随机变量及其概率分布市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 随机变量及其分布,本章要求,离散型随机变量,随机变量分布函数,连续型随机变量,及其概率密度,随机变,量函数,概率,分布,第1页,第1页,本章要求,1.,掌握随机变量及其分布函数概念,;,2.,理解离散型随机变量及其分布律概念；,掌握较简朴离散型随机变量分布律计算；,掌握两点分布、二项分布与泊松分布；,3.,掌握连续型随机变量及其概率密度函数、性质及相关计算；掌握均匀分布、指数分布及其计算；纯熟掌握正态分布及其计算,4.,理解随机变量函数概念，会求简朴随机变量函数概率分布,;,重点：,随机变量分布律与概率密度函数概念、性质和计算，随机变量函数分布，几种常见分布,。,第2页,第2页,关于随机变量,(,及向量,),研究，是概率论中心内容这是由于，对于一个随机试验，我们所关怀往往是与所研究特定问题相关某个或一些量，而这些量就是随机变量也能够说：随机事件是从静态观点来研究随机现象，而随机变量则是一个动态观点，一如数学分析中常量与变量区别那样变量概念是高等数学有别于初等数学基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件概念发展为一个更高理论体系，其基础概念是,随机变量,2.1,离散型随机变量,第3页,第3页,2.1.1,随机变量概念,定义,.,设,S=e,是试验样本空间，假如量,X,是定义在,S,上一个单值实值函数即对于每一个,e,S,，有一实数,X=X(e),与之相应，则称,X,为,随机变量。,随机变量,惯用,X,、,Y,、,Z,或,、等表示。,随机变量特点,:,1,、,X,所有也许取值是互斥且完备,2,、,X,部分也许取值描述随机事件,第4页,第4页,随机变量分类,：,随机变量,第5页,第5页,2.1.2,离散型随机变量,定义,若随机变量,X,取值,x,1,x,2,x,n,且取这些值概率依次为,p,1,p,2,p,n,则称,X,为离散型随机变量，而称,PX=x,k,=p,k,(k=1,2,),为,X,分布律,或概率分布。可表为,X,PX=x,k,=p,k,(k=1,2,),，,或,X,x,1,x,2,x,K,P,k,p,1,p,2,p,k,第6页,第6页,(1),p,k,0,k,1,2,;,(2),例 设袋中有,5,只球，其中有,2,只白,3,只黑。现从中任取,3,只球,(,不放回,),，求抽得白球数,X,为,k,概率。,解,k,可取值0，1，2,分布律性质,第7页,第7页,例,某射手对目的独立射击,5,次，每次命中目的概率为,p,，以,X,表示命中目的次数，求,X,分布律。,解：设,A,i,第,i,次射击时命中目的，,i=1,2,3,4,5,则,A,1,A,2,A,5,互相独立且,P(A,i,)=p,i=1,2,5.S,X,=0,1,2,3,4,5,(1-p),5,第8页,第8页,2.1.3,(,0-1),分布,与二项分布,1.,(0-1),分布,若以,X,表示进行一次试验事件,A,发生次数，则称,X,服从,(0,1),分布,(,两点分布,),X,PX,k,p,k,(1,p),1,k,(0p0,是常数,则称,X,服从参数为,泊松分布,记作,X,P,().,据,得:泊松(Poisson)分充斥足分布律基本性质,第16页,第16页,泊松,定理表明，,泊松分布是二项分布极限分布，,当,n,很大，,p,很小时，,二项分布就可近似地当作是参数,=np,泊松分布,第17页,第17页,例,设某国每对夫妇子女数,X,服从参数为,泊松分布,且知一对夫妇有不超出,1,个孩子概率为,3e,-2,.,求任选一对夫妇,至少有,3,个孩子概率。,解,:,由题意,第18页,第18页,例,一家商店采用科学管理，由该商店过去销售统计知道，某种商品每月销售数能够用参数,=5,泊松分布来描述，为了以,95%,以上把握确保不脱销，问商店在月底至少应进,某种商品多少件？,解,:,设该商品每月销售数为,X,已知,X,服从参数,=5,泊松分布,.,设商店在月底应进,某种商品,m,件,求满足,P,X,m,0.95,最小,m,.,进货数,销售数,此题特注,第19页,第19页,求满足,P,X,m,0.95,最小,m,.,查泊松分布表得,P,X,m,0.05,也即,于是得,m+1=10,m=9,件,或,注意,:P34,例,2-9;2-10,比上述例题容易,第20页,第20页,2.2,随机变量分布函数,定义,设,X,是,随机变量，对任意实数,x,，,事件,X,x,概率,PX,x,称为随机变量,X,分布函数,。