高速列车跟踪的有限时间复合控制器设计.pdf

Science and Technology&Innovation科技与创新2023 年 第 17 期25文章编号：2095-6835（2023）17-0025-05高速列车跟踪的有限时间复合控制器设计宋跞为（大连交通大学自动化与电气工程学院，辽宁 大连 116028）摘要：针对高速列车动力学模型，考虑不确定性、阵风和外部扰动的影响，基于扰动观测器，设计有限时间跟踪控制器。建立状态空间系统模型，基于扰动观测器设计跟踪控制器，在该控制器中，设计扰动补偿项以估计阵风扰动。设计的控制器不仅保证闭环误差动态是有限时间有界的，而且保证测量输出在有限时间内对不确定性和外部扰动具有鲁棒性，然后将控制器的设计问题转化为线性矩阵不等式形式问题。给出仿真算例进行对比仿真，以验证所提出方法的有效性。关键词：高速列车；跟踪控制；有限时间；扰动观测器中图分类号：TP273；U270文献标志码：ADOI：10.15913/ki.kjycx.2023.17.007目前，中国高速列车技术不断发展。相应地，对列车的状态实现有效监测，及时跟踪运行轨迹，是高铁运输行业的重中之重。目前，对于列车运行状态的分析，主要采用多质点模型1-2方式。该模型相较于单质点模型3，充分考虑了相邻车厢之间的耦合作用力车钩力，因此，能够更好地对高速列车的纵向运动状态进行描述，并且已有相关研究应用于高速列车的跟踪控制。由于高速列车的高速运行特性，在较短的时间范围内，尽管非常小的作用力作用于相邻车厢，但它们之间的相对位移也有可能发生较大的变化，从而导致列车发生脱钩事故。因此，在限定的时间内研究高速列车的稳定性问题更有意义。高速列车在运行过程中受到附加阻力和运行噪声等诸多外部扰动的影响，因此，在扰动条件下，研究高速列车的有限时间有界性（Finite Time Boundness，FTB）更为重要4-5。列车在运行过程中会受到阵风的干扰，所以阵风阻力对于研究高速列车的跟踪控制往往是不可忽视的重要因素6-7。另外，旅客人数及行李箱的增减、戴维斯系数变化等不确定性因素对于列车的运行有着不可忽视的影响。尽管有学者通过分析强风条件下的空气阻力变化，将滑模控制器8用于消除模型误差，但是该方法忽略了系统输入时滞的影响。综上所述，本文考虑输入时变时滞、可建模阵风和系统不确定性等因素对于高速列车的影响，提出了一种基于扰动观测器的有限时间复合控制器。该控制器包括反馈控制项和扰动补偿项，其中扰动补偿项能有效地估计阵风扰动，进而有效地实现高速列车的有限时间跟踪控制。1高速列车动力学系统建模首先，车钩力的运动可近似为：iiixdkxxf）（，k0 是刚性系数，d 是阻尼系数。考虑列车的运行阻力 Ra=c0+cvv+cav2，v 为列车速度，c0、cv、ca为戴维斯系数，则得到高速列车的动力学方程如下：）（）（，），（）（）（）（）（，tvmcv v dx ku v mnitvmv v v dkxkxu v mtgtvmcv v dkxu v mniv v x nnnvnnnnnniiiviiiiiiiiviii111111111211111112211（1）式中：ix 为 i 和 i+1 节车间相对位移；iv、mi和iu 为 i车速度、质量和相对控制力；niiravmvc1112niiavmc121；（t）=Edr（t），为附加阻力，dr（t）Rs；g（t）Rr，为仅作用于头车的阵风4。令12 nn，u（t）Rn=T1nu u ，T111nxnv v x x Rtx，）（；考虑到列车的不确定性因素，则由式（1）可得：）（）（）（）（）（）（）（）（tEdtGgtptuBBtxAAtxr （2）式中：各系数形式详见文献9；A 和B 为状态和输入不确定性，A=M1F1（t）N1，B=M2F2（t）N2，FiT（t）Fi（t）I。212）（）（txGtp，Ttx0122）（，Ttu0222）（，科技与创新Science and Technology&Innovation262023 年 第 17 期其中，T 为有限时间窗，10、20。阵风 g（t）可建模为：g（t）=L1w（t）+L2，w（t）=Ww（t）（3）在式中，未知扰动 w（t）R，L1、L2与扰动幅值有关，W 与扰动频率有关。2基于扰动观测器的有限时间复合跟踪控制器本节中，首先针对 g（t）设计扰动观测器：）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（tButptxAGLHtwWttHxttwLtwLtg2121（4）式中：H 为待设计的增益矩阵；W1=W+HGL1。