排列组合与概率论初步.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章 排列组合与概率论初步,1,第六章 排列组合与概率论初步,内容:,6.1排列组合,6.2随机实验、样本空间和随机事件,6.3事件的概率,6.4条件概率,6.5独立性,6.6贝努力(Bernoulli)实验模型,返回,上一页,下一页,退出,2,6.1排列组合,加法原理,如果完成一件事情有n类办法，在第一类办法中有,m,1,种方法，第二类办法中有,m,2,种方法，第,n,类办法中有,m,n,种方法，那么完成这件事总共有,m,1,m,2,m,n,种不同的方法,1.两个基本原理,返回,上一页,下一页,习题,3,6.1排列组合,例6.1.1 从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘,汽车,还可以乘轮船.一天中,火车有4班,汽车有,2班,轮船有3班.那么一天中乘坐这些交通工具,从甲地到乙地共有多少种不同方法?,解:从甲地到乙地有3类方法:第一类,乘火车,有4种方法;第二类,乘汽车,有2种方法;第三类,乘轮船,有3种方法.所以,共有4+2+3=9种方法.,1.两个基本原理,返回,上一页,下一页,习题,4,6.1排列组合,乘法原理,如果完成一件事情有n个步骤，在第一个步骤,中有,m,1,种方法，第二个步骤中有,m,2,种方,法，在第,n,个步骤中有,m,n,种方法，那么完,成这件事总共有,m,1,m,2,m,n,种不同的方法,1.两个基本原理,返回,上一页,下一页,习题,5,6.1排列组合,例6.1.2 甲乙两个盒子分别装有10只小球和8,只小球,小球的颜色互不相同,求:,(1)从甲乙两个盒子中任取一个小球,有多少种,不同的取法?,(2)从甲乙两个盒子中各取一个小球,有多少种,不同的取法?,1.两个基本原理,返回,上一页,下一页,习题,6,6.1排列组合,解:,(1),从甲乙两个盒子中任取一个小球,有两,类方法:第一类是从甲盒中任取一个,有10种方,法;第二类是从乙盒中任取一个,有8种方法.根据加法原理,取法共有:10+8=18(种).,(2)从甲乙两个盒子中各取一个小球,可以分两,步完成:第一步,从甲盒中任取一个,有10种取,法;第二步,从乙盒中任取一个,有8种取法.根据乘法原理,取法种数有:108=80(种).,1.两个基本原理,返回,上一页,下一页,习题,7,6.1排列组合,排列,定义6.1.1,从,n,个不同的元素中，任取,m,(,m,n,),个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，,称为从,n,个不同的元素中取出,m,个元素的一个排列,排列数,定义6.1.2,从,n,个不同的元素中取出,m,(,m,n,)个元素的所有不同的排列个数称为排列数记作 .,2.排列,返回,上一页,下一页,习题,8,6.1排列组合,排列数公式,特别地,从n个不同元素中任取n个元素,的排列称为全排列.,2.排列,返回,上一页,下一页,习题,9,6.1排列组合,那么有,2.排列,返回,上一页,下一页,习题,10,6.1排列组合,例6.1.3 解方程,2.排列,解:由已知得,返回,上一页,下一页,习题,11,6.1排列组合,2.排列,解:由题可得:,返回,上一页,下一页,习题,12,6.1排列组合,例6.1.4 证明,2.排列,证明:,返回,上一页,下一页,习题,13,6.1排列组合,2.排列,证明:,返回,上一页,下一页,习题,14,6.1排列组合,2.排列,证明:由(1)的结论得,返回,上一页,下一页,习题,15,6.1排列组合,例6.1.5,用五面不同颜色的旗，按不同的次序,挂在旗杆上表示信号，可以单用一面、二面,或三面,一共可以得到几种不同的信号?,解:,用一面旗作信号有 种，用二面旗作信号,有 种，用三面旗作信号有 种.于是所求信,号总数是,2.排列,返回,上一页,下一页,习题,16,6.1排列组合,例6.1.6 用0,1,2,3,4,5,6组成满足下列条件的,数各有多少?,(1)无重复数字的四位数;,(2)无重复数字的四位数偶数;,(3)无重复数字的四位数且能被5整除;,(4)个位数字大于十位数字的四位数.,解,(1),无重复数字的四位数,0不能作首位,所以首位选法有 种,其它三位可以从剩下的6,2.排列,返回,上一页,下一页,习题,17,6.1排列组合,个数中任选,有 种.所以,总共有 种.,(2)当首位为奇数时,有 种,末位有 种,所以,组成的四位偶数有 种;当首位为偶,数时首位不为0,有 种,末位在其它三个偶数,中选,有 种,所以,组成的四位偶数有,种.因此,可选个数为,(3)无重复数字的四位数且能被5整除,0不能作,首位,末位只能从0,5中选.当首位为5时,末位,2.