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第十一章 三相电路
三相电路实质上是复杂正弦电流电路，因此，正弦交流电路的方向方法完全适用于三相电路。专门研究三相电路，是由于它是正弦交流电路的一种特殊类型，表现在：
（1）特殊的电源。三相电路由3个振幅、频率相同，而相位各差的正弦交流电源组成供电系统。三个电源的相量可以表示为，，，且满足，称为对称三相电源。
（2）特殊的负载。三相电源负载由，，三部分组成，每一部分称一相负载。
当时，称对称三相负载。
（3）特殊的联接方式。三相电源和三相负载以Y形或△形两种方式联接。
（4）特殊的计算方法。由对称三相电源和对称三相负载组成的对称三相电路具有一些特殊的规律性，利用这些规律性，得出对称三相电路归为一相计算的简便分析方法。
总之，抓住三相电路的特殊性，对计算分析对称三相电路的电压、电流和功率问题是很有帮助的。

11－1 已知对称三相电路的星形负载阻抗，端线阻抗，中线阻抗，中线阻抗，线电压。求负载端的电流和线电压，并作电路的相量图。
题解11-1图
解：按题意可画出对称三相电路如题解11－1图（a）所示。由于是对称三相电路，可以归结为一相（A相）电路的计算。如图(b)所示。
令，根据图（b）电路有

根据对称性可以写出

负载端的相电压为

故，负载端的线电压为

根据对称性可以写出

电路的向量图如题解11－1图（c）所示。

11－2 已知对称三相电路的线电压（电源端），三角形负载阻抗，端线阻抗。求线电流和负载的相电流，并作相量图。
解：本题为对称三相电路，可归结为一相电路计算。先将该电路变换为对称Y－Y电路，如题解11－2图（a）所示。图中将三角形负载阻抗Z变换为星型负载阻抗为

题解11－2图
令，根据一相（ A相）计算电路（见题解11－1图（b）中），有线电流为

根据对称性可以写出

利用三角形连接的线电流与相电流之间的关系，可求得原三角形负载中的相电流，有

而

电路的相量图如题解11－2图（b）所示。
注：从11－1和11－2题的计算分析中可以归纳出Y—Y联结的对称三相正弦交流电路的如下特点：
（1）中性点等电位，有，中线不起作用，即不管有无中线，电路的情况都一样。
（2）各相具有独立性。即各相的电压和电流只与各相的电源和负载有关，且和各相电源为同相序的对称量。
由以上特点可以得出计算对称三相电路的一般方法和步骤为：
（1）应用△－Y等效变换（，）把三相电路化为对称的Y－Y联接。
（2）用虚设的、阻抗为零的中线联接中性点，取出一相（一般为Ａ相）电路，计算对应的电压、电流。
（3）根据对称性，推出其余二相的电压、电流。
需要注意，对称三相电路中电压和电流相值与线值之间的关系，即（1）Y联接中，，；（2）△联接中，，。

11－3 对称三相电路的线电压，负载阻抗。试求：
（1）星形连接负载时的线电流及吸收的总功率；
（2）三角形连接负载时的线电流、相电流和吸收的总功率；
（3）比较（1）和（2）的结果能得到什么结论？
解：（1）星形连接负载时把对称三相电路归结为一相（A相）计算。令电源相电压，且设端线阻抗，根据一相计算电路，有线电流为

根据对称性可以写出

故星形连接负载时吸收的总功率为

（2）三角形连接负载时，令负载端线电压（即为相电压）（因为），则三角形负载中的相电流为

则

利用三角形连接的线电流与相电流的关系，可求得线电流为

则

故，负载所吸收的总功率为

（3）比较（1）和（2）的结果能得到在相同的电源线电压下，负载由Y联接改为△连接后，相电流增加到原来的倍，线电流增加到原来的3倍，功率也增加到原来的3倍。
注：不论对称负载是Y形连接还是△形连接，计算三相负载总功率的公式是相同的即。

11－4 图示对称工频三相耦合电路接于对称三相电源，线电压，，，。求相电流和负载吸收的总功率。

题11－4图
解：电路为对称三相电路，去耦等效电路如题解11－4图所示，可归结为一相（A相）电路来计算。

令相电压为：，则相电流为

根据对称性可以写出

负载吸收的总功率为

题解11－4图
11－5 图示对称Y－Y三相电路中，电压表的读数为1143.16V，，。求图示电路电流表的读数和线电压。

题11－5图
解：图示电路为对称Y－Y三相电路，故有，可以归结为一相（A相）电路的计算。
根据题意知，则负载端处的相电压为

而线电流为
（电流表读数）
故电源端线电压为

11－6 图示为对称的Y－Y三相电路，电源相电压为220V，负载阻抗。求：（1）图中电流表的读数；（2）三相负载吸收的功率；（3）如果A相的负载阻抗等于零（其他不变），再求（1），（2）；（4）如果A相负载开路，再求（1），（2）。

