度量视角下分数概念整体建构.pdf

第 卷第期 年月M o d e r nP r i m a r ya n dS e c o n d a r yE d u c a t i o nV o l N o A u g u s t 数学研讨D O I /j c n k i /g 度量视角下分数概念整体建构 收稿日期 作者简介丁伟(),男,浙江湖州人,中小学一级教师,吴兴区师德先进个人.丁伟(湖州市爱山小学教育集团,浙江 湖州 )摘要分数是小学阶段重要、复杂且易混淆的概念,分数定义较容易导致教学碎片化和偏向性,故而对分数的整体性建构显得更为迫切和需要.那么怎样的核心概念可以整体性建构分数教学?核心概念统领下又该怎样推进教学?基于此,在深度解读教材与学情的前提下,以度量视角为主线贯穿分数教学,整体性建构分数单元教学,让分数意义结构化、真假分数概念系统化、分数计算具体化,力图在分数领域让学生形成结构化认知与结构化思维.关键词度量视角;整体建构;分数教学;小学 中图分类号G 文献标志码A 文章编号 ()分数是小学阶段重要、复杂且易混淆的概念,究其原因在于分数的含义多.张奠宙教授在 小学数学研究 一书中将分数的含义划分为四种:定义(份数定义):分数是一个单位平均分之后其中的一份或几份;定义(商定义):分数是两个整数相除的商;定义(比定义):分数是q与p之比;定义(公理化定义):有序的整数对(q,p),其中p.国外学者K i e r e n的研究提出了分数的五个维度,即部分与整体的关系、比率、商、度量、运算.国内学者张丹教授更是进一步压缩为部分与整体的关系、运算、测量、商四种含义.面对如此种种的定义,困扰广大师生的问题也接踵而至.教学中如不去有意识地对多种含义进行沟通,那么学生只能形成碎片化的认知结构.但倘若想实现整体建构,那么怎样的核心概念可以整体性建构分数教学?核心概念统领下又该怎样结构化推进教学?要解决这些问题需要我们回归到分数单元教学的实际问题反思中去寻找线索.一、基于问题退回原点 理清核心概念重构教学路径 假分数造成困扰的根本原因分数的意义在教材中被这样定义:一个物体、一个计量单位或一些物体都可以看作一个整体,把这个整体平均分成若干份,这样的一份或几份都可以用分数来表示.这样教学带来的直接后果是什么?学生很难跳出部分与整体的理解,一致认为部分不可能大于整体,最多等于整体.这也为假分数的理解埋下惑因.那么面对学生产生这样的困惑,到了假分数这节课教材又是怎样处理的?教材安排了例题,借助几何直观直接给出了分数,通过让学生观察、涂色、比较从而引出真假分数概念.这样教学好像很顺畅,其实不然,暗藏着教材编排的强势逻辑,教材直接给出分数,是学生主动建构生成的吗?那如果反过来给出涂色的图形,学生又会填怎样的分数?根据笔者的实际调查结果,学生填的几乎都是和 ,可见教材直接给出的分数和 并不是学生自发主动生成的结果.这样的教学路径存在着强势牵引与思维诱导,且与前面的教学造成了负迁移相冲突.假分数源于除法计算的需要和分数单位的累加,基于假分数的内涵本质考虑,本节课可以和“分数与除法”进行整合教学,通过分数单位的累加,在分数与除法的关系中认识假分数.分数的“量”“率”问题在分数的第二阶段,教材出现了分数“量”“率”问题(如图),这个问题从开始接触直到小学毕业都始终困扰师生.把一根m长的木条锯成同样长的段,每段是这根木条的()(),每段长()()()m()()m.图原因一:人教版教材的编排,从“分数的初步认识”到“分数的意义”一直在强调“率”,直到分数与除法才出现了“量”,如:把个蛋糕平均分给个人,每人分得多少个?