排列,返回,上一页,下一页,习题,18,6.1排列组合,只能为0,所以,有 种;当首位不为5时,选,法为 种.因此共有,种.,(4)首位不为0,有 种,末两位数字从余下的数,中选,对于选出的数个位大于十位的几率相等,所以末两位的选法有 种.因此,共有,2.排列,返回,上一页,下一页,习题,19,6.1排列组合,例6.1.7 4名女生和3名男生站成一排,求,(1)甲站在中间的不同排法有多少种?,(2)甲乙二人不能站在两端的排法有多少种?,(3)男生不相邻的排法有多少种?,解,(1)甲的位置确定,排法有 种,(2)甲乙可以排在中间5个不同的位置,其余,的人排在剩下的位置,排法共有 种,2.排列,返回,上一页,下一页,习题,20,6.1排列组合,(3)先排女生,有 种,然后在4名女生的三个间,隔及两端共5个位置排男生,有 种排法.所以,共有 种.,2.排列,返回,上一页,下一页,习题,21,6.1排列组合,组合,定义6.1.3,从,n,个不同的元素中,任取,m,(,m,n,)个,不同的元素,不管顺序并成一组,称为从,n,个不,同元素中取出,m,个元素的一个组合.,组合数,定义6.1.4从,n,个不同元素中取出,m,个元素的所,有不同的组合种数,称为组合数,记作,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,22,6.1排列组合,组合数公式,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,23,6.1排列组合,组合数的性质,性质1,性质2,3.组合,例6.1.8 计算,解:,返回,上一页,下一页,习题,24,6.1排列组合,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,25,6.1排列组合,例6.1.9 证明,证明:,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,26,6.1排列组合,例6.1.10,在产品检验时,常从产品中抽出一,部分进行检查.现在从50件产品中任意抽出3件:,一共有多少种不同的抽法,?,(2),如果,50,件产品中有,2,件次品,抽出的,3,件中恰好有,1,件是次品的抽法有多少种,?,(3),如果,50,件产品中有,2,件次品,抽出的,3,件中至少有,1,件是次品的抽法有多少种,?,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,27,6.1排列组合,解:(1)所求的不同抽法的种数,就是从50件产,品中取出3件的组合数,即一共有19600种抽法.,(2)从2件次品中抽出1件的抽法有 种,从48件,合格品中抽出2件的抽法有 种,因此抽出的3,件中恰好有1件是次品的抽法种数是,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,28,6.1排列组合,(3)从50件产品抽出的3件中至少有1件是次品,的抽法,就是包括1件是次品的和2件是次品的,抽法.而1件是次品的抽法有 种,2件是次,品的抽法有 种,因此,至少有1件是次品的,抽法的种数为,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,29,6.1排列组合,例6.1.11由13个人组成的课外活动小组,其中5,个只会跳舞,5个只会唱歌,3个人既会唱歌又会,跳舞,若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人,去表演节目,共有多少种不同的选法?,解:此题从既会唱歌又会跳舞的3人进行分类.,第一类:若3人都不参加,共有 种;,第二类:若3人都跳舞或都唱歌,共有 种,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,30,6.1排列组合,第三类:若3人中有2人跳舞或都唱歌,共有,种,第四类:若3人中有1人跳舞或都唱歌,共有,种,第五类:若3人中有2人跳舞第3人唱歌或有2人,唱歌第3人跳舞,共有 种,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,31,6.1排列组合,第六类:若3人中有1人跳舞1人唱歌,共有,种,由分类计数原理得不同选法有:,所以,共有1875种不同选法.,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,32,6.1排列组合,例6.1.12,从,4,个男同学和,5,个女同学里选出,2,个,男同学和,2,个女同学分别担任班长、团支书、,学习委员、组织委员,一共有多少种不同的选,法,?,解:,从4个男同学中选出2个男同学的方法有,种;从5个女同学中选出2个女同学的方法有,种;对所选出的4个同学进行分工的方法有 