题11－6图
解：图示电路为对称Y－Y三相电路，故有，可归结为一相（A相）电路的计算。
（1）令，则线电流为

故图中电流表的读数为。
（2）三相负载吸收的功率为

（3）如果A相的负载阻抗等于零（即A相短路），则B相和C相负载所施加的电压均为电源线电压，即点和A点等电位，而

此时三相负载端的各相电流为

这时图中的电流表读数变为18.26A。
三相负载吸收的功率变为：

（4）如果图示电路中A相负载开路，则B相和C相负载阻抗串联接入电压中，而

此时三相负载中的各相电流为

这时图中的电流表读数为零。
三相负载吸收的功率为

注：在问题（3）和（4）的求解中，对称三相电源的对称性是不变的，但A相负载的变化，使得三相负载为不对称负载，从而使各相负载的电压、电流和吸收的功率发生变换。

11－7 图示对称三相电路中，，三相电动机吸收的功率为，其功率因数（滞后），。求和电源端的功率因数。

题11－7图
解：图示为对称三相电路，可以归结为一相电路的计算，如题解11－7图所示。

题解11－7图
令。由已知条件可求得线电流为

而负载Z（为三相电动机每相的阻抗）的阻抗角为

则
故
根据一相计算电路，有电源端相电压为

则电源端线电压为

电源端的功率因数为
（超前）

11－8 图示为对称的Y－△三相电路，，。求：（1）图中功率表的读数及其代数和有无意义？（2）若开关S打开，再求（1）。

题11－8图
解：（1）图示电路中两个功率表的读数分别为

则

以上表示说明和的读数没有什么意义，但和的代数和代表了三相电路负载吸收的总功率，这就是用两个功率表的方法来测量三相功率的原理（称二瓦计法）。
开关S闭合时，图示电路为对称三相制，此时有

本题中，线电流为

阻抗角
所以两功率表的读数为

负载吸收的总功率为

（2）开关S打开，图示电路变为不对称三相电路，但电源端仍为对称三相电源。故，令；仍有，则此时线电流和为

这时，两功率表读数为

所以，负载吸收的总功率

注：本题的分析结果说明，在三相三线制电路中，不论对称与否，都可使用二瓦计法来测量三相功率。需要指出，两个功率表在电路中的联结方式有多种，但必须把其电流线圈串入任意两端线中（本题为A，C线），他们的电压线圈的非电源端（无星号*端）共同接到第三条端线上（本题为B线）。在一定的条件下，两个功率表之一的读数可能为负，求代数和时该读数应取负值。

11－9 已知不对称三相四线制电路中的端线阻抗为零，对称电源端的线电压，不对称的星形连接负载分别是，，。试求：（1）当中线阻抗时的中点电压、线电流和负载吸收的总功率；（2）当且A相开路时的相电流。如果无中线（即）又会怎样？
解：题解11－9图所示电路为不对称三相四线制电路。

题解11－9图
（1）设对称电源端的相电压，则；，中点电压为

所以，各相负载的电流（即线电流）为

负载吸收的总功率为

（2）当且A相开路（即）时，有，，B相和C相互不影响，有

如果无中线，即且A相开路，有，，则

而
注：本题的计算说明，不对称三相电路不具有对称三相电路的特点，因而必须采用正弦稳态电路的方法进行分析。

11－10 图示电路中年，对称三相电源的线电压，，，为R，L，C串联组成，，，。试求：（1）开关S打开时的线电流；（2）若用二瓦计法测量电源端三相功率，试画出接线图，并求两个功率表的读数（S闭合时）。

题11－10图
解：（1）标出各线电流参考方向如图所示。开关S打开时，图示电路中

所以，此时电路为三相对称电路，有，可以归结一相（A相）电路的计算。
令电源端相电压：，则

根据对称性可以写出

题解11－10图
（2）开关S闭合时，用二瓦计法测量电源端三相功率的接线图如题解11－10图所示。这时，在A，B断线之间接入阻抗后，电路为不对称三相电路，但电源仍为对称三相电源。令，则，；而，，。即，负载Z上的线电压和相电压均未变，则三个负载阻抗Z中的电流，和不变，但与因加入阻抗中的电流而变化。电流为