而实际上在分数的初步认识中把个月饼平均分给个人,学生在头脑中会有怎样的反应?学生最真实的反应是每人得到个月饼,而教材的处理是将这个作为关系,学生真实的反应是数量,从一开始学生就在这里对量率产生纠结.原因二:在人教版教材三年级下册“小数的初步认识”中(如图),同时出现了“米”“”,并呈现了量率问题,那么图中出现的 米孩子能理解吗?此时学生脑子里对于分数的定义是停留在部分与整体的关系,以份数定义来理解,教材在前面回避了分数作为量的形式,而这里又直接以量来表征.那么这里的教学就导致学生在量率问题上进一步产生纠结.分米是 米,还可以写成 米;分米是 米,还可以写成 米;米分米写成小数是()米.图因此“量”“率”问题需要回归到源头上去解决,而并不是到五年级再来处理,那么把“量”“率”问题前置到三年级,五年级分数又该怎样重新定位教学目标、构建教学实施路径?以核心概念统整分数教学在整数的教学次序中依次计数单位十进制数位位值这个序列展开教学,小数也是如此.而分数是由于无法用整数表示而产生的,实质是一种新的计数单位.不管是整数的计数单位“一”“十”“百”,还是小数的计数单位“”“”“”,或者分数的计数单位、,每一种数都具有各自计数单位累加的属性 度量.通过计数单位的联结,整体性地沟通整数、分数、小数的内部原理.而一旦学生具有这样的融通视野,意识到分数的度量属性(通过分数单位的累加),那么到了假分数的教学才能够真正克服并突破第一阶段教学造成的负迁移.以分数单位为主线甚至可以贯穿至分数的加减法,明白为什么同分母分数的运算分母不变、分子相加减,而异分母分数的运算要先通分,加减法实质上是加减分数单位的个数.同分母之所以可以直接相加减是分数单位相同,异分母是分数单位不同所以需要转化为相同的分数单位.综上所述,在分数的第二阶段教学,度量视角作为主线贯穿分数教学,以分数单位为知识生长点,整体性沟通整数、小数、分数的内部原理,将“真分数假分数”与“分数与除法”有效整合,并打通分数加减法原理.度量视角下分数教学更具有结构化、系统化、具体化.二、基于结构整体建构 度量视角贯穿分数教学 教结构 分数意义结构化分数的实质是一种新的计数单位,度量单位量的个数.不同的是:整数、小数的单位量是固定的,如“一、十、百、千”和“、”,分数的单位量是具有相对性的,如的单位量是、的单位量是,度量的单位量是不一样的.基于分数满足度量的属性,五年级分数的再认识以“度量单位量”为主线整体性沟通整数、分数、小数的内部原理,体验单位量的相对性,理解分数是分数单位个数的累积.【教学片断】()任务驱动,体验分数单位作为标准量.把个圆看作单位“”进行平均分,你能找到哪些分数?单位量是“”.单位量是“”.单位量是“”.()整体性沟通,感悟数系度量本质.师:得到的这么多分数有什么内在联系吗?生:里面有个.生:里面有个,里面有个.生:里面有个,里面有个生:其实这些分数都是由几分之一叠加出来的.(学生自发掌声)师:今天学的分数的分数单位和以前学的整数、小数的计数单位有什么联系和区别?生:分数单位和计数单位都是表示数的大小,其实是一样的.生:分数单位是不固定的,整数、小数的计数单位是固定的.基于分数的本质,通过结构化的材料设计整体性建构引导学生经历分数单位的产生、联系、区别.学生面对这组材料能够产生不一样的分数单位;、之所以分数单位不同是因为分法不同,在具体操作中体验分数单位的动态变化.而产生的、是分数单位不断累加的结果.这也符合整数、小数的度量属性,故而以“计数单位”为联结,打通整数、小数、分数的内部原理,整体性建构可以让学生对数系概念认知形成更强大的结构.