资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC=3，AB=5，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．
2．关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一个解为x＝﹣1，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．5 D．﹣4
3．第一中学九年级有340名学生，现对他们的生日进行统计（可以不同年），下列说法正确的是（ ）
A．至少有两人生日相同 B．不可能有两人生日相同
C．可能有两人生日相同，且可能性较大 D．可能有两人生日相同，但可能性较小
4．若△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，则这两个三角形的面积比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
5．有一个正方体，6个面上分别标有1～6这6个整数，投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．下列调查中,最适合采用普查方式的是（ ）
A．对学校某班学生数学作业量的调查
B．对国庆期间来山西的游客满意度的调查
C．对全国中学生手机使用时间情况的调查
D．环保部广对汾河水质情况的调查
7．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
8．若角都是锐角，以下结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的是( )
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
9．如图，一段公路的转弯处是一段圆弧，则的展直长度为（ ）
A．3π B．6π C．9π D．12π
10．对于实数，定义运算“*”；关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且，则 S△ADE：S四边形BCED 的值为（ ）
A．1： B．1：3 C．1：8 D．1：9
12．如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（ ）
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和俯视图
二、填空题（每题4分，共24分）
13．两地的实际距离是，在地图上众得这两地的距离为，则这幅地图的比例尺是___________．
14．如图，等边边长为2，分别以A，B，C为圆心，2为半径作圆弧，这三段圆弧围成的图形就是著名的等宽曲线——鲁列斯三角形，则该鲁列斯三角形的面积为___________．
15．如图，四边形的两条对角线、相交所成的锐角为，当时，四边形的面积的最大值是______.
16．如图，点是双曲线在第二象限分支上的一个动点，连接并延长交另一分支于点，以为底作等腰，且，点在第一象限，随着点的运动点的位置也不断变化，但点始终在双曲线上运动，则的值为________.
17．如下图，圆柱形排水管水平放置，已知截面中有水部分最深为，排水管的截面半径为，则水面宽是__________．
18．若抛物线y＝x2﹣4x+m与直线y＝kx﹣13（k≠0）交于点（2，﹣9），则关于x的方程x2﹣4x+m＝k（x﹣1）﹣11的解为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，有三张不透明的卡片，除正面标记有不同数字外，其它均相同．将这三张卡片反面朝上洗匀后，从中随机抽取一张；放回洗匀后，再随机抽取一张．我们把第一次抽取的卡片上标记的数字记作，第二次抽取的卡片上标记的数字记作．
（1）写出为负数的概率；
（2）求使得一次函数的图象经过第二、三、四象限的概率．（用树状图或列表法求解）
20．（8分）有一张长，宽的长方形硬纸片（如图1），截去四个全等的小正方形之后，折成无盖的纸盒（如图2）.若纸盒的底面积为，求纸盒的高.
21．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直接写出的面积 ．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是（m，﹣4），连接AO，AO＝5，sin∠AOC＝．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接OB，求△AOB的面积．
23．（10分）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间的关系如下表．
x（元/件）
15
18
20
22
…
y（件）
250
220
200
180
…
（1）直接写出：y与x之间的函数关系 ；
（2）按照这样的销售规律，设每天销售利润为w（元）即（销售单价﹣成本价）x每天销售量；求出w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系；
（3）销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
24．（10分）（1）计算：
（2）解不等式组：，并求整数解。
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）请画出将△ABC向下平移5个单位后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长．
26．如图1,在平面内,不在同一条直线上的三点同在以点为圆心的圆上,且的平分线交于点,连接,．
（1）求证：；
（2）如图2,过点作,垂足为点,作,垂足为点,延长交于点,连接．若,请判断直线与的位置关系,并说明理由．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
【详解】过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴，∵FC=FG，∴，解得：FC=，即CE的长为．故选A．
【点睛】
本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．
2、B
【分析】把x＝﹣1代入方程x1﹣mx﹣3＝0得1+m﹣3＝0，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：把x＝﹣1代入方程x1﹣mx﹣3＝0得1+m﹣3＝0，解得m＝1．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查对一元二次方程的解，解一元一次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握
