广义Nekrasov矩阵新的判定条件.pdf

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2023,12(8),3566-3575 Published Online August 2023 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2023.128355 文章引用文章引用:黄琦,庹清,朱开心.广义 Nekrasov 矩阵新的判定条件J.应用数学进展,2023,12(8):3566-3575.DOI:10.12677/aam.2023.128355 广义广义Nekrasov矩阵新的判定条件矩阵新的判定条件 黄黄 琦琦，庹庹 清清*，朱开心，朱开心 吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首 收稿日期：2023年7月16日；录用日期：2023年8月6日；发布日期：2023年8月16日 摘摘 要要 广义广义Nekrasov矩阵是一类应用广泛的特殊矩阵。本文主要研究矩阵是一类应用广泛的特殊矩阵。本文主要研究Nekrasov矩阵的判定问题，通过构造新的矩阵的判定问题，通过构造新的放缩因子放缩因子，从而给出了一组新的广义从而给出了一组新的广义Nekrasov矩阵的判定条件，推广和改进了已有的结果，并用数值算矩阵的判定条件，推广和改进了已有的结果，并用数值算例说明改进后方法的优越性。例说明改进后方法的优越性。关键词关键词 广义广义Nekrasov矩阵，弱矩阵，弱Nekrasov矩阵，判定条件矩阵，判定条件 New Decision Conditions for Generalized Nekrasov Matrix Qi Huang,Qing Tuo*,Kaixin Zhu College of Mathematics and Statistics,Jishou University,Jishou Hunan Received:Jul.16th,2023;accepted:Aug.6th,2023;published:Aug.16th,2023 Abstract Generalized Nekrasov matrices are a kind of special matrices which are widely used.This paper mainly studies the Nekrasov matrices decision problem.In this paper,a new set of iterative deci-sion conditions for generalized Nekrasov matrices are given by constructing new reduction factors.The existing results are extended and improved,and the superiority of the improved method is il-lustrated by numerical examples.Keywords Generalized Nekrasov Matrix,Weak Nekrasov Matrix,Decision Condition *通讯作者。黄琦 等 DOI:10.12677/aam.2023.128355 3567 应用数学进展 Copyright 2023 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 近年来，广义 Nekrasov 矩阵是矩阵理论，经济数学，数值分析等众领域有广泛应用的一类重要特殊矩阵，因此，判定一个矩阵是否为广义 Nekrasov 矩阵有着重要的意义。许多学者对广义 Nekrasov 矩阵判定条件的研究已经取得诸多研究成果(见文1-10)。其中，文2分别从构造新的递进判别系数和二次划分指标集这两种不同的思路出发，提出了判定广义 Nekrasov 矩阵的新方法；文3通过构造特殊的正对角矩阵，采用对非占优行区间的划分判定的方法，得到了广义 Nekrasov 矩阵的一类判别法；文5引入了参数 p，为判定条件构造了小于 1 的迭代递进系数，从而拓宽了判定范围；文4改进了文3的主要结论，利用不同的划分方式对非占优行下指标集进行划分，构造特殊的正对角矩阵，结合不等式的放缩技巧，给出了新的判定条件和迭代算法，使得对矩阵进行判定所需的迭代次数较少。本文从矩阵的元素出发，通过构造新的放缩因子，进而给出新的广义 Nekrasov 矩阵判定条件，改进了文4的主要结果，并用数值方法说明了该判定方法的优越性和实用性。