用结构 真假分数概念系统化学生对分数有了这样认识后,进一步明确度量的本质是计数单位个数的累加,这也为真假分数概念的教学厘清了主线.教材的编排将“分数与除法”和“真假分数”的教学分为两个课时,ab这个除法算式表示平均分的过程,ab这个分数表示分得的结果,这个结果的可能性是包含小于、等于、大于三种状态.教材之所以划分为两个课时是避免假分数的出现,因为前期分数的份数定义导致学生对分数的理解落入部分小于等于整体.基于此,以度量为主线,算式表示平均分的过程,通过分数单位的累加突破结果的可能性有三种状态,从而自然引出假分数概念,让真假分数概念融入分数与除法,用度量的视角融通构建新知无疑会大大增加整体认知.【教学片断】出示问题:()把个饼平均分给个人,每人分得()个.()把个饼平均分给个人,每人分得()个.()把个饼平均分给个人,每人分得()个.反馈:融通数系:()你能把黑板上的这些分数在数轴上表示出来吗?()分类揭示概念:你会把这些分数分成几类?哪几类?课件出示:基于学生已有认知起点和学科逻辑结构,设计具有结构化的整体性教学.通过课堂实践反映:学生能够通过度量视角(分数单位累加)整体性融通分数与除法、真假分数概念,实现从到再到甚至更多的跨越,抓住变的是分数单位的个数,在度量视角下理解除法算式中的被除数与分数中的分子相匹配的原理,商的实质是分数单位累加的结果.在此基础上,通过在数轴上标数的过程,进一步经历数系拓展的过程,由整数和小数拓展到分数.拓展结构 分数计算具体化算理一直是计算教学中的重点,也是难点.在分数教学中,分数单位相同才能相加减,整数、小数的算理也是一样,相同数位的数才能相加减,即计数单位相同才能相加减.教材的呈现方式是分课时推进,且将同分母分数、异分母分数的加减法划分为四个课时,显示不出内在联系性与整体性.因此,基于整体考量视角,在核心概念的统领下以“计数单位”为主线整合同分母分数、异分母分数加减法教学,帮助学生构建知识网络,形成完整的认知结构.【教学片断】()任务驱动,引发认知冲突.出示问题:?生:(全班一致同意).生:.生:.生:我觉得结果是,不仅要分子相加,分母也要相加,比如两个苹果里面取一个加上三个苹果里面取一个,合起来就是五个苹果里面取走两个,所以是.生:我不同意,我已经预习过书了,不是这样算的,要把和的分母都化成再计算.()多元表征,明晰算理.师:看来我们的问题主要集中在,这个结果到底是多少呢?请你想办法证明.反馈:直观图:半直观半抽象:找到和的最小公倍数;把通分成,把通分成;再相加得,.()沟通梳理,整体建构.师:原来计算加就是计算个加上个,这样的算法以前接触过吗?生:我觉得和整数加法一样的,比如 加,就是 个一加上 个一,合起来就是 个一.生:小数也是这样的,比如 加,就是 个 加上 个,合起来就是 个.数学基础知识的学习不应求全而应求联.本节课学生认知模糊点是异分母分数加减法,即使会算的学生也有很多人不明白其中的算理,这也是本课教学的着力点.借助直观的图沟通语言文字和图、图和算式,从直观认知上升到抽象算法.明确分数加减法是相同计数单位相加减,加减的是计数单位的个数,所以同分母分数加减,分子相加减,分母不变.异分母之所以要先通分就是要统一分数单位,进而将分数加减法与整数、小数加减法建立联系与沟通,辨析形式的不同与本质的相同,形成对小学阶段加减法运算的整体认知,真正做到将碎片化教学结构化联结.三、分数单元整体教学对结构化教学的启示 放眼整体布全局 构建结构化知识全景图学生的数学学习内容本身具有一定的整体性和系统性,教材的分册编写和分课时推进会让整体性变得离散、隐蔽,再加上教师对教学内容体系缺乏系统性认识,进一步导致教学碎片化.