第2章第8节.doc

第二章　第八节

1．(2014·威海模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
23
9
－7
11
－5
－12
－26
那么函数在区间[1,6]上的零点至少有(　　)
A．5个　　　 B．4个　　　
C．3个　　　 D．2个
解析：选C　由题意知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，故函数在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内各至少有一个零点，故在[1,6]上至少有3个零点，选C.
2．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是(　　)
A．y＝log2 x　　　 B．y＝2x－1
C．y＝x2－2　　　 D．y＝－x3
解析：选B　y＝log2 x的零点是1，y＝x2－2的零点是±，都不在(－1,1)内，尽管y＝－x3的零点在(－1,1)内，但该函数是减函数，只有y＝2x－1符合要求．
3．(2014·青岛检测)函数f(x)＝1－xlog2 x的零点所在区间是(　　)
A．　　　 B．
C．(1,2)　　　 D．(2,3)
解析：选C　因为f(1)＝1－log2 1＝1>0，f(2)＝1－2log2 2＝－1<0，即f(1)f(2)<0，据零点存在定理可得函数的零点所在的区间为(1,2)，故选C.
4．(2014·南昌模拟)“m<0”是“函数f(x)＝m＋log2 x(x≥1)存在零点”的(　　)
A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件　　　 D．既不充分又不必要条件
解析：选A　当m<0时，令f(x)＝0得log2 x＝－m(x≥1)，x＝2－m>1，此时函数f(x)存在零点；反过来，由函数f(x)存在零点不能得知m<0，如取m＝0，此时函数f(x)存在零点为x＝1.因此，“m<0”是“函数f(x)存在零点”的充分不必要条件，故选A.
5．(2011·陕西高考)函数f(x)＝－cos x在[0，＋∞)内(　　)
A．没有零点　　　 B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点　　　 D．有无穷多个零点
解析：选B　令f(x)＝0，得＝cos x，
由题意知x∈[0，＋∞)，在同一坐标系内画出两个函数y＝与y＝cos x的图象如图所示，由图象知，两个函数只有一个交点，从而方程＝cos x只有一个解．

故函数f(x)只有一个零点，选B.
6．(2013·天津高考)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则(　　)
A．g(a)<0<f(b)　　　 B．f(b)<0<g(a)
C．0<g(a)<f(b)　　　 D．f(b)<g(a)<0
解析：选A　由f(a)＝ea＋a－2＝0，得0<a<1.
由g(b)＝ln b＋b2－3＝0得1<b<2.
因为g(a)＝ln a＋a2－3<0，
f(b)＝eb＋b－2>0，所以f(b)>0>g(a)，故选A.
7．(2014·郑州模拟)已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2 x＋x的零点依次为a，b，c，则(　　)
A．a<b<c　　　 B．a<c<b
C．b<a<c　　　 D．c<a<b
解析：选B　由于f(－1)＝－1＝－<0，f(0)＝1>0，且f(x)为单调递增函数．故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0)．
∵g(2)＝0，故g(x)的零点b＝2；
h＝－1＋＝－<0，h(1)＝1>0，且h(x)为单调递增函数，故h(x)的零点c∈，因此a<c<b.
8．(2014·晋中名校联考)函数y＝f(x)的最小正周期为2，且f(－x)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝－x＋1，那么在区间[－3,4]上，函数y＝f(x)的图象与函数y＝|x|的图象的交点个数是(　　)
A．8　　　 B．7　　　
C．6　　　 D．5
解析：选C　在同一坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝|x|的图象，观察图象可知有6个交点，故选C.