种,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,33,6.1排列组合,因此不同的选法一共有,例6.1.13,有6本不同的书：,分成,3,堆,一堆,3,本,一堆,2,本,一堆,1,本,有多少,种分法,?,(2),等分成,3,堆,有多少种分法,?,(3),把,(2),中的两堆书再分给甲乙丙,3,人,有多少,种分发,?,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,34,6.1排列组合,解:(1)从6本书中取3本书有 种方法,从剩下,的3本书中取2本的方法是 种,最后,从1 本中,取1本的分发有 .即所求分法是,(2)等分3堆,每堆2本,先取2本,再取2本,最后取,2本的分发有 ;由于等分,不分顺序,所,以有 种重复.所以分发有,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,35,6.1排列组合,(3)把(2)中的3堆书分给,甲乙丙3人,有 种分发.,所以,分发有,3.组合,返回,上一页,下一页,习题,36,6.2 随机实验、样本空间和随机事件,概率论中讨论具有如下特点的试验:,(1)在相同条件下可重复进行;,(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先,明确试验的所有结果;,(3)进行一次试验之前不能确定会出现哪一个,结果.,具有上述3个特点的试验称之为随机试验,常,用E表示.,1.随机实验,返回,上一页,下一页,习题,37,6.2 随机实验、样本空间和随机事件,抛一枚硬币,观察正面H,反面T出现的情况.,将一枚硬币抛3次,观察正面H,反面T出现的情况.,将一枚硬币抛3次,观察出现正面的次数.,抛一颗骰子,观察出现的点数.,记录某寻呼台一昼夜接到的寻呼次数.,从一批电脑中,任取一台观察无故障运行时间.,1.随机实验,返回,上一页,下一页,习题,38,6.2 随机实验、样本空间和随机事件,我们把随机试验E的所有可能结果组成的集合,称为E的样本空间,记为 ,中的元素即E的,每个结果.称为样本点,记为,例6.2.1给出6.2.1中的随机试验 的样本,空间.,解:,2.样本空间,返回,上一页,下一页,习题,39,6.2 随机实验、样本空间和随机事件,2.样本空间,注意:样本空间的元素有试验的目的所决定.,返回,上一页,下一页,习题,40,6.2 随机实验、样本空间和随机事件,我们称试验E的样本空间 的子集为E的随机,事件,简称事件.一般用大写字母A,B,C等表示.,随机事件的两个极端:,(1)必然事件:每次试验中它总是发生.,(2)不可能事件:每次试验中它总不发生.,3.随机事件,返回,上一页,下一页,习题,41,6.2 随机实验、样本空间和随机事件,事件是一集合,因此,事件间的关系与运算可以,按集合之间的关系与运算来处理.,事件间的关系,4.事件间的关系与运算,返回,上一页,下一页,习题,42,6.2 随机实验、样本空间和随机事件,4.事件间的关系与运算,(2)事件的和,返回,上一页,下一页,习题,43,6.2 随机实验、样本空间和随机事件,(3)事件的积,4.事件间的关系与运算,返回,上一页,下一页,习题,44,6.2 随机实验、样本空间和随机事件,(4)事件的差,(5)互不相容事件,(6)对立事件,4.事件间的关系与运算,返回,上一页,下一页,习题,45,6.2 随机实验、样本空间和随机事件,4.事件间的关系与运算,事件的运算,设,A,B,C,为事件,则有,:,返回,上一页,下一页,习题,46,6.2 随机实验、样本空间和随机事件,4.事件间的关系与运算,返回,上一页,下一页,习题,47,6.2 随机实验、样本空间和随机事件,例6.2.2,4.事件间的关系与运算,返回,上一页,下一页,习题,48,6.2 随机实验、样本空间和随机事件,例6.2.3,4.事件间的关系与运算,解:,返回,上一页,下一页,习题,49,6.3 事件的概率,定义6.3.1,1.频率的定义,返回,上一页,下一页,习题,50,6.3 事件的概率,定义6.3.2 我们把事件A的频率的稳定值定义,为A的概率,记为P(A),这一定义称为概率的统,计定义.,性质:,2.概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,51,6.3 事件的概率,等可能概型(古典概型),一类随机试验的特点:,(1)试验的样本空间中只有有限个元素.,(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同.,这类随机试验我们称为等可能概型古典也称,概型,定义6.3.3,2.