1.如图，已知二次函数的图象经过点（1，0），（1，2），当随的增大而增大时，的取值范围是 2. 已知二次函数y=x22x3, 则函数值y0时, 对应x取值范围是.3. 二次函数有（ ）A 最大值B 最小值C 最大值D 最小值4. 求二次函数y=3x2+12x-29的最小值。 若二次函数的图像开口向上，与x轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时时，对应的y1 与y2的大小关系是（ ）Ay1 y2 D.不确定5.（烟台市2009年中考题）p67如图，在一块三角形区域ABC中，C=90，边AC=8m，BC=6m，现要在ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上。 求ABC中AB边上的高h；设DG=x,当x取何值时，水池DEFG的面积(S)最大？答案：h=4.8m x=2.4m S有最大值12m2（4）几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴)(0,0)(轴)(0, )(,0)(,)()(5)图像的平移步骤：1）配方 ，确定顶点（h,k）；2）对x轴 左加右减；对y轴 上加下减。例：二次函数y=ax2+bx+c的图象向左平移2个单位, 再向上平移3个单位, 得二次函数y=x22x+1, 求b和c.【思路点拨】本题原函数解析式中的一次项系数b, 常数项c是待定的. 解题关键是需先求抛物线的顶点坐标, 根据两个抛物线的平移情况, 可确定其顶点坐标.解: y=x22x+1=(x1)2,抛物线y=x22x+1的顶点是B(1, 0), 根据题意知: 把抛物线向下平移3个单位,再向右平移2个单位, 就得到抛物线y=x2+bx+c, 这时由顶点B(1, 0)平移到A(3, 3)处, 所以抛物线y=x2+bx+c的顶点是(3, 3).y=x2+bx+c=(x3)23=x26x+6.b=6, c=6.【方法点评】本题根据抛物线的顶点的移动变化确定函数解析式, 从图象顶点的变化直观地找到解题思路, 体现了数形结合的基本思想, 这是一个基本的解题途径, 也是一条行之有效的坦途.方法二：函数y=ax2+bx+c的图象向左平移2个单位后得函数解析式为，再向上平移3个单位，得函数解析式为化简后得依题平移后函数解析式应为y=x22x+1得随堂练：1. 把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是则原二次函数的解析式为2.将函数y=3x2平移到顶点为（1,2）处，请问怎么平移？3.把抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）（A）=3(x+3)2-2 （B）=3(x+2)2+2 （C）=3(x-3)2-2 （D）=3(x-3)2+2（6）二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点。随堂练：请画出二次函数y=3x2+12x -29的图像练习：（1）请在坐标系中画出二次函数y=-x2+2x的大致图象；（2）在同一个坐标系中画出y=-x2+2x的图象向上平移两个单位后的图象；（3）直接写出平移后的图象的解析式注：图中小正方形网格的边长为17.二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况。二次函数图象与轴的交点个数：（1） 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根这两点间的距离 （2） 当时，图象与轴只有一个交点； （3）当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有练习：1. 二次函数的值永远为负值的条件是 0， 02. 函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）A B C D8. 用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. (2)顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.例1.（2011年佛山中考题）如图，已知二次函数的图像经过、；（1）求二次函数的解析式；（2）画出二次函数的图像；1. 二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=3，最小值为2，且过（0，1），求此函数的解析式。3. 已知抛物线开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，3）两点。（1）若抛物线的对称轴为直线1，求此抛物线的解析式；（2）如果抛物线的对称轴在轴的左侧，试求的取值范围；4. 如图，抛物线y=x2+bx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；判断ABC的形状，证明你的结论；5. (中考变式）如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。交Y轴于C,求该抛物线的解析式与ABC的面积。9. 代数与几何的综合例1：你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、25 m处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是15 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( )A15 m B1625 m C166 m D167 m答案：B例2：已知抛物线与轴交于点A，与轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，SABC=3，则= ，= 练习：已知二次函数（）的图象经过点，直线（）与轴交于点（1）求二次函数的解析式；（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由点拨：本类题主要考察二次函数表达式的求法，二次函数与几何知识的运用。面广，知识综合性强。复习时要着重深究点、线、面中所包含的隐含条件，要用运动、发展、全面的观点去分析图形，并注意到图形运动过程中的特殊位置。总扩展练习：例（拓展，2008年武汉市中考题，12）下列命题中正确的是若b24ac0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3若b24ac=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。当c=5时，不论b为何值，抛物线y=ax2+bx+c一定过y轴上一定点。若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点，则方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根。若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点A、B，与y轴交于c点，c=4，SABC=6，则抛物线解析式为y=x25x+4。若抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点在x轴下方，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。若抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过原点，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为0。若ab+c=2，则抛物线y=ax2+bx+c（a0）必过一定点。若b23ac，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴一定没有交点。若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx2+bx+a的图象与x轴必有两个交点。若b=0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。点拨：本题主要考查二次函数图象及其性质，一元二次方程根与系数的关系，及二次函数和一元二次方程二者之间的联系。复习时，抓住系数a、b、c对图形的影响的基本特点，提升学生的数形结合能力，抓住抛物线的四点一轴与方程的关系，训练学生对函数、方程的数学思想的运用。