例如教学分数时,需要意识到分数起源于测量,其实质是一种新的计数单位,可以打通以前学习的整数的计数单位“一”“十”“百”“千”以及小数的计数单位“”“”“”,通过计数单位的联结,使分数这个概念纳入原有认知体系.但是仅仅看到这样的逻辑联结对概念的整体性建立是不利的,需要从更为广泛的角度解释概念之间的内在联系.笔者以上述整数、小数、分数为例来解读,这三种数之所以能够这样联结是停留在计数层面,用标准的计数单位来测量某一个值.那么计数与计量在本质上是否一脉相承形成更大的结构?回顾以前的计量版块:人民币、长度、质量、面积、体积、角度、时间的计量,虽然计量的对象不同,但是本质上都是用计量标准去度量出结果,所以计数与计量在本源上是一脉相承的,从而将计数与计量纳入度量这个大观念,形成一个更完整的知识结构全景图.紧抓联系促建构 推行结构化教学路径结构化教学顺应数学学科特点,因为在数学的世界里联系是无处不在的,只有抓住联系,才能更好地把握结构、理解结构、生成结构,发展结构化思维,在具体的推行单元整体结构化教学路径时需要做到两方面:()教材重构 由点状离散到系统结构.教材重构是基于知识整体单元的发生发展,而且要顺应学生的认知规律,对知识点之间的关系有本质性的理解,对知识点的动态发生、发展、融合有所领悟,从而对所学知识形成认知结构.例如执教“分数与除法”“真分数假分数”两课,教材的编排是将它们划分独立课时,在“分数与除法”中回避了结果是假分数的情况,这是人为地规避而实际上是会出现假分数作为结果的.到了假分数的教学,为了规避分数的份数定义的强势负迁移,教材通过直接给出分数,学生去涂色即可,导致这些结果的出现并不是学生主动建构生成的.此时我们从整体上重组教材,将假分数的认识整合到分数与除法的关系中,不仅可以突破教学上的难点,还打通了知识间逻辑关联,凸显概念的一般性与系统性.()教学重建 由线性推进到整体建构.整体性呈现问题是整体建构的重要策略与实施路径,将问题置于比较情境之中,学生对数学问题能够主动辨析、比较,体会知识之间的联系,从而将相关知识点能动地纳入学生原有的认知结构中,有助于培养学生串式思考、网状思维能力.例如在教学分数加减法,学生对的计算产生多种研究方法,面对多样化的生成性教学资源需要教师引导学生沟通语言文字与图、图与算式的联系,从意义上理解运算本质,进而将异分母分数加减法与整数、小数加减法进行沟通,理解三种数的加减法实质上都是计数单位的相加减,通过整体呈现教学资源与问题,让学生在求同存异中思辨知识间联系,将新知纳入原有认知体系,形成更完整的认知结构.分数教学的整体性推进、结构化教学是基于知识发生发展的内部系统关联,通过核心概念的统整,以度量视角为主线贯穿,设计具有结构化的教学任务:教结构 分数意义结构化;用结构 真假分数概念系统化;拓展结构 分数计算具体化.只有这样厘清分数知识源头、深度解读教材、结构化推进教学,才有可能在这一领域真正形成结构化思维.参 考 文 献张奠宙,孔凡哲,董建弘,等小学数学研究M第版北京:高等教育出版社,:孙桂丽,韩巧玲,李冬梅,等深挖分数单位沟通分数含义J小学数学教育,():卢江,杨刚义务教育教科书教师教学用书五年级下册M第版北京:人民教育出版社,:郑美玲“度量”定义视角下小学分数教学的思考与建议J小学数学教师,():郑毓信“数学深度教学”十讲之五:思维的深刻性与“联系的观点”J小学数学教师,():翟新伟结构化思维:数学结构化教学的价值指向J小学教学研究,():责任编辑:陈学涛