用表示 n 阶复方阵集，1,2,nn=为自然数集，设()n nijAaC=，记()()111,jjRAajn=()()(),2,.jiijijj ij ijjRARAaain jna=+()()()()10,2,.jiijj ijjRAlAlAain jna=将1,2,nn=进行划分，并按照矩阵的行下标区域所满足的条件进行划分()1:0,iiiNinaRA=定义1 3设矩阵()n nijAaC=，若in，都有()iiiaRA，则称A为弱Nekrasov矩阵，记作0AN；若不等式严格成立，则称 A 为 Nekrasov 矩阵，记作AN；若存在正对角矩阵 D，使ADN,则称 A 为广义 Nekrasov 矩阵，记作*AN。引理 1 3设矩阵()n nijAaC=,若存在22NN，12NnN=，使()()iiijjjijaa，有,其中()1,iiitt Nt ilAa=+，2,iitt Nt ia=，则 A 为广义 Nekrasov 矩阵。引理 2 4设矩阵为 Nekrasov 矩阵，则0,iiain。引理 3 5设矩阵为 Nekrasov 矩阵，则2N 。引理 4 6设矩阵，对矩阵BAD=,若12,nDdiag d dd=为正对角矩阵，且对in，当1id 时，有()()iilBlA。若1N为空集，则 A 为广义 Nekrasov 矩阵。若2N为空集，则 A 不是广义 Nekrasov 矩阵。所以本文假设1N，2N不为空集，且对角元0iia。Open AccessOpen Access黄琦 等 DOI:10.12677/aam.2023.128355 3568 应用数学进展 2020 年，在文献4的定理 2.1 给出了如下结果：定理 1 4 设()n nijAaC=，若()()()()()()()()()()()()()()112122112111112,ttiiiititjjtNttttNNttitjttttt it it ijtttt itjtjtNttttjNNRARAalAaaRAaaaRARAalAaaiNjNaa+()()()()()()()()()()()()()()()()1121112122,111122,ttiiititjjtNttttNNttitjtjtNtttt it it ijttttttttNitjtjNRARARAlAaaRAaaaRARAalAaaiNjNaa+则 A 为广义 Nekrasov 矩阵。其中()()()()()()()111112|0,|,iiiiiiiNinaRANinRAaRA=()()()()121.tiiititi Ni Nttt it iRARAlAaaa=+我们对该定理的条件进行改进，得到判定范围更广的新条件。2.主要结果主要结果()()122,max,tiititt Nt Nttt it ii NiiRAlAaaara+=()()()122,iiititt Nt Nt it iQAlAaraiN=+()()()()()121,2,tiiiititit Nt Nttiit it iQAP AP AlAaaiNaa=+=()()()()12111111,211,|0,iiiitittt Nt Nt it iNiNalAaaNNN=+=黄琦 等 DOI:10.12677/aam.2023.128355 3569 应用数学进展 定理 2 设矩阵()n nijAaC=()()()()()()()11211221212,1,1,11,2,2,1,iiiitittjjjjtttttNNNittjttjt it ijjttttt itjtjtNNNalAaaaaaAaailNjN+(1)()()()()()()()11221121212,2,1,1,11,2,2,2,iiitittjjttiijjttttjt it ijtttNNNittjtjttNNt itjtNjalAaaaaaAaaiNljN+(2)则 A 为广义 Nekrasov 矩阵。证明：若存在某个0j使得()()00000jjj tt iRAlAa=+=，即000,j tatn tj=，则()1102,iNjN，(1)式 两 边 相 等 且 等 于 0，与 已 知 条 件 矛 盾，故 对2jN，()()0jjjttjRAlAa=+，即0,jtatn tj。由 r 的定义可知，01r，且对于2iN，有()01iiiRAra+=故()01iiiQAra，再由()iP A的定义()()01,iiiiiiP AQAraa (3)则2iN，()1,01iiiiP Aa=+，()()()()121212121,1,2,1,1,11112221110,222iiiitittiitittt Nt Nt Nt Nt it it it iiiiiiiitittiitittt Nt Nt Nt Nt it it it iiiiialAaalAaaaalAaalAaaaa+=+=+=+=所以对于()12iN，有()121,2,01iitittt Nt Nt it iiiilAaaa+(4)()()()()121112,10,iiiititttt it itNNalAaaiN (5)()()()()111212,2,20,.iittt iiiitittNt iNlAaaiNa (6)构造正对角矩阵()123,Xdiag x xx=，其中()()1112,21,21,iiiiNxiNiN=易知，对任意的in，都有1ix，所以 X 为正对角矩阵，记()ijBAXb=，则(),ijijjba xi jn=。