概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,52,6.3 事件的概率,例6.3.1,2.概率的定义,解:,返回,上一页,下一页,习题,53,6.3 事件的概率,例6.3.2 在100件产品中,有65件合格品,5件次,品,从中任取2件,计算:,(1)2件都是合格品的概率;,(2)2件都是次品的概率;,(3)1件是合格品1件是次品的概率.,解:,2.概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,54,6.3 事件的概率,2.概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,55,6.3 事件的概率,例6.3.3 一只袋中装有8只球,其中5只白球,3,只红球,从袋中取球,每次随机的取一只.考虑,两种取球方式,(1)一次取一只球,观察其颜色后,放回,搅匀后再取一球,这种取球方式叫放回抽,样.(2)一次取一只球不放回袋中,下一次从剩,余的球中再取一球.这种取球方式叫不放回抽,样.分别考虑上面两种情况求:,(1)取到的三只球都是白球的概率.,(2)取到的三只球有两白球一红球的概率.,2.概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,56,6.3 事件的概率,解:令A,B分别表示事件“,取到的三只球都是白,球,”，“,取到的三只球有两白球一红球,”.,(1),放回抽样的情况:,在袋中取3球,每次都有8只球可抽取.共有,种取法,即样本空间中样本点总数有 .A中样,本点的个数有 ,B中样本点的个数为,2.概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,57,6.3 事件的概率,(2),不放回抽样,样本空间中样本点总数 ,A中样本点个,数为 ,B中样本点个数为,2.概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,58,6.3 事件的概率,例6.3.4 设有N件产品,其中有D件次品,现从,中任取n件,问其中恰有 件次品的概率,是多少?,解:令A为“从N件产品中取k件次品”,从N件产,品中取n件,样本空间中样本点总数为 ,A中,样本点个数为 ,于是,2.概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,59,6.3 事件的概率,例6.3.5,解:,2.概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,60,6.3 事件的概率,2.概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,61,6.3 事件的概率,例6.3.6 从0,1,2,9十个数字中任取3个不同,数字,求3个数字中不含0或5的概率.,解:,2.概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,62,6.3 事件的概率,对立事件的概率,如果两个互不相容事件A,B中必有一个发生,且只有一个发生,则称A与B互为对立事件.有,以下等式成立:,例6/3/7 在30件产品中,有15件一级品,15件二,级品.从中任取3件,其中至少有1件为二级品的,概率是多少?,2.概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,63,6.3 事件的概率,解:,2.概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,64,6.4 条件概率,在“已知事件B发生”的条件下,事件A发生的概,率.记为P(A|B).,例6.4.1 将一枚硬币抛两次,设事件A为“两次,出现同一面”,事件B为“至少有一次为反面T”,求已知事件B发生的条件下事件A发生的概率.,解:,1.条件概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,65,6.4 条件概率,定义6.4.1,例6.4.2 一盒中混有100只新旧乒乓球,各有红,白两色,分类如下表示,随机抽取一只,取得的,若是红球,求该球为新球的概率?,1.条件概率的定义,红,白,新,40,30,旧,20,10,返回,上一页,下一页,习题,66,6.4 条件概率,解:设事件A为“从盒中随机取到一只新球”,B,为“从盒中随机取到一只红球”,例6.4.3 甲乙两市位于长江下游,根据100多年,的记录知,一年中雨天的比例,甲市为20%,乙,市为18%,两市同时下雨为12%.求,1.条件概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,67,6.4 条件概率,(1)乙市下雨时甲市也下雨的概率;,(2)甲乙两市至少一市下雨的概率.,解:分别用A,B表示事件“甲市下雨”和“乙市下,雨”,由题可得,1.