由式（2）（4）可得：）（）（）（）（）（）（tEHtwHGLWtwtwLtg11（5）式中：BAEE ；TTTT ）（）（）（）（tutxtdtr。假设 1：rank（B）=rank（B G）。引理 110：若假设 1 成立，则存在矩阵 B*，使得下式成立。（IBB*）G=0（6）基于式（5）和式（6），设计如下的控制器：u（t）=u1（t）+u2（t）（7）其中，反馈控制项 u1（t）和扰动补偿项 u2（t）的具体形式为：）（）（，），（）（tg GBtuqttttttxKtukkkkk2111（8）其中，待设计增益矩阵KRn（n-1）。令l（t）=ttk，则式（8）中第一个方程改写为 u1（t）=）（tltxK。将式（5）中第一个方程和式（7）代入式（2）可得：）（）（）（）（）（）（tvEtwGLtxptlkxBKtxAtx1 （9）定义 111：给定正标量 c10，T0，加权矩阵 U 0，对 于 系 统）（）（）（tEtxAtx，若 有2T10TctxUtxctdtdrTr）（）（）（）（c1、c2是常数），则）（tx关于（c1，c2，U，T）是 FTB 的。令）（）（txCRtym，假设00）（w，本文设计有限时间复合跟踪控制器式（7），使得 t0，T，性 能 指 标 和 成 立：对 于 任 意 非 零12ctdr）（，式（9）中的误差动态）（tx关于（c1，c2，U，T，1，2，d）是 FTB 的；222122）（）（txty2222222）（）（tdturd。引理2：对于矩阵 Z0，标量0，nRx0，均有0T00TdddssxZssxssxZsx）（）（）（）（成立。引理 3：对于任意实矩阵1、2及（t），若有T（t）（t）I 成立，则存在任意正标量，使下式成立。1（t）2+1（t）2T11T+12T2（10）定义 sym（J）=J+JT，基于引理 2 及引理 3，给出定理 1。定理 1：给定加权矩阵 U，正标量 c1、i（i=1，2）、i（i=1，2）和d，若存在对称正定矩阵P、Q、Z及R，矩阵PKY 1、Y2=RH，正标量1、2、d、和 c2，使得下式成立。i，j0，i，j=1，13（11）（c1-1+121+222+d2r）e-Tc2（12）则性能指标和同时得到满足。式（11）中，对称矩阵i，j满足下列关系：PPA）（，sym1121T1-iiiMMZqQ，ZqBY11312，1，4=I，1，5=GL1，1，6=E，T91APq，T101GP，T131CP，ZqQeq1-22-，Zq132，Zq1-332-，TT193BYq，4，4=In，Iq,94，5，5=sym（RW+Y2GL1），5，6=Y2E，TT195GLq，5，11=Y2M1，5，12=Y2M2，6，6=d2Is，T96Eq,，7，7=12In+2N1TN1，8，8=22In+2N2TN2，21T992iiiMMqZP，10，10=0.5-1In，11，11=11I，12，12=2-1I，13，13=Im。矩阵中其他元素为零。证明：选择如式（13）所示的 Lyapunov 候选函数。V（t）=V1（t）+V2（t）+V3（t）+V4（t）（13）式中：）（）（）（txPtxtVT1；ssxQsxtVtqtdT2）（）（）（；0T3dqttssxZsxtV）（）（）（；）（）（）（twRtwtVT4。对 V（t）求导，且由引理 2 及212）（）（txGtp可得：）（）（）（）（）（）（tltxtxZtltxtxqssxZsxtqt dT1-T（14）0T1T1T）（）（）（）（txptptxGGtx（15）故有：Science and Technology&Innovation科技与创新2023 年 第 17 期27ssxQsxetXZXqXttVtqtstd TTT）（）（）（）（）（）（16）其中，TTT）（）（）（）（tltxqtxtxtTTTT ）（）（）（ttwtP，EGLIBKAqX 0 1，X满足：0000-0002-00020551-1-2211-11ERHXIZqZqXEPPGLPZqPBKXn（17）其中，X11=sym（PA）+Qq-1Z+G1TG1，X22=eqQq-1Z，X55=symR（W+HGL1），*为矩阵中对称元素。