3、C
【分析】依据可能性的大小的概念对各选项进行逐一分析即可．
【详解】A. 因为一年有365天而某学校只有340人，所以至少有两名学生生日相同是随机事件.故本选项错误；
B. 两人生日相同是随机事件，故本选项错误；
C. 因为320365=6473>50%，所以可能性较大.正确；
D. 由C可知，可能性较大，故本选项错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查了可能性的大小，也考查了我们对常识的了解情况.
4、C
【分析】由△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，根据相似三角形的性质，即可求得答案．
【详解】∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，
∴这两个三角形的面积比为4：1．
故选C．
【点睛】
此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．
5、A
【解析】投掷这个正方体会出现1到6共6个数字，每个数字出现的机会相同，即有6个可能结果，而这6个数中有1，3，5三个奇数，则有3种可能，根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：∵在1～6这6个整数中有1，3，5三个奇数，
∴当投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字为奇数的概率是：=．
故选：A．
【点睛】
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
6、A
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点对四个选项进行判断．
【详解】解:A. 对学校某班学生数学作业量的调查,适合采用普查方式,故正确;
B. 对国庆期间来山西的游客满意度的调查,适合采用抽样调查,故此选项错误;
C. 对全国中学生手机使用时间情况的调查, 适合采用抽样调查,故此选项错误;
D. 环保部广]对汾河水质情况的调查, 适合采用抽样调查,故此选项错误;
故选:A.
【点睛】
本题考查了全面调查与抽样调查：如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．
7、B
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】∵a＜0，
∴抛物线的开口方向向下，
故第三个选项错误；
∵c＜0，
∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
故第一个选项错误；
∵a＜0、b＞0，对称轴为x=＞0，
∴对称轴在y轴右侧，
故第四个选项错误．
故选B．
8、C
【分析】根据锐角范围内 、 、 的增减性以及互余两锐角的正余弦函数间的关系可得．
【详解】①∵随 的增大而增大，正确；
②∵随 的增大而减小，错误；
③∵随 的增大而增大，正确；
④若，根据互余两锐角的正余弦函数间的关系可得，正确；
综上所述，①③④正确
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了锐角的正余弦函数，掌握锐角的正余弦函数的增减性以及互余锐角的正余弦函数间的关系是解题的关键．
9、B
【解析】分析：直接利用弧长公式计算得出答案．
详解：的展直长度为：=6π（m）．
故选B．
点睛：此题主要考查了弧长计算，正确掌握弧长公式是解题关键．
10、C
【分析】设，根据定义得到函数解析式，由方程的有三个不同的解去掉函数图象与直线y=t的交点有三个，即可确定t的取值范围.
【详解】设，由定义得到
，
∵方程恰好有三个不相等的实数根，
∴函数的图象与直线y=t有三个不同的交点，
∵的最大值是
∴若方程恰好有三个不相等的实数根，则t的取值范围是，
故选：C.
【点睛】
此题考查新定义的公式，抛物线与直线的交点与方程的解的关系，正确理解抛物线与直线的交点与方程的解的关系是解题的关键.
11、C
【分析】易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，继而求得S△ADE：S四边形BCED的值．
【详解】∵，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE:S△ABC＝1:9，
∴S△ADE:S四边形BCED＝1:8，
故选C.
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．
12、B
【解析】主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左侧面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结合图形即可作出判断．
解：根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图．
故选B．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1:1
【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺=图上距离：实际距离”即可求得地图的比例尺．
【详解】解：因为，
所以这幅地图的比例尺是．
故答案为：1:1．
【点睛】
本题考查比例尺．比例尺=图上距离：实际距离，在计算比例尺时一定要将实际距离与地图上的距离的单位化统一．
14、
【分析】求出一个弓形的面积乘3再加上△ABC的面积即可．
【详解】
过A点作AD⊥BC，
∵△ABC是等边三角形，边长为2，
∴AC=BC=2，CD=BC=1
∴AD=
∴弓形面积=
.
