资源描述
(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量a－b可表示为( )
A．3e2－e1
B．－2e1－4e2
C．e1－3e2
D．3e1－e2
解析：连接a，b的终点，并指向a的向量是a－b.
答案：C
2．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A．＝＋ B．＝－
C．＝－＋ D．＝－－
解析：由减法的三角形法则知＝－.
答案：B
3．△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )
A. B.
C. D．1
解析：＝2＝2(λ＋μ)＝2λ＋2μ.
∵M、B、C共线，∴2λ＋2μ＝1，λ＋μ＝.
答案：A
4．(2010·广东中山六校联考)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ则λ等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：∵＝＋，＝＋，
∴2＝＋＋＋.又＝2，
∴2＝＋＋
＝＋＋(－)＝＋.
∴＝＋，即λ＝.
答案：A
5．已知平面上不共线的四点O、A、B、C.若－4＋3＝0，则＝( )
A. B.
C．2 D．3
解析：∵－4＋3＝0，∴(－)－3＋3＝0，即－＝3(－)，∴＝3，∴＝3.
答案：D
6．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为( )
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边所在直线上
D．P是AC边的一个三等分点
解析：∵＋＋＝，
∴＋＋＝－，∴＝－2＝2，
∴P是AC边的一个三等分点．
答案：D
二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)
7．(2009·安徽高考)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中，λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
解析：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，且E、F分别为CD、BC中点．
∴＝＋
＝(－)＋(－)
＝(＋)－(＋)
＝(＋)－，
∴＝(＋)，∴λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
答案：
8．设向量e1，e2不共线，＝3(e1＋e2)，＝e2－e1，＝2e1＋e2，给出下列结论：①A、B、C共线；②A、B、D共线；③B、C、D共线；④A、C、D共线，其中所有正确结论的序号为________．
解析：＝－＝4e1＋2e2，＝－＝3e1，由向量共线的充要条件b＝λa(a≠0)可得A、C、D共线，而其他λ无解．
答案：④
9．(2010·南通模拟)已知两个不共线的向量，的夹角为θ，且||＝3.若点M在直线OB上，且|＋|的最小值为，则θ的值为________．
解析：如图，作向量＝，则＋＝，其中点N在直线AC上变化，显然当ON⊥AC时，即点N到达H时，||有最小值，且∠OAH＝θ，
从而sinθ＝＝，
故θ＝或θ＝(根据对称性可知钝角也可以)．
答案：或π
三、解答题(共3个小题，满分35分)
10．设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A、B、D三点共线，求实数k的值．
解：∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，
∴＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.
∵A、B、D三点共线，∴∥，∴＝λ.
∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，
∴2e1＋ke2＝λe1－4λe2.
又e1，e2是两个不共线向量，
∴∴k＝－8.
11．如图，已知在▱ABCD中，AH＝HD，BF＝MC＝BC，设＝a，＝b，试用a，b分别表示、、.
解：＝＋＋＝b＋a＋
＝a＋b－b＝a＋b，
＝＋＋＝＋＋
＝b－a＋(－b)＝－b－a，
＝＋＝＋＝a＋b.
12．(2011·济南模拟)已知△ABC中，＝a，＝b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足＝＋λa＋λb，则动点P的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．
解：依题意，由＝＋λa＋λb，
得－＝λ(a＋b)，
即＝λ(＋)．
如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于O，
则＝λ，
∴A、P、D三点共线，
即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹必过△ABC边BC的中点．
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