由引理 4 知，对任意的in，都有()()iilBlA，in。设()2:jjjNjnbRB=，若2N=，则()()()()1121212,1,1,iiiitittittt Nt Nt Nt it it ialBaaaiN+(7)()()()()1121212,2,1,2,iiiiitittittt Nt Nt Nt it it ialBaaaiN+(8)()()()112121,2,1,2,.iiiiitittittt Nt Nt Nt it it ialBaaaiN+(9)由()()iilBlA，in 及不等式(7)，(8)，(9)得()()()()221112,11,1,ittt Nttt it itiiiitittNiNaANaaila (10)黄琦 等 DOI:10.12677/aam.2023.128355 3571 应用数学进展 ()()()()1121212,2,1,2,iiiiitittittt Nt Nt Nt it it ialAaaaiN (11)()()()112121,1,2,2,jjjjttjjtjttt Nt Nt NtjtjtjaalAaajN+(12)由式(4)，(5)和式(10)，(12)可得()()()()()()()11211122122,1,11,2,121,iiiitijjjttttjt it ijtttt itjtjttjttNNNittjtjttNNNalAaaaaAaajlNaiN+(13)由式(4)，(6)和(11)，(12)可得()()()()()()()21121121211,2,1,11,2,2,21,iiitittjttiijjjttttjtNNNittjtjttNit ijtttt itjNNtjalAaaaaAaaiNjNal+(14)式(13)，(14)分别与条件(1)，(2)矛盾，故2N 。对()1112,iNNjN，由式(1)得()()()()()()()()()()112111212222,1,2,1,1,11,iiijjjjjjtttt iiiiitittjt it ijjtttttNNNiiiitittjjttt it it itNNNit ittNalaaaalabBbBBaAaaaa=()()()()()()()()111221211,2,1,2,.jtttjtjjtttt ijtjttNNittjtjttNNjtjNtijlAlBBaaaaaB+黄琦 等 DOI:10.12677/aam.2023.128355 3572 应用数学进展 对()1212,iNNjN，由式(2)得()()()()()()()()()()211211122212,2,1,2,2,1,1,1,1,iiiiitittjttNNNiiiiitittjiiijjjjjjttttjt it ijjjttttjt it ittttNNNittNalaaaalaaabaBbBBaAa=()()()()()()()()1111121222,1,2,.jttitjtjtjttNNittjtjtjjtttt itjtjijtNNNaaaaalAlBBB+综上所述，对12,iNjN，有()()()()()()iiijjjijbBbBBB。由引理 1 可得BN，所以*AN，即 A 为广义 Nekrasov 矩阵。定理 2：设矩阵()n nijAaC=，若()11iN，存在()12tN，使得0ita，且满足()()()112122,1,iiiitittittt Nt Nt Nt it it ialAaaa+(15)则 A 为广义 Nekrasov 矩阵。证明：由定理 2 的证明可得2iN，1,01i+=+=对2iN，由式(3)得()()()()()()()22111211,2,1,.iiiiiiiitittittiNiiititt Nt Ntiittt it iiNNtt it iaP AlAaaaRQAblABaaa=+=+黄琦 等 DOI:10.12677/aam.2023.128355 3573 应用数学进展 对()12iN，有()()()()()11122212,2,1,1.iiiiiiiiiitittt Nt Nt it itiittt ititittittiNNNit ilAaaalAaaaRBaba=+=综上所述，对in，都有()iiiR Bb，所以BN,故*AN，即 A 为广义 Nekrasov 矩阵。注1：对 任 意 的2iN，都 有()1,01iiiiRAa+，令()()()()()()()()()()11122111221121222,1,1,2,2,1,maxmax.jjttttjtjjjtt ijjttttjtjjjttttt itjtjjttNNj NjjttNjttNNj NtjtttjtNttNNlallAaaaAaaQAAaaaa+=+=+易知01+()()()()11212,12,2,1,2,tiitittittNNNiitttt it it ialAaaaiN+则定理 2 改进了文献3的定理 1。