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西南交通大学学报（社会科学版）2023 年 2 月 JOURNAL OF SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY Feb.2023 第 24 卷 （Social Sciences)Vol.24 增刊第 2 期 课程思政 关于“理论力学”中基本力系的教学及其课堂思政 贾 悦，李 春（西北工业大学力学与土木建筑学院）摘 要：力矩、力偶、力偶矩是理论力学中重要的基本概念，但是，在理论力学实践教学中发现这三个量很容易混淆，而且这三个量的定义及性质经常张冠李戴，所以，我们基于已有的教学经验及资源，总结归纳并详细讨论力矩、力偶及力偶矩的定义、性质及其应用，对教师实践教学及学生课外阅读起到辅助理解的作用。另外，在介绍这一部分的过程中，会涉及力的分量和力的投影这一组概念，在实践教学中发现学生对这两个概念也经常混淆，所以我们详细讨论两者之间的区别及联系。最后，在讨论这一部分内容时，这些概念名词本身蕴含着课堂思政，力矩和力偶是人类发现的两个重要的力学量，与其相关的有一些科学家和历史故事，这些内容看似与传统理论力学教学无关，但是，这些课外知识是直接的课堂思政，不仅可以提高学生学习兴趣，而且可以活跃课堂气氛。关键词：理论力学；力矩；力偶；力偶矩；课堂思政 基金项目：西北工业大学理论力学课程研究教改项目 作者简介：贾 悦，（1986-），男，陕西；工程力学系，副教授，博士，主要从事等几何分析方法研究及理论力学教学。E-mail：。通讯作者：李 春（1979-），男，陕西；工程力学系，教授，博士，主要从事微纳米物理力学及理论力学教学。E-mail:。一、绪论 理论力学1是工科生第一门力学基础课，开设在工科生大学二年级，起到基础课与专业基础课重要桥梁的作用。不论是在考研还是在力学竞赛（例如：周培源力学竞赛）中都占有重要的地位。另外，理论力学本身的一些方法就可以用来解决工程中很多实际问题。理论力学的主要内容包括三部分，分别是静力学、运动学及动力学。理论力学的主要研究对象都是高度抽象的物体，例如：刚体，忽略物体的变形，只考虑力对物体作用的外效应，即力改变物体的运动状态。在理论力学静力学中主要研究的是力，其中也包括力偶。在讨论基本力系中，我们常常要涉及很多基本概念，其中最重要的包括力矩、力偶及力偶矩，另外，还有一些相关的力学概念，例如力的投影和力的分量。这些力学概念看似简单，但是在实践教学中发现学生很容易混淆。因此，我们将重点讨论这些基本力学量以及相关的一些概念。最后，我们提出在介绍基本力系内容中如何自然的引入思政内容。238 西南交通大学学报（社会科学版）第 24 卷 二、力矩 古希腊科学家阿基米德有一句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”，这就是阿基米德在论平面图形的平衡一书中提出的杠杆原理。在杠杆原理中蕴含了一个重要的力学量，即力矩。在理论力学中，主要的研究对象是刚体，刚体是高度抽象的研究物体，我们假设在任意时刻刚体上任意两点的距离始终保持不变，所以刚体是不变形体。力可以改变刚体的运动状态，包括移动和转动两种作用效果，其中，力使刚体发生转动的作用效果通过力矩来描述。“矩”是一个较抽象的概念，它具有普遍的意义，在理论力学中，我们常见的变量包括力矩、动量矩等。在数学上可以定义任意矢量的矩（一次矩、二次矩及高次矩），但只有少数的矩有实际的物理意义。力矩包括力对点的矩和力对轴的矩，分别表示了力可以使刚体绕某一点或某一根轴发生转动的作用效果，力矩是力对刚体绕点或轴转动作用效果的度量。（一）力对点的矩 如图 1 所示，空间中力对点的矩定义为：()=(1)从点到力作用线上任意一点做一条位置矢径，然后将其与力叉乘就是空间力对点的矩，这里需要注意的是这条位置矢径的选取有无数条，只需要满足从矩心到力的作用线上任意一点，而绝大多数教科书中都是从点到力的作用点定义为位置矢径。其实，力对于某一点的矩的大小刚好等于三角形面积的二倍，从几何的意义也可以理解位置矢径的选取不唯一。