由 V（t）的定义，易知V（t）V1（t）V2（t）；另外，考虑（t）的定义，则由式（16）和（17）可得：0T22T21T2）（）（）（）（）（）（）（）（tututxtxtdtdtVtVrrd（18）基于 Schur 补引理及引理 3，则由式（18）可得：i，j0，i，j=1，9（19）其 中，对 阵 矩 阵 i，j满 足 以 下 关 系：21T1T111symiiiiPMPMPGGPA）（，1，3=PBK+2q-1Z，1，4=P，1，5=PGL1，1，6=PE，T91Aq，2，2=eqQq-1Z，2，3=q-1Z，3，3=2q-1Z，TT93BKq，nI-44，Iq94，）（，155symRHGLRW21TiiiiRMRHM，5，6=RHE，TT195GLq，6，6=d2Ir，T66Eq，nI2177-，1T11-13NN，8，8=22In+32-1N2TN2，99，21T1-iiiiMMqZ。矩阵中其他元素为零。另一方面，式（11）可重新表示为：0TCC（20）其中，C与的行数相同，且满足以下条件。T0 0 PCC；i，j，i，j=1，12 中各元素为：121212121121121211211111，易知TCC0，故可进一步得到0；基于 Schur补引理，则0 等价于：i，j0，i，j=1，9（21）其中，对称矩阵i，j满足以下关系：11，PGGPMMZqQPPAiiii21TT1sym）（，ZqBY1131，1，4=I，1，5=GL1，1，6=E，91，TAPq，ZqQeq1-22-，Zq1-32，33，Zq1-2-，T193YPq，nI44，Iq94，T221T21255symYMMYGLYRWiiii）（，5，6=Y2E，TT195GLq，6，6=d2Is，T96Eq，1T11121773NNIn，2T21222883NNIn，iiiiMMqPZP21T1-99，。矩阵中其他元素为零。由ZPPZP21-可 得：PZP1-9921T，iiiMMq，即若有式（12）成立，则有：i，j0，i，j=1，9（22）其中，iiiiMMqPZP21T1-99，其他元素与相同。令1PP，11PQPQ，11PZPZ，将PKY 1，Y2=RH 代入式（22），然后对式（22）两端相继左乘及右乘，（nsnIIIIPPP111diag），1PIn，再相继左乘及右乘，（nnnnIIIIdiag），1-PIIIInns，则式（22）等价于式（19）。即，若有式（12）成立，则有（18）成立。对式（18）从 0 到 T 积分，基于 Granwall 不等式可得：ssususxsxsdsdeeVtVTrrdTTd 0T22T210T2）（）（）（）（）（）（）（）（23）令2/12/1UPUP、2/12/1UQUQ、Z2121/UZU；易知2/112/1UPUP、Q21121/UQU、2/112/1UZUZ，则有：）（）（）（）（）（）（）（）（txUtxPtxUPUtxtxPtxtV/T1min21121TT（24）0-0TT1-max0-T1-maxT1-max00ddd 000 qqTTwRwssxUsxZssxUsxQxUxPeeV）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（25）考虑到1TcsxUsx）（）（，00）（w，将式（24）和（25）代入式（23）可得：科技与创新Science and Technology&Innovation282023 年 第 17 期ddTZhQhPceP/txUtx22221211max21max1max11minT 211 ）（）（）（）（）（）（26）定义）（Pmin，）（Pmax，又）（1minP1-max）（P，则由式（26）可得：）（）（）（ddTcetUxtx222212111T（27）由式（13）可知：TtctUxtx，）（）（02T（28）式（28）符合定义 1，即若有定理 1 成立，则有性能指标得到满足。类似的，由式（12）可得：）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（tytytututxtxtdtdtVtVrrdTT22T21T2 （29）对式（29）从 0 到 T 积分，考虑到 V（t）0，则由 Gronwall 不等式可得：stdtdsususxsxVtytyTrrdd 0 0T2T22T21T）（）（）（）（）（）（）（）（）（30）即，若有定理 1 成立，则性能指标得到满足。综上所述，LMI（13）和 LMI（14）保证性能指标和同时得到满足，故定理 1 证毕。3仿真分析在本节中，给出 6 车模型的高速列车数值仿真算例，以验证设计方案的有效性。与高速列车动力学模型有关的仿真参数选取如表 1 所示。