条件概率的定义,返回,上一页,下一页,习题,68,6.4 条件概率,概率的乘法公式:,推广:,2.乘法公式,返回,上一页,下一页,习题,69,6.4 条件概率,例6.4.4 n张彩票中有一张中奖票,(1)已知前,面k-1个人没摸到中奖票,求第k个人摸到的概,率;(2)求第k个人摸到的概率.,解,(1)是在条件“,前面k-1个人没摸到,”下的条件,概率,(2)是无条件概率,设,2.乘法公式,返回,上一页,下一页,习题,70,6.4 条件概率,2.乘法公式,返回,上一页,下一页,习题,71,6.5 独立性,定义6.5.1 设A,B是两事件,如果满足等式,则称事件A,B相互独立.,定理6.5.1 设A,B是两事件,且P(B)0.若A,B相,互独立,则P(A|B)=P(A),反之亦然.,定理6.5.2 若事件A,B相互独立,则下列事件也,相互独立:,返回,上一页,下一页,习题,72,6.5 独立性,证明:只证明第一个.,返回,上一页,下一页,习题,73,6.5 独立性,推广:,返回,上一页,下一页,习题,74,6.5 独立性,例6.5.1 同时抛两个均匀的正四面体一次,每,一个四面体的面分别标有1,2,3,4.令A为事件,“第一个四面体出现偶数”,B为事件“第二个四,面体出现奇数”,C为事件“两个四面体同时出,现偶数或同时出现奇数”,验证A,B,C的独立性.,解:由已知得,这是古典概型,有,返回,上一页,下一页,习题,75,6.5 独立性,返回,上一页,下一页,习题,76,6.5 独立性,例6.5.2 甲乙两人各进行一次射击,如果两人,击中目标的概率都是0.4,求两人都击中目标的,概率.,解:设A表示事件“甲射击一次,击中目标”,B表示事件“乙射击一次,击中目标”.所以,所求事件是AB,根据题意,A与B相互独立.,返回,上一页,下一页,习题,77,6.5 独立性,例6.5.3 有一名射手,平均每射5发子弹能命中,4发子弹,求:,(1)连射n发子弹都未命中的概率;,(2)要使至少能命中1发子弹的概率达到0.99以,上,需要射多少发子弹.,解,返回,上一页,下一页,习题,78,6.5 独立性,(2)设要使至少能命中1发子弹的概率达到0.99以,上,需要射n发子弹,返回,上一页,下一页,习题,79,6.5 独立性,例6.5.4 在一个系统中元件能正常工作的概率,称为元件的可靠度.如图,有4个独立工作的元,件构成一个串并联系统,且每个元件的可靠度,为s,求此系统的可靠度.,解:,1,2,3,4,返回,上一页,下一页,习题,80,6.5 独立性,返回,上一页,下一页,习题,81,6.5 独立性,例6.5.5 3个人独立破译一组密码,他们能译出,的概率分别是1/2,1/3,1/6.求将此密码译出的,概率.,解:,返回,上一页,下一页,习题,82,6.6贝努里(Bernoulli)实验模型,我们把只出现两种结果 的随机试验称为,贝努里实验或贝努里模型.,将一贝努里实验E在相同条件下独立重复n次,每次结果A出现的概率P保持不变,我们把这样,的n次独立重复试验称为n重贝努里实验.,例6.6.1 某射击手射击一次击中目标的概率是,0.6,问射击4次击中3次的概率.,返回,上一页,下一页,习题,83,6.6贝努里(Bernoulli)实验模型,解:,返回,上一页,下一页,习题,84,6.6贝努里(Bernoulli)实验模型,定理6.6.1 在n重,贝努里实验中,事件A在n次试,验中发生k次的概率为,返回,上一页,下一页,习题,85,6.6贝努里(Bernoulli)实验模型,例6.6.2 一批产品的废品率为0.2,有放回的取4,件,求恰好取的2件废品的概率.,解:每次的结果是相互独立的,有放回的取4件,相当于4重贝努里实验,返回,上一页,下一页,习题,86,6.6贝努里(Bernoulli)实验模型,例6.6.3 一部自动化机器,在一个周期内生产,10个零件,任意一个零件成为废品的概率为,0.02,要至少产生出一件废品的概率不小于0.6,需要几个周期?,解:设要n个周期,在n个周期生产10n个零件是,相互独立的.用A表示“在10n个零件中至少有,一件废品”,用 表示“在10n个零件中全部合,格”,返回,上一页,下一页,习题,87,6.6贝努里(Bernoulli)实验模型,即至少需要46个周期,返回,上一页,下一页,习题,88,第六章 排列组合与概率论初步,习题6.1(P145)1、2、3、4,习题6.2(P149)1、2、3,习题6.3(P154)1、2、3、4、5、6、7,习题6.4(P156)1、2、3、4、5,习题6.5(P159)1、2、3、4、5、6,习题6.6(P160)1、2、3、4、5,习题:6.1-6.6,返回,上一页,下一页,退出,89,