这容易固化学生对力矩的认识，例如：图 2（a）中是一道例题，蓝色 AB 刚体是一根圆形曲杆，A 端固定在地上，B 端作用着一个力，让我们求力对于点的矩，如果根据教科书上的定义，大多数同学会选择图 2（b）中的黄色作为位置矢径，但是很显然取作为位置矢径更直接，这是在实践教学中遇到的问题。因此，在介绍力矩的定义时，一定要拓展书上的定义，使同学们知道更一般的定义。图 1 力对点的矩 增刊第 2 期 239 贾 悦 关于“理论力学”中基本力系的教学及其课堂思政(a)(b)图 2 力F对于A点的矩（二）力对轴的矩 力对轴的矩是一个标量，在介绍力对轴的矩时，往往将空间中的力进行分解，得到直角坐标系三个方向的分量，空间中一个力对某一根轴的矩等于这个力的三个分量对于该轴矩的代数和。例如，如图 3 所示，力对于轴的矩等于力的三个分量 对轴矩的代数和，其中平行于轴，因此该分量对于轴的矩等于零。分量对于轴的矩等于轴到的距离乘以的大小，虽然对于轴的矩是一个标量，但是有正负。对于空间问题，我们介绍一种常用的方法判断力对于轴的矩的正负号，我们从轴的正方向向回看（图 3 中沿着轴向下看），因为对轴有一个顺时针转动的作用效果，因此对轴的矩是一个负值。同理，对轴的矩等于轴到的距离乘以分量的大小，从轴的正方向向回看，因为分量对轴有一个逆时针转动的作用效果，因此对轴的矩是一个正值。最终，我们得到了力对于轴的矩等于()=。同理我们可以得到下面一组方程，()=(2)()=(3)()=(4)上式分别表示了力对三根轴的矩。240 西南交通大学学报（社会科学版）第 24 卷 图 3 力对轴的矩 在上一部分我们讨论了力对点的矩，力对点的矩与力对轴的矩之间具有一定相互关系，已知力对点的矩等于矩心到力的作用线的位置矢径叉乘该力（如（1）式）。由线性代数的知识，我们可以将矢量积（1）式写成行列式的形式 ()=|=()+()+()(5)（5）式中,表示的是三个坐标轴上的单位矢量，表示的是位置矢径在三根投影轴上的投影，表示的是力在三根轴上的投影。比较（2）（3）（4）式与（5）式，推出力对轴的矩与力对点的矩之间的相互关系式如下()=()(6)()=()(7)()=()(8)力对某一根轴的矩等于力对矩心的矩在该轴上的投影，注意的是这个关系有一个必要的条件，即矩心必须在投影轴上。（三）力在轴上的投影 在上一部分我们提到两个重要的概念，即力的分量及力的投影。在理论力学教学中发现，这两个量在学生中间也容易混淆。力的分量和力的投影本质上是完全不同的两个概念，只是在很多情况下，两者的数值大小相等。力在某根轴上的投影等于力的模乘以与该轴正向间夹角的余弦，力在轴上投影有正负，并且其正负号由力与投影轴正向间夹角的余弦决定。如图 4 所示，力在轴和轴上的投影分别等于=|cos (9)=|cos (10)其中，和分别表示力与和轴之间的夹角。对于一个空间问题，力在空间坐标轴上的投影有两种求解方法，分别是直接投影法和二次投影法。直接投影法需要知道力的模以及力与投影轴之间正向夹角的余弦，其计算表达式与(9)和(10)式类似。二次投影法的求解过程主要分为两步，如图 5 所示，已知力与平面之间的夹角等于，因此力在平面上的投影等于cos，然后，已知与轴之间的夹角等于，因此，力在三根轴上的投影分别为 增刊第 2 期 241 贾 悦 关于“理论力学”中基本力系的教学及其课堂思政 图 4 力在轴上的投影=cos=coscos (11)=sin=cossin (12)=sin.(13)图 5 二次投影法 力的分量和力的投影之间有一些区别和联系：第一，力在轴上的投影是一个代数量，而力的分量是一个矢量，它既有大小又有方向；第二，如果我们研究的问题是在直角坐标系下，那么力在轴上的投影与力的分量的大小是相等的；第三，如果我们研究的问题在非直角坐标系下，则力的投影与力的分量之间没有相互关系（如图 6 所示）。图 6 力在两个轴上的分量与力的投影 242 西南交通大学学报（社会科学版）第 24 卷 二、力偶和力偶矩 在理论力学基本力系的介绍中，还有一个重要的力学量，即力偶。最早提出力偶概念的是法国科学家路易潘索，他是在 1803 年静力学原理一书中用几何方法研究力学基本问题的过程中，提出了力偶的概念，而且力偶的概念在潘索两篇研究报告中占有重要地位。力偶和力偶矩是理论力学中最基本的两个概念，虽然有时候混着说，尤其是在讨论平面问题的时候，但是，两者是完全不同的两个量。