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初三数学方案设计专题
方案设计与决策在中考中是常见题型．涉及代数方面的有方程(组)、不等式(组)和函数两类；涉及几何方面的有测量、包装等．
考向一　利用方程(组)或不等式(组)进行方案设计
生活中许多实际问题需借助方程(组)或不等式(组)的求解，不仅如此还需要对方程(组)或不等式(组)的解，进行有针对性的分析作出方案设计与决策．
【例1】 (2011湖南永州)某学校为开展“阳光体育”活动，计划拿出不超过3 000元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8∶3∶2，且其单价和为130元．
(1)请问篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元？
(2)若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个(副)，羽毛球拍的数量是篮球数量的4倍，且购买乒乓球拍的数量不超过15副，请问有几种购买方案？
分析：(1)已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8∶3∶2，且其单价和为130元．可以设它们的单价分别为8x,3x,2x元，列一元一次方程来解决；(2)根据购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个(副)，羽毛球拍的数量是篮球数量的4倍，找出羽毛球拍和乒乓球拍与篮球的关系，再根据购买乒乓球拍的数量不超过15副和不超过3 000元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍这两个不等关系列不等式组，求出篮球数量的范围，从而制定出方案．
解：(1)因为篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8∶3∶2，所以，可以依次设它们的单价分别为8x,3x,2x元，于是，得8x＋3x＋2x＝130，解得x＝10.
所以，篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别为80元、30元和20元．
(2)设购买篮球的数量为y个，则购买羽毛球拍的数量为4y副，购买乒乓球拍的数量为(80－y－4y)副，根据题意，得80y＋30×4y＋20(80－y－4y)≤3 000 ①；80－y－4y≤15 ②
由不等式①，得y≤14，由不等式②，得y≥13.
于是，不等式组的解集为13≤y≤14，
因为y取整数，所以y只能取13或14.
因此，一共有两个方案：
方案一，当y＝13时，篮球购买13个，羽毛球拍购买52副，乒乓球拍购买15副；
方案二，当y＝14时，篮球购买14个，羽毛球拍购买56副，乒乓球拍购买10副．
方法归纳：本类型题目主要特点有：(1)当利用不等关系来确定取值范围时，要结合不等式的取值范围来讨论；
(2)当利用方程来确定取值范围时，往往利用解的整 数性来解答．
需要说明的是利用方程(组)或不等式(组)进行方案设计常常可借助一次函数的性质进行决策．
考向二　利用二次函数进行方案设计
在商业活动或生产活动过程中常常遇到最优化问题．解决此类问题一般可借助二次函数以及二次函数的最大(小)值进行最优方案的选择或设计．
【例2】 (2011江津)在“五个重庆”建设中，为了提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场，其中四边形ABCD是矩形，分别以AB，BC ，CD，DA边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为628米，设矩形的边长AB＝y米，BC＝x米．(注：取π＝3.14) 
 (1)试用含x的代数式表示y.
(2)现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元；
①设该工程的总造价为w元，求w关于x的函数关系式．
②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由．
③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC的长不超过AB长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由．
分析：(1)根据圆周长列出关于x，y的等式；
(2)①根据三个区域的面积和价格标准，列出关于x的函数关系式；②比较二次函数的最小值与1千万的大小，给出判断；③根据“建设刚好把政府投入的1千万与企业募捐资金64.82万元刚好用完”列出相应的一元二次方程，解出方程的根，根据长宽的要求进行取舍．
解：(1)由题意得πy＋πx＝628.
∵π＝3.14，∴3.14y＋3.14x＝628.
∴x＋y＝200.则y＝200－x.
(2)①w＝428xy＋400π(y/2)2＋400π(x/2)2＝428x(200－x)＋400×3.14×(200－x)24＋400×3.14×x24＝200x2－40 000x＋12 560 000.
②仅靠政府投入的1千万元不能完成该工程的建设任务，其理由如下：由①知w＝200(x－100)2＋1.056×107＞107，
所以不能．
③由题意，得x≤23y，即x≤23(200－x)，解得x≤80.
∴0≤x≤80.
又根据题意，得w＝200(x－100)2＋1.056×107＝107＋6.482×105.
整理，得(x－100)2＝441，解得x1＝79，x2＝121(不合题意，舍去)．
∴只 能取x＝79，则y＝200－79＝121.
∴设计的方案是：AB长为121米，BC长为79米，再分别以各边为直径向外作半圆．
方法归纳：利用二次函数解决方案设计问题一般地需要先建立二次函数解析式，然后根据求二次函数最值的方法，即当x＝－b/2a时，y有最大(小)值(4ac－b2)/4a求得最值．最后 要结合问题情境确定方案．注意有时确定最值时，需要考虑要在x的取值范围内．
考向三　利用几何知识进行方案设计与决策
利用几何知识进行方案设计，不仅要有一定的几何作图能力，而且要能熟练地运用几何的有关性质及全等、相似、图形变换、方程及三角函数的有关知识，并注意充分发挥分类讨论、类比归纳 、猜想验证等数学思想方法的作用．
【例3】 某校数学研究性学习小组准备作测量旗杆的数学实践活动，来到旗杆下，发现旗杆AB顶端A垂下一段绳子ABC.经研究发现，原来制定的一系列测量方案，在此都不需要．如今只借助垂下的绳子和一根皮尺，在不攀爬旗杆的情况下，测量相关 数据，就可以计算出旗杆的高度．
(1)请你给出具体的测量方案，并写出推算旗杆高度的过程；
(2)推测这个数学研究性学习小组原来制定的一系列测量旗杆的方案是什么？
分析：针对该问题所提供的情境知道：(1)旗杆垂直于地面；(2)旗杆AB顶端A垂下一段绳子，即绳子比旗杆长出的部分可度量．因此可联系相关的数学知识利用勾股定理探讨具体测量方案．
解：(1)测量方案设计如下：
①测量绳子比旗杆多出的部分BC＝a m；
②把绳子ABC拉紧到地面D处，测量B到D的距离BD＝b m.
 推算过程：设旗杆的高度为x m，则AD是(x＋a) m.
在直角△ABD中，根据AB2＋BD2＝AD2得x2＋b2＝(x＋a)2，
x2＋b2＝x2＋a2＋2ax，解得x＝(b2－a2)/2a.
(2)这个数学研究性学习小组原来制定的测量旗杆的方案可能有以下几个：
 方法归纳：关于物体的测量是一个实际问题，因此必须考虑实际环境，结合实际环境，充分运用所学知识制定方案，制定方案时要遵循可操作性强、简单易行原则． 第2个问题的测量方案还可有其 他的，有兴趣的同学可自行进一步探讨．对于以上2种测量方案的相关计算方法，请同学们自己给出．