另外，系统的测量输出矩阵 C 选择为 C=I9。表 1高速列车仿真参数参数数值mi/kg5.0104c0/（Nkg-1）8.63cv/（Ns2m-2kg-1）0.072 95ca/（Nsm-1kg-1）0.001 12k/（Nm-1）8.0104d/（Nsm-1）600令=0.001，c1=4.33，q=0.2，=0.6，1=0.1，2=0.1，T=550，U=I11，由定理 1 得到1=0.1、2=0.1 和d=1.450 8，则求解得到控制器增益 K 和 H 的值，因 K 和H 的维数较大，故此处略去。利用设计的有限时间复合跟踪控制器进行跟踪控制，得到的阵风估计结果和状态跟踪结果如图 1 和图 2 所示。状态跟踪的均方根误差（RootMean Square Errors，RMSEs）如表 2、表 3 所示。（a）300330 s 时阵风估计结果（b）500530 s 时阵风估计结果图 1阵风估计结果（a）相邻两节车间相对位移的跟踪结果（b）每节车相对速度的跟踪结果图 2相对位移和相对速度的跟踪结果时间/s时间/s时间/s时间/sx5v4x4v3x3v2x2v1x1v5v6Science and Technology&Innovation科技与创新2023 年 第 17 期29表 2相对位移跟踪的 RMSEs变量误差（10-4）x117.904 0 x21.035 5x33.820 6x42.285 3x50.290 6表 3相对速度跟踪的 RMSEs变量误差（10-2）v12.955 4v22.953 8v32.958 5v42.957 8v52.957 4v62.957 4由图 1 可知，设计的扰动观测器能够精确地估计阵风的真实值。由图 2 可知，基于扰动观测器，设计的有限时间复合控制器能有效地实现高速列车的跟踪控制。表 2、表 3 进一步证明了设计的有效性。经计算，阵风估计的 RMSEs 为 0.125 0，表明阵风估计较为精确，从而使相对位移和相对速度跟踪误差均相对较小，如表 2、表 3 所示，相对位移的跟踪误差均未超过 210-3，而相对速度跟踪误差均未超过 310-2。综上，本文设计的基于扰动观测器的有限时间复合控制器，不仅能有效估计阵风扰动，而且能保证闭环误差系统对于系统不确定性和外部扰动的 FTB，以及测量输出对于系统不确定性和外部扰动的鲁棒性能，从而有效地实现了对高速列车位移和速度的有限时间跟踪控制。4结论本文考虑系统的不确定性、阵风和外部扰动的影响，针对高速列车的位移和速度跟踪控制问题，提出了一种基于扰动观测器的有限时间复合控制策略。设计的复合控制器包括采样反馈控制项及扰动补偿项，视采样反馈控制项为输入时变时滞，建立了时变时滞误差系统，并将控制器的设计问题转化为 LMI 问题。给出仿真算例，通过仿真结果和分析，得出如下结论：设计的扰动观测器能够有效地估计阵风的真实值；基于设计的扰动观测器，提出的有限时间复合控制器保证了误差动态对外部扰动和不确定的 FTB；提出的有限时间复合控制器保证了测量输出对于外部扰动和不确定的有限时间鲁棒性。参考文献：1侯涛，郭洋洋，陈昱，等.基于多质点模型的高速列车速度控制研究J.铁道科学与工程学报，2020，17（2）：314-325.2周黄标，杜凯冰，罗源，等.基于多质点模型的重载列车平稳操纵仿真研究J.控制与信息技术，2021（2）：8-17.3朱晓敏，徐振华.基于单质点模型的城市轨道交通列车动力学仿真J.铁道学报，2011，33（6）：14-19.4徐传芳，陈希有，郑祥，等.基于动态面方法的高速列车蠕滑速度跟踪控制J.铁道学报，2020，42（2）：41-49.5戈萌，宋琦，胡鑫睿.高速列车非线性系统的分数阶有限时间控制器设计J.自动化学报，2021，47（7）：1672-1678.6林雪.高铁列控系统自适应主动容错控制研究D.北京：北京交通大学，2019.7白卫齐.基于动态通信拓扑的高速列车协同控制方法研究D.北京：北京交通大学，2020.8李德仓，孟建军，胥如迅，等.强风下高速列车滑模自适应鲁棒控制方法J.铁道学报，2018，40（7）：67-73.9白卫齐，董海荣，姚秀明，等.高速列车动态系统鲁棒故障诊断滤波器设计J.山东科技大学学报（自然科学版），2017，36（4）：38-44.10张柯.基于观测器的动态系统故障估计和调节D.南京：南京航空航天大学，2012.11薛文平.线性时滞系统有限时间稳定性分析与综合D.杭州：浙江大学，2014.作者简介：宋跞为（1997），电气工程专业硕士研究生，研究方向为高速列车运动控制系统的跟踪控制。（编辑：张超）