故答案为：
【点睛】
本题考查的是阴影部分的面积，掌握扇形的面积计算及等边三角形的面积计算是关键．
15、
【分析】设AC=x,根据四边形的面积公式，，再根据得出，再利用二次函数最值求出答案.
【详解】解：∵AC、BD相交所成的锐角为
∴根据四边形的面积公式得出，
设AC=x，则BD=8-x
所以，
∴当x=4时，四边形ABCD的面积取最大值
故答案为：
【点睛】
本题考查的知识点主要是四边形的面积公式，熟记公式是解题的关键.
16、2
【分析】作轴于D，轴于E，连接OC，如图，利用反比例函数的性质得到点A与点B关于原点对称，再根据等腰三角形的性质得，，接着证明∽，根据相似三角形的性质得，利用k的几何意义得到，然后解绝对值方程可得到满足条件的k的值．
【详解】解：作轴于D，轴于E，连接OC，如图，
过原点，
点A与点B关于原点对称，
，
为等腰三角形，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
而，
，
即，
而，
．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；在图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．
17、
【分析】利用垂径定理构建直角三角形，然后利用勾股定理即可得解.
【详解】设排水管最低点为C，连接OC交AB于D，连接OB，如图所示：
∵OC=OB=10，CD=5
∴OD=5
∵OC⊥AB
∴
∴
故答案为：.
【点睛】
此题主要考查垂径定理的实际应用，熟练掌握，即可解题.
18、x1＝2，x2＝1
【分析】根据抛物线y＝x2﹣1x+m与直线y＝kx﹣13（k≠0）交于点（2，﹣9），可以求得m和k的值，然后代入题目中的方程，即可解答本题．
【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣1x+m与直线y＝kx﹣13（k≠0）交于点（2，﹣9），
∴﹣9＝22﹣1×2+m，﹣9＝2k﹣13，
解得，m＝﹣5，k＝2，
∴抛物线为y＝x2﹣1x﹣5，直线y＝2x﹣13，
∴所求方程为x2﹣1x﹣5＝2（x﹣1）﹣11，
解得，x1＝2，x2＝1，
故答案为：x1＝2，x2＝1．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数与一次函数的交点问题，交点既满足二次函数也满足一次函数，带入即可求解.
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）
【分析】（1）用负数的个数除以数的总数即为所求的概率；
（2）画树状图列举出所有情况，看k＜0，b＜0的情况占总情况的多少即可．
【详解】解：（1）共有3个数，其中负数有2个，那么为负数的概率为
（2）画树状图可知，
两次抽取卡片试验共有9种不同结果 ,每种可能性相同
“一次函数图象经过第二、三、四象限”等价于“且”
抽取卡片满足，有 4 种情况
所以，一次函数图象经过第二、三、四象限的概率是．
【点睛】
考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．注意过二、三、四象限的一次函数的k为负数，b为负数．
20、纸盒的高为.
【分析】设纸盒的高是，根据题意，其底面的长宽分别为（40-2x）和（30-2x），根据长方形面积公式列方程求解即可.
【详解】解：设纸盒的高是.
依题意，得.
整理得.
解得，（不合题意，舍去）.
答：纸盒的高为.
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，根据题意用含x的式子表示底面的长和宽，正确列方程，解方程是本题的解题关键.