,记为,F(x),，,即,F(x),P X,x.,易知，对任意实数,a,b(ab),P aX,b,PX,b,PX,a,F(b),F(a).,2.2.1,分布函数概念,.,第21页,第21页,当,x,0,时,，,X,x,=,，,故,F(x),=0,例,设 随机变量,X,分布律为,当,0,x,1,时,，,F,(,x,)=,P,X,x,=,P,(,X,=0)=,X,求,X,分布函数,F,(,x,),.,解,F(x)=P,(,X,x,),第22页,第22页,当,1,x,2,时,，,F,(,x,)=,P,X,=0+,P,X,=1=+=,当,x,2,时,，,F,(,x,)=,P,X,=0+,P,X,=1+,P,X,=2=1,第23页,第23页,故,注意右连续,下面我们从图形上来看一下,.,第24页,第24页,分布函数图,第25页,第25页,2.2.2,分布函数性质,1,、,单调不减性：,若,x,1,x,2,则,F(x,1,),F(x,2,);,2,、,归一,性：,对任意实数,x,，,0,F(x),1,，,且,3,、,右连续性：对任意实数,x,，,反之，含有上述三个性质实函数，必是某个随机变量分布函数。故该三个性质是分布函数充足必要性质。,第26页,第26页,普通地，对离散型随机变量,X,PX=x,k,p,k,k,1,2,其分布函数为,例 设随机变量,X,具分布律,如右表,解,X,0,1,2,P,0.1,0.6,0.3,试求出,X,分布函数。,第27页,第27页,例,向,0,1,区间随机抛一质点，以,X,表示质点坐标,.,假定,质点落在,0,1,区间内任一子区间内概率与区间长成正比,，求,X,分布函数,解：,F(x)=PX,x,当,x,1,时,F(,x,)=1,当,0,x,1,时,尤其,F(1)=P0 x1=k,1,=1,第28页,第28页,2.3,连续型随机变量及其概率密度,1,.,定义,对于随机变量,X,，,若存在非负函数,f(x),，,(-,x+,),，,使对任意实数,x,，,都有,则称,X,为连续型随机变量，,f(x),为,X,概率密度函数,，简称概率密度或密度函数.,常记为,X,f(x),(-,x+,),2.3.1,连续型随机变量及其概率密度,第29页,第29页,密度函数几何意义为,第30页,第30页,密度函数性质,(1),非负性,f(x),0,，,(-,x,),；,(2),归一性,性质,(1),、,(2),是密度函数充要性质；,例 设随机变量,X,概率密度为,求常数,a.,答,:,?,第31页,第31页,(3),若,x,是,f(,x,),连续点，则,例,设随机变量,X,分布函数为,求,f(x),第32页,第32页,（,4,）,对任意实数,b,，,若,X,f(x),，,(-,x0,指数分布。其分布函数为,指数分布在可靠性理论与排队论中有广泛应用,第44页,第44页,例,.,电子元件寿命,X(,年）,服从参数为,3,指数分布,(1),求该电子元件寿命超出,2,年概率。,(2),已知该电子元件已使用了,1.5,年，求它还能使用两年概率为多少？,解,本问题属于条件概率,第45页,第45页,例,某公路桥天天第一辆汽车过桥时刻为,T,，设,0,，,t,时段内过桥汽车数,X,t,服从参数为,t,泊松分布，求,T,概率密度。,解,当,t 0,时，,当,t 0,时，,=1-,在,t,时刻之前无汽车过桥,于是,PX,k,次数,有何发觉？,概率密度就是指数分布，,F,（,t,）就是其分布函数,第46页,第46页,请欣赏,第47页,第47页,其中,为实数，,0,，则称,X,服从参数为,2,正态分布,记为,N(,2,),，,可表为,X,N(,2,),.,若随机变量,2.3.3,.,正态分布,第48页,第48页,(1),单峰对称,密度曲线关于直线,x=,对称,；,f(),maxf(x),.,正态分布有两个特性：,第49页,第49页,(2),大小直接影响概率分布,越大，曲线越平坦，,越小，曲线越陡峻,。,正态分布也称为高斯,(,Gauss),分布,第50页,第50页,4.,原则正态分布,参数,0,，,2,1,正态分布称为,原则正态分布，记作,XN(0,1),。,第51页,第51页,分布函数表示为,其密度函数表示为,第52页,第52页,普通概率统计教科书均附有原则正态分布表供读者查阅,(x),值。