高二理科数学期末考试卷.doc

高二理科数学期末考试卷
一、选择题（5分×12=60分）
1、设是原点，向量对应的复数分别为那么向量对应的复数是
A. B. C. D.
2、在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n（n－3）条时，第一步验证n等于
A．3 B．4 C．5 D．6
3、异面直线与上的单位方向向量分别为，, 且, 则与的夹角为
A． B． C． D．
4、
A．0 B．1 C．2 D．
5、双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是
A.2 B. C. D.
6、在下列结论中，正确的是（ ）
①为真是为真的充分不必要条件
②为真是为假的必要不充分条件
③为假是为真的充分不必要条件
④为真是为假的必要不充分条件
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
7、“三角形的三条中线交于一点，而且这一点到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍”．试类比：四面体的四条中线（顶点到对面三角形重心的连线段）交于一点，而且这一点到顶点的距离等于它到对面重心距离的 倍．
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8、如图三棱锥A-BCD中,AB=AC=AD=2, ∠BAD=,
∠BAC=,∠CAD=,则
A. -2 B. 2　　 C. D.
9、已知为曲线上一点，则点到直线距离最小值为
A．1 B． C． D．2
10、函数，已知在时取得极值，则=
A．2 B．3 C．4 D．5
11、是的导函数，的图象如右图所示，则的图象只可能是

（A） （B） （C） （D）
12、过椭圆的左焦点作直线交椭圆于、两点，若存在直线使坐标原点恰好在以为直径的圆上，则椭圆的离心率取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题（4分×4=16分）
13、曲线在处的切线方程为 。
14、由曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 。
15、已知命题与命题都是真命题,则实数的取值范围是 。
16、已知抛物线到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若 双 曲 线 一 条 渐 近 线 与 直 线 AM垂直，
则实数a= 。

三、解答题（共六题74分，在答题卡规定的位置答题，写出必要的解题过程。）
17、（本小题满分12分）已知中至少有一个小于2。

18、（本题满分12分）已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形， AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点．
（Ⅰ）求AC与PB所成的角的余弦值；
A
B
C
D
P
M

（Ⅱ）在棱PC上是否存在点N，使DN∥平面AMC，若存在，确定点N位置，若不存在，说明理由。

19、（本题满分12分）已知数列满足, ,
（Ⅰ）计算出、、；
（Ⅱ）猜想数列通项公式,并用数学归纳法进行证明。

20、（本题满分12分）某水库堤坝因年久失修,发生了渗水现象,当发现时已有200m2的坝面渗水.经测算知渗水现象正在以每天4m2的速度扩散.当地政府积极组织工人进行抢修.已知每个工人平均每天可抢修渗水面积2m2,每人每天所消耗的维修材料费75元,劳务费50元；另给每人发放50元的服装补贴,每渗水1m2的损失为250元.现在共派去x名工人,抢修完成共用n天.
（Ⅰ）写出n关于x的函数关系式；
（Ⅱ）要使总损失最小,应派去多少名工人去抢修。
(总损失＝渗水损失＋政府支出)

21、（本题满分12分）已知、为椭圆的焦点，且直线与椭圆相切．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过的直线交椭圆于、两点，求△的面积的最大值，并求此时直线的方程。

22、（本小题满分14分）已知A（-1，2）为抛物线C: 上的点，直线过点A，且与抛物线C 相切，直线:交抛物线C于B，交直线于点D.
（1）求直线的方程；
（2）设的面积为S1，求及S1的值；
（3）设由抛物线C，直线所围成的图形的面积为S2，求证S1:S2的值为与a无关的常数。

参考答案
一、选择题：（每题5分，共60分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
B
B
A
C
A
B
A
B
D
D
D
二、填空题：（每题4分，共16分）
13． 14． 18 15 16．
三、解答题
17、证明：假设 都不小于2，则
因为，所以，
即，这与已知相矛盾，
故假设不成立
故中至少有一个小于2

18、解：方法1：
（Ⅰ）如图建立空间直角坐标系O—xyz，
则A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（0，2，0），M（0，1，），
∴，
∴．………………………6分
（Ⅱ）存在，N为PC中点．设
则．………7分
A
B
C
D
P
M
z
x
y
设平面AMC的一个法向量为

∴
令，则，
∴ ………………………9分
依题意，
∴，即N为PC中点． ………………………………12分
A
B
C
D
P
M
E

方法2：
（Ⅰ）如图，过作∥，且，
连结CE、AE，则即为AC与PB所成的角，
由已知可得，
A
B
C
D
P
M
F
G
N
． ……………………………………………6分
（Ⅱ）存在，PC中点N即为所求．
连DB交AC于点F，

取PM中点G，连DG、FM，则DG∥FM，
取PC中点N，连DN，则GN∥MC，
平面DGN∥平面AMC，
DN∥平面AMC． ……………………………………………12分
19、解：（Ⅰ）
-------------------------3分；
（Ⅱ）由⑴知分子是3，分母是以首项为5公差为6的等差数列
∴猜想数列 通项公式：---------------------5分
用数学归纳法证明如下：
① 当时，由题意可知，命题成立.------6分
② 假设当时命题成立， 即，----8分
那么，当时，
也就说，当时命题也成立-------------------------------------------11分
综上所述，数列的通项公式为---------------------------12分

20、解：（Ⅰ）由题意得所以.…………… 4分
（Ⅱ）设总损失为，则 … 6分

………………………10分
当且仅当,即时,等号成立. …………………11分
所以应派52名工人去抢修,总损失最小. ………………12分
（该小题亦可以利用导数求解）
21、解：（Ⅰ）方法1：依题意可设椭圆方程为，
由得代入消去并整理得
，
由
解得，
，． ………………………………6分
方法2：可求得关于直线对称点，
则
，． ………………………………6分
（Ⅱ）方法1：设过的直线：，代入消去并整理得
，
， ……………9分
，
当，即时，面积S最大，此时直线方程为．……………12分
方法2：①当过的直线斜率不存在时，方程为，此时
，………………………………………………8分
②当过的直线斜率存在时，设方程为代入消去并整理得，
点到直线的距离为，

综上，当过的直线斜率不存在时，，
此时直线方程为．……………………………………………… 12分

22、解：（1）由当x=1时，y＇=-4 ……2分
∴的方程为y-2=-4(x+1)即y=-4x-2 …………………3分
(2)得B点坐标为（） ……………………4分
由得D点坐标（,-4-2） ……………5分
点A 到直线BD的距离为 …………………………6分
= 22+4+2=2（+1）2
∴S1= ………………………………7分

(3)当>-1时，S1=（+1）3，………………………………8分

……………………………9分

………………10分
∴S1:S2= …………………………………………11分
当<-1时，S1= -（+1）3 ……………………12分
…………………13分
∴S1:S2=
综上可知S1:S2的值为与无关的常数，这常数是 。 ………………14分

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