9．已知函数f(x)＝x－log2 x，正实数a、b、c成公差为正数的等差数列且f(a)f(b)f(c)<0，若实数x0是方程f(x)＝0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是(　　)
A．x0<a　　　 B．x0>b
C．x0<c　　　 D．x0>c
解析：选D　因为a，b，c成等差数列且公差为正数，所以c>b>a>0，又f(x)＝x－log2 x在(0，＋∞)上是减函数，
所以f(c)<f(b)<f(a)．
又因为f(a)f(b)f(c)<0，
则有两种情况：(1)f(a)>f(b)>0>f(c)，
则a<b<x0<c.
(2)f(c)<f(b)<f(a)<0，则x0<a<b<c.
综上所述，不等式中不可能成立的是x0>c，故选D.
10．(2014·山西四校联考)已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－kx有三个零点，则k的取值范围为(　　)
A．　　　 B．
C．　　　 D．(－∞，0)
解析：选C　要使函数y＝f(x)－kx有三个零点，则应该满足f(x)＝kx，只需满足y＝f(x)与y＝kx有三个不同交点．当直线y＝kx在原点与y＝ln(x＋1)相切时的直线为y＝x，这时与y＝f(x)有两个交点，不符合题目要求，同样当直线y＝kx在原点与y＝x2＋x相切时的直线为y＝x，这时与y＝f(x)有1个交点，不符合题目要求，故当<k<1时，函数y＝kx与y＝f(x)有三个交点，故而得出结论<k<1.故选C.

11．若f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－x的零点为________．
解析：1,1＋　当x≥2或x≤－1时，由x2－x－1－x＝0得x2－2x－1＝0，解得x＝1＋或x＝1－(舍去)；当－1<x<2时，由1－x＝0得x＝1.故函数的零点为1,1＋.
12．(2014·佛山段考)已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f>f(－)>0，则方程f(x)＝0的根的个数为________．
解析：2　由于函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且f(－)＝－f()>0，故有f()<0，因为函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，有f>0，由零点存在定理知，存在c∈，使得f(c)＝0，即函数f(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，由奇函数图象的特点知，函数f(x)在(－∞，0)上也有一个零点，故方程f(x)＝0的根的个数为2.
13．(2014·日照模拟)已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
解析：5　方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.
14．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．

解析：[0,1)　在坐标系内作出函数f(x)＝的图象，如图：
发现当0≤m<1时，函数f(x)的图象与直线y＝m有三个交点．即函数g(x)＝f(x)－m有三个零点．

1．设方程log4 x－x＝0，log x－x＝0的根分别为x1，x2，则(　　)
A．0<x1x2<1　　 B．x1x2＝1
C．1<x1x2<2　　　 D．x1x2≥2
解析：选A　log x－x＝0的根x2＝.
设f(x)＝log4 x－x，
因为f(1)·f(2)＝<0，
所以1<x1<2.故0<x1x2<1，选A.
2．(2014·黄冈中学月考)已知a是函数f(x)＝2x－log x的零点，若0<x0<a，则f(x0)的值满足(　　)
A．f(x0)＝0　　　 B．f(x0)<0
C．f(x0)>0　　　 D．f(x0)的符号不确定
解析：选B　函数f(x)＝2x＋log2 x在(0，＋∞)上是单调递增的，若这个函数有零点，则零点是唯一的，根据函数f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的及a为函数f(x)的零点可知，在(0，a)上，这个函数的函数值小于零，即f(x0)<0.在定义域上单调的函数如果有零点，则只能有唯一的零点，并且以这个零点为分界点把定义域分成两个区间，在其中一个区间内函数值都大于零，在另一个区间内函数值都小于零，故选B.
3．(2014·阜宁中学调研)设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，且x0∈(m，m＋1)，m∈Z，则m＝________.
解析：1　令f(x)＝x3－x－2，易知函数y＝x3在R上单调递增，y＝x－2在R上单调递减，所以y＝－x－2在R上单调递增，所以f(x)在R上单调递增．又函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，所以f(x0)＝0，即x0为f(x)的零点．又f(1)＝1－1－2＝－1<0，f(2)＝8－2－2＝7>0，f(x)在R上单调递增，所以x0∈(1,2)，所以m＝1.
4．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．
解：∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．
设2x＝t(t>0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0，即m2－4＝0，
∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，
∴2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ>0，即m>2或m<－2时，
t2＋mt＋1＝0有两正根或两负根，
即f(x)有两个零点或没有零点．
∴这种情况不符合题意．
综上可知，m＝－2时，f(x)有唯一零点，
该零点为x＝0.
5．已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a.
(1)判断命题“对于任意的a∈R(R为实数集)，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程．
(2)若y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，求实数a的范围．
解：(1)“对于任意的a∈R(R为实数集)，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题．
依题意：f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根，
∵Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R(R为实数集)恒成立即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实数根从而f(x)＝1必有实数根．
(2)依题意知要使y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，需满足
即
解得<a<.
故所求a的取值范围为.