力偶是大小相等、方向相反、作用线不在同一条直线的一对平行力（如图 7 所示）。因此，力偶本质上是力。而力偶矩是人类定义的一个特征量，它用来描述力偶的作用效果。因为决定力偶的性质与很多因素有关系，例如，力偶中两个力的大小、两个力之间的距离、两个力的方向，因此为了简化对力偶的描述，科学家定义了力偶矩，用这一个量就可以描述力偶的特点。力偶矩的定义和力矩的定义相似，将位置矢径和力进行叉乘。但是，这里位置矢径指的是从力偶中其中一个力的作用点向另外一个力的作用线定义一条位置矢径（如图 8中）。图 7 力偶 图 8 力偶矩 三、挖掘基础概念本身的课堂思政元素 传统力学课堂挖掘思政内容一直是教育教学创新的新要求和新挑战，作为人民教师，要充分发挥教书育人的作用，我们不仅要将书本已有的知识点讲清楚，而且要充分发挥课堂教育，通过一堂课或一门课使同学们逐渐养成科学的学习方法和刻苦钻研的学习精神品质。我们在设计这一部分思政内容时纠结了很久，但是，发现这些力学概念的背后本身蕴含了大量的科学家及其历史故事，如果将这些内容融入到每一部分的开始，那么由简到难，顺理成章，这样不仅丰富课堂内容，而且活跃课堂气氛。增刊第 2 期 243 贾 悦 关于“理论力学”中基本力系的教学及其课堂思政 四、结语 通过理论力学实践教学总结了基本力系中重要的一些力学概念，其中包括力矩、力偶及力偶矩，详细讨论了这些概念之间的相互关系及区别。最后提出我们可以通过融入与这些基本概念相关的科学家及历史故事从而自然的引入思政内容，丰富课堂内容，增加人文元素。参考文献：1 西北工业大学理论力学教研室，理论力学M，高等教育出版社，2017（第二版）.The force system teaching in Theoretical Mechanics and its ideological and political theories teaching elements JIA Yue1,*（School of Mechanics,Civil Engineering and Architecture,Northwestern Polytechnical University,Xian 710129,China）Abstract:Moment of force,couple and moment of couple are the fundamental concepts in Theoretical Mechanics.However,these concepts are often confused by many students when we teach this course.Thus,based on our teaching experiences and teaching references we summarize the definitions,properties and applications of these variables in order to give a reference to teachers and students.In additional,we will also compare another pair of concepts which are components of a force and projections of a force respectively.Finally,we will discuss about ideological and political theories teaching elements in this part.We have noticed there are many interesting stories related to these fundamental concepts,and these scientists stories can definitely promote the atmosphere of the class.Keywords:Theoretical Mechanics;Moment of Force;Couple;Moment of Couple;Ideological and Political Theories Teaching Elements