,(P195,附表,1),如，若,ZN,（,0,，,1,）,（,0.5)=0.6915,注,：,(1),(x),1,(,x),；,(2),若,X,N(,2,),，,则,原则化,P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32),=0.9925-0.9066,第53页,第53页,第54页,第54页,例,设随机变量,XN(-1,2,2,),P-2.45X2.45=?,例,设,X,N(,2,),求,P,-3,X3,值,.,如在质量控制中，惯用原则指标值,3,作两条线，当生产过程指标观测值落在两线之外时发出警报,.,表明生产出现异常,.,利用,第55页,第55页,例,一个电子元件使用寿命（小时）服从正态分布,(100,15,2,),某仪器上装有,3,个这种元件，三个元件损坏是否是互相独立,.,求：使用最初,90,小时内无一元件损坏概率,.,解,:,设,Y,为使用最初,90,小时内损坏元件数,故,则,YB(3,p),其中,第56页,第56页,解,P,(,X h,)0.01,或,P,(,X,h,),0.99,，,下面我们来求满足上式最小,h,.,看一个应用正态分布例子,:,例,公共汽车车门高度是按男子与车门顶头碰头机会在,0.01,下列来设计,.,设男子身高,X,N,(,170,6,2,),问车门高度应如何拟定,?,设车门高度为,h,cm,按设计要求,第57页,第57页,由于,X,N,(,170,6,2,),故,P,(,X,0.99,即,h,=170+13.98 184,设计车门高度为,184,厘米时，可使,男子与车门碰头,机会不超出,0.01,.,因此,.,P(,X,h,)0.99,求满足,最小,h.,因而,=,2.33,第58页,第58页,原则正态分布上 分位点,设,则称点 为,原则正态分布,上 分位点,.,若数 满足条件,第59页,第59页,2.4.1,离散型随机变量函数概率分布,2.4,随机变量函数概率分布,设,X,一个随机变量，分布律为,X,PX,x,k,p,k,k,1,2,-1 0 1,例,已知,X,P,k,求：,Y=X,2,分布律,Y,P,k,1 0,若,y,g(x),是一元单值实函数，则,Y,g(X),也是一个随机变量。求,Y,分布律,.,第60页,第60页,解：当,X,取值,1,，,2,，,5,时,，,Y,取相应值,5,，,7,，,13,，,例,设,X,求,Y,=2,X,+3,概率函数,.,并且,X,取某值与,Y,取其相应值是两个同时发生事件,，两者含有相同概率,.,故,第61页,第61页,或,Y,g(X),PY,g(x,k,),p,k,，,k,1,2,（,其中,g(x,k,),有相同，其相应概率合并,。）,普通地,X,P,k,Y=g(X),第62页,第62页,第63页,第63页,注意：,P51,例,2-25,，,2-26,第64页,第64页,2.4.2,连续型随机变量函数概率分布,1,、,普通办法,若,Xf(x),-,x+,Y=g(X),为随机变量,X,函数，,然后再求,Y,密度函数,此法也叫“,分布函数法,”,则可先求,Y,分布函数,F,Y,(y),PYy,P g(X)y,第65页,第65页,例,设,X,U(-1,1),求,Y=X,2,分布函数与概率密度。,当,y0,时,当,0y1,时,当,y1,时,第66页,第66页,例,设,X,概率密度为,f,X,(x),y=g(x),关于,x,处处可导且是,x,严格单减函数，求,Y=g(X),概率密度。,解：,Y,分布函数为,F,Y,(y)=PY,y=Pg(X),y,=PX,g,-1,(y)=1-F,X,(g,-1,(y),Y,概率密度为,f,Y,(y)=F,(g,-1,(y)=,f,X,(g,-1,(y)g,-1,(y),第67页,第67页,2,、,公式法：普通地,若,X,f,X,(x),y=g(x),是单调可导函数，则,注,：,1,、,只有当,g(x),是,x,单调可导函数时，才可用以,上公式推求,Y,密度函数。,2,、注意定义域选择,其中,h(y),为,y,g(x),反函数,.,第68页,第68页,例,已知,X,N,(,2,),求,解,：,概率密度,关于,x,严单,反函数为,故,第69页,第69页,解,例,设随机变量 服从正态分布，证实,也,服从正态分布,.,第70页,第70页,本例与上例结论要切记,第71页,第71页,例,设,XU(0,1),求,Y=ax+b,概率密度,.(a0),解,:Y=ax+b,关于,x,严单,反函数为,故,而,故,第72页,第72页,第73页,第73页,第74页,第74页,精品课件资料分享,SL,出品,第75页,第75页,