故由图知

两功率表的读数为

注：《电路》（第四版）教材P258中的式（11－3）只能用于计算对称三相制电路中的功率表读数。对于不对称三相电路中的功率表读数要用本题所采用的方法计算。

11－11 图（a）为对称三相电路，经变换后可获得图（b）所示一相计算电路。试说明变换的步骤并给出必要的关系。

题11－11图
解：欲将图（a）所示的对称三相电路变换为图（b）所示的一相计算电路，需先将图（a）电路变换为对称的Y－Y三相电路，然后，再化为一相计算电路。其变换步骤如下：
（1）将三相电源由原来的三角形连接变换为星形连接，有

（2）将图（a）电路负载端的三角形连接的阻抗变换为星形连接，既有，并增加了此负载端处的中性点。
（3）可以证明中性点，和是等电位点，因此，即可获得图（b）所示的一相计算电路。

11－12 已知对称三相电路的负载吸收的功率为2.4kW，功率因数为0.4（感性）。试求：(1)两个功率表的读数（用二瓦计法测量功率时）；（2）怎样才能使负载端的功率因数提高到0.8？并再求出两个功率表的读数。
解：（1）用二瓦计法测量功率的接线图如题解11－12图所示。对称三相电路两功率表的读数为

根据题意知阻抗角
由，可得

所以，两功率表的读数为

（2）欲提高三相负载端的功率因数，可在负载端并联对称三相星形连接的电容器组以补偿无功功率，如题解11－12图中虚线所示。

题解11－12图
提高的功率因数为，故，并联电容器组前，无功功率

并联电容器组后，无功功率为

所以，三相电容器组产生的无功功率为

设此时两功率表的读数分别为和，且三相负载总有功功率不变，即有

但并联三相电容器组后，阻抗角由变为，故得

所以

11－13 图示三相（四线）制电路中，，，对称三相电源的线电压为380V，图中电阻R吸收的功率为24200W（S闭合时）。试求：（1）开关S闭合时图中各表的读数。根据功率表的读数能否求得整个负载吸收的总功率；（2）开关S打开时图中各表的读数有无变化，功率表的读数有无意义？

题11－13图
解：（1）开关S闭合时，三角形负载端的，，和星形负载端的，，处的线电压均与电源端相同，为对称线电压。令，。由图知，电路中电阻R吸收的功率为：，且，故得

所以
三角形负载中的相电流为

则线电流为

根据对称性可以写出

所以，电流表的读数为：。
又因为构成星形对称三相负载满足，所以，电流表的读数为零。
星形负载中的线电流为

此时，电源端的线电流为

功率表W的读数为

功率表读数为所有与A相端线相连接负载的有功功率之和，即（设和分别为三角形负载和星形负载吸收的总功率）

因此三相负载吸收的总功率为

所以，整个负载吸收的总功率为

（2）开关S 打开时，即N 点与点无中线，由阻抗构成的三角形负载仍为对称三相负载与对称三相电源相连接，故线电流和不变，仍为对称组，因此，电流表的读数不变，为65.82A。
由构成的星形负载由于在A相负载处并联了电阻R，而使其成为不对称三相负载，其中性点与N之间的电压为

这时，线电流为

且图中，。电流表的读数为电阻中电流的有效值，而

故，电流表的读数为40.54A。
又因为此时电源端的线电流为

所以，功率表的读数为

此时功率表读数不是对称三相电路中的A相负载的有功功率，而是A相电源的功率。

11－14 图示为对称三相电路，线电压为380V，，负载吸收的无功功率为。试求：（1）各线电流；（2）电源发出的复功率。

题11－14图
解：图示电路为对称三相电路，可以归结为一相电路的计算。（1）令电源端相电压，则。所以

又根据题意知，对称三相电容负载吸收的无功功率为

故得
则
因此
根据对称性可以写出

（2）由以上计算可知，对称三相电路A相的线电流和电源端相电压为
；
所以，对称三相电源发出的复功率为

11－15 图示为对称三相电路，线电压为380V，相对流。求图中功率表的读数。

题11－15图
解：设对称三相电源线电压，则可以求得相电流为

利用三角形连接的线电流与相电流的关系，可得

所以，功率表的读数为

又因为对称三相负载为纯感性负载，不吸收有功功率，即总有功功率应为：，故功率表的读数为

或用下式计算：

11－16 图示电路中的是频率的正弦电压源。若要使构成对称三相电压，试求R，L，C之间应当满足什么关系。设，求L和C的值。

题11-16图
解：对结点b列出KCL方程：
（1）
其中，。
设和构成对称三相电压，并令，则

将以上各电压代入到方程式（1）中，得

将上述方程左边的实部和虚部展开有

解之，得
又已知
则得
故