3.数值算例数值算例 例 1 51120211200.10.130034200110.00.11810.1100138321.80000201000.200030A=黄琦 等 DOI:10.12677/aam.2023.128355 3574 应用数学进展 经过 Matlab 程序计算，可得，根据定理 1，()11N=，()121N=，()111.0856R=，1i=，7j=时，()()()()()()()()()()()()()()()11212112211111171,117,71171770.1049.tttttNttttNNtttjttNttttNtttt ittttttttNRARARAlAaaRAaaaRARAalAaaaa=+由上述结果可得，定理 1 无法判定矩阵 A 为广义 Nekrasov 矩阵。同样可以验证文献3和文献4都无法判断矩阵 A 为广义 Nekrasov 矩阵，而定理 2 可以直接判定 A 是广义 Nekrasov 矩阵。可得 11N=，22,3,4,5,6,7N=，根据定理 2，()11N=，()121N=，当1,7ij=时，()()()()()()11211121222,112,1,661111,11,666,6116,16662,0.19730.0226,tttttttttttttNNNtttttttNttNtNalAaaaaaAaal=+=其中正对角矩阵0.2173,0.3298,0.1616,0.1771,0.0001,0.0025Xdiag=。2.65181.3036000000.66304.34550.03300.01620.5314001.98890.86916.597000.17620.00012000.02170.32981.29300.17710.00010.0025000.32980.48491.42700.00370.005000000.00250.0025000.06600000.0744B=.例 2 40012010031309240014313020104902030127100.0614390131200411020612101094320210.1063001432000229A=经过 Matlab 计算，可得 11N=，22,3,4,5,6,7N=，根据定理 2，有()11N=，()126,7N=，当6,8ij=时，不满足定理 1 的条件，但是利用本文定理 2 可以判断矩阵 A 为广义 Nekrasov 矩阵。黄琦 等 DOI:10.12677/aam.2023.128355 3575 应用数学进展 4.结论结论 通过进行数值实验，可以得出定理 2 对广义 Nekrasov 矩阵的判定范围比定理 1 更加广泛，故本文给出的主要判定条件改进了现有的结果。致致 谢谢 感谢庹清老师对本文章的悉心指导。基金项目基金项目 国家自然科学基金项目(11461027)；湖南省研究生科研创新项目(CX20231071)。参考文献参考文献 1 Li,W.(1998)On Nekrasov Matrices.Linear Algebra and Its Applications,281,87-96.https:/doi.org/10.1016/S0024-3795(98)10031-9 2 苏安兵,刘建州,丁碧文.广义 Nekraosv 矩阵的新判定方法J.数学理论与应用,2016,36(4):1-7.3 郭爱丽.广义 Nekrasov 矩阵的判别法J.贵州工程应用技术学院学报,2018,36(3):69-74.4 郭爱丽,左建军.广义 Nekrasov 矩阵的判别法及其迭代算法J.高校应用数学学报 A 辑,2020,35(3):356-366.5 王银燕,徐仲,陆全.广义 Nekrasov 矩阵的实用判定准则J.数值计算与计算机应用,2014,35(3):171-180.6 郭爱丽,何颖子.广义 Nekrasov 矩阵的迭代算法J.贵州工程应用技术学院学报,2021,39(3):7-12.7 石玲玲.广义 Nekrasov 矩阵的判定条件J.数学的实践与认识,2021,51(24):264-269.8 Pang,M.and Li,Z.(2003)Generalized Nekrasov Matrices and Applications.Journal of Computational Mathematics,2003,183-188.9 Wang,Y.and Gao,L.(2019)An Improvement of the Infinity Norm Bound for the Inverse of P1,P2-P1,P2-Nekrasov Matrices.Journal of Inequalities and Applications,2019,1-12.https:/doi.org/10.1186/s13660-019-2134-3 10 张劲松,李红.广义严格对角占优矩阵的几个判定条件J.数学的实践与认识,2014,44(3):181-185.