21、（1）y=﹣x+5，y=；（2）
【分析】（1）由点B在反比例函数图象上，可求出点B的坐标，将点A的坐标代入反比例函数即可求出反比例函数解析式；将点A和点B的坐标代入一次函数y=k1x+b即可求出一次函数解析式；
（2）延长AB交x轴与点C，由一次函数解析式可找出点C的坐标，通过分割图形利用三角形的面积公式即可得出结论；
【详解】⑴解：将A（1,4）代入y=，
得k2=4，
∴该反比例函数的解析式为y=，
当x=4时代入该反比例函数解析式可得y=1，即点B的坐标为（4，1），
将A（1，4）B（4，1）代入y=k1x+b中，
得，
解得k1=﹣1，b=5，
∴该一次函数的解析式为y=﹣x+5；
（2）设直线y=﹣x+5与x轴交于点C，如图，
当y=0时，−x+5=0，
解得：x=5，
则C（5，0），
∴S△AOB=S△AOC−S△BOC=×5×4−×5×1=．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及解二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键．
22、（1）y＝﹣，y＝﹣x﹣1；（2）
【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，通过解直角三角形求出线段AE、OE的长度，即求出点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式即可,再由点B在反比例函数图象上可求出点B的坐标，由点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式；
（2）令一次函数解析式中y＝0即可求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：（1）过点作轴于点，
则．
在中，，，
，
，
点的坐标为．
点在反比例函数的图象上，
，解得：．
反比例函数解析式为．
点在反比例函数的图象上，
，解得：，
点的坐标为．
将点、点代入中得：，
解得：，
一次函数解析式为．
（2）令一次函数中，则，
解得：，即点的坐标为．
．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
23、（1）y＝﹣10x+1；（2）w＝﹣10x2+500x﹣10；（3）销售单价定为 25 元时，每天销售利润最大，最大销售利润 2250 元．
【分析】（1）根据题意得出日销售量y是销售价x的一次函数，再利用待定系数法求出即可；
（2）根据销量×每件利润=总利润，即可得出所获利润W为二次函数；
（3）将（2）中的二次函数化为顶点式，确定最值即可．
【详解】（1）由图表中数据得出y与x是一次函数关系，设解析式为：y=kx+b，
则，
解得：．
故y与x之间的函数关系式为：y=﹣10x+1．
故答案为：y=﹣10x+1．
（2）w 与 x 的函数关系式为：
w=(x﹣10)y
=(x﹣10)(﹣10x+1)
=﹣10x2+500x﹣10；
（3）w=﹣10x2+500x﹣10
=﹣10(x﹣25)2+2250，
因为﹣10＜0，所以当 x=25 时，w 有最大值．w 最大值为 2250，
答：销售单价定为 25 元时，每天销售利润最大，最大销售利润 2250 元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用及二次函数最大值求法，难度适中，解答本题的关键是根据题意，逐步求解，由易到难，搞清楚这两个函数之间的联系．
24、（1）；（2）原不等式组的整数解为:-4，±1 ，±2，±1,0.
【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可；
（2）先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，进而求其整数解即可．
【详解】（1）解：（1）原式
．
（2）解：
由①得 ≥；
由②得≤1；
∴﹣4≤x≤1．
∴原不等式组的整数解为:-4，±1 ，±2，±1,0
【点睛】
本题考查了实数的混合运算和解不等式组，正确解出不等式组的解集是解决本题的关键．
25、（1）图见解析；（2）图见解析；路径长π．
【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作；
（2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2，然后计算出OB的长后利用弧长公式计算点B旋转到点B2所经过的路径长．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，
OB＝＝2
点B旋转到点B2所经过的路径长＝＝π．
【点睛】
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
26、（1）见解析 （2）见解析
【分析】(1)根据角平分线的定义和圆周角定理的推论，即可得到结论；
(2)连接,过作交的延长线于,由为直径,得,由，得，进而可得，即可得到结论.
【详解】（1）∵平分,
∴,
∴,
∴；
（2）直线与相切，理由如下：
连接,过作交的延长线于,
∵为直径,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴为的切线．
【点睛】
本题主要考查垂径定理和圆的切线的判定定理，掌握圆的切线的判定定理，是解题的关键.
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