九年级数学中考专题系列-方案设计专题复习全国通用.doc

方案设计专题复习

课程标准要求“人人学有价值的数学”．根据这一理念，中考命题者精心编拟了一类中考题—“方案设计型”试题．
“方案设计型”试题是指通过阅读、观察、探索等方法，从题目提供的相关材料中发现有用的解题信息，并综合运用所学知识加以分析、计算、比较和判断，在题目所提供的或隐含的多种方案中得到最优方案的一种试题．
这种试题的特点是：解决问题的方案不是惟一的，具有多样性和选择性，因而又具有开放型试题的特点．“方案设计型”试题有时会给出设计要求，让考生自己设计方案；有时需要学生通过阅读、观察、归纳、探索和比较等手段寻找解决实际问题的方法，得出最佳方案．这种试题命题的背景广泛，考生自由施展才华的空间大，是近年来中考试题的一个新的亮点，而且所占试题的比分比较多．
一、利用概率知识进行方案设计
【例1】小明与小华在玩一个掷飞镖游戏，如图甲是一个把两个同心圆平均分成8份的靶，当飞镖掷中阴影部分时，小明胜，否则小华胜（没有掷中靶或掷到边界线时重掷）．
（1）不考虑其他因素，你认为这个游戏公平吗？说明理由．
（2）请你在图乙中，设计一个不同于图甲的方案，使游戏双方公平．
图甲
图乙

【解析】（1）这个游戏公平．
根据图甲的对称性，阴影部分的面积等于圆面积的一半，
这个游戏公平．
（2）把图乙中的同心圆平均分成偶数等分，再把其中的一半作为阴影部分即可．（图略）
【点悟】此题注意到了选题的趣味性，联系学生生活实际，易于引起学生的解题兴趣，使学生体会数学与现实的联系．这类题目根据阴影部分面积在圆中所占的百分比来确定概率从而作出合理的判断．
【例2】某公司现有甲、乙两种品牌的计算器，甲品牌计算器有三种不同的型号，乙品牌计算器有两种不同的型号，新华中学要从甲、乙两种品牌的计算器中各选购一种型号的计算器．
（1）写出所有的选购方案（利用树状图或列表方法表示）；
（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么型号计算器被选中的概率是多少？
（3）现知新华中学购买甲、乙两种品牌计算器共40个（价格如图所示），恰好用了1000元人民币，其中甲品牌计算器为型号计算器，求购买的型号计算器有多少个？
公司
计算器单价
（单位：元）
型：60
型：40
型：25
型：50
型：20

【解析】（1）树状图表示如下：

甲品牌
乙品牌

甲

乙
列表表示如下：

有6种可能结果：．
说明：此题答案不惟一，也可用其它方式表达选购方案．
（2）因为选中型号计算器有2种方案，即，所以型号计算器被选中的概率是．
（3）由（2）可知，当选用方案时，设购买型号，型号计算器分别为个，
根据题意，得解得
经检验不符合题意，舍去；
当选用方案时，设购买型号、型号计算器分别为个，
根据题意，得解得
所以新华中学购买了5个型号计算器．
【点悟】本题注意到了选题的现实性，以计算器的选用为命题背景，对大多数学生来说都是熟悉的，因而试题公平性得以保证．这类题目往往通过树状图或列表法来计算可能的选用方案，进而求出A型计算器被选中的概率．第（3）小问较好地综合了方程组的知识，而且要求学生有分类讨论意识，并根据应用问题的实际进行方程组解的取舍．
二、利用不等式进行方案设计
【例3】我市某生态果园今年收获了吨李子和吨桃子，要租用甲、乙两种货车共辆，及时运往外地，甲种货车可装李子吨和桃子吨，乙种货车可装李子吨和桃子吨．
（1）共有几种租车方案？
（2）若甲种货车每辆需付运费元，乙种货车每辆需付运费元，请选出最佳方案，此方案运费是多少．
【解析】（1）设安排甲种货车辆，乙种货车辆，
　　　　根据题意，得：　
　　　　取整数有：3，4，5，共有三种方案．
（2）租车方案及其运费计算如下表．（说明：不列表，用其他形式也可）
方案
甲种车
乙种车
运费（元）
一
3
3

二
4
2

三
5
1

答：共有三种租车方案，其中第一种方案最佳，运费是5100元．
【点悟】本题以农村运输水果发展经济的问题为背景，具有现实意义．不同运送方法会产生不同的经费开支，方案选择正确可大大节约开支，对快速发展经济很有帮助．这样的考题可以不断提高同学们的应用意识和实践能力．近年来许多考题都取自学生熟悉的生活环境，这样的题目背景自然真实、内容丰富、情境多样，充分体现时代气息，给数学知识及数学教学赋予生机与活力．因此，设置这样的处理现实问题的考题对培养同学们的应用意识和分析、解决问题的能力很有帮助，值得提倡．
【例4】随着大陆惠及台胞政策措施的落实，台湾水果进入了大陆市场．一水果经销商购进了两种台湾水果各10箱，分配给他的甲、乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售．预计每箱水果的盈利情况如下表：

种水果/箱
种水果/箱
甲店
11元
17元
乙店
9元
13元
有两种配货方案（整箱配货）：
方案一：甲、乙两店各配货10箱，其中种水果两店各5箱，种水果两店各5箱；
方案二：按照甲、乙两店盈利相同配货，其中种水果甲店 箱，乙店 箱；种水果甲店 箱，乙店 箱．
（1）如果按照方案一配货，请你计算出经销商能盈利多少元；
（2）请你将方案二填写完整（只填写一种情况即可），并根据你填写的方案二与方案一作比较，哪种方案盈利较多？
（3）在甲、乙两店各配货10箱，且保证乙店盈利不小于100元的条件下，请你设计出使水果经销商盈利最大的配货方案，并求出最大盈利为多少？
【解析】（1）按照方案一配货，经销商盈利：
（元）
（2）只要求学生填写一种情况．
第一种情况：2，8，6，4；第二种情况5，5，4，6；第三种情况：8，2，2，8．
按第一种情况计算：（元）；
按第二种情况计算：（元）；
按第三种情况计算：（元）．
方案一比方案二盈利较多．
（3）设甲店配种水果箱．则甲店配种水果箱，
乙店配种水果箱，乙店配种水果箱．
，
．
经销商盈利为
．
当时，值最大．
方案：甲店配种水果3箱，种水果7箱．乙店配种水果7箱，种水果3箱．最大盈利：（元）．
【点悟】以上两题的背景都来自现实生活中的实际问题，生活气息浓厚．这类题目需要学生先根据题意信息所表达的数量关系得到关系式，然后求出未知数的取值范围或特殊值，进而得到多种不同的方案，再通过计算、判断和比较得出最优的方案．这类题目主要考查学生的阅读理解能力，知识迁移能力以及解决实际问题的能力，很好的体现了新课程的理念．
三、利用函数进行方案设计
【例5】某蔬菜基地加工厂有工人100人，现对100人进行工作分工，或采摘蔬菜，或对当日采摘的蔬菜进行精加工．每人每天只能做一项工作．若采摘蔬菜，每人每天平均采摘48kg；若对采摘后的蔬菜进行精加工，每人每天可精加工32kg（每天精加工的蔬菜和没来得及精加工的蔬菜全部售出）．已知每千克蔬菜直接出售可获利润1元，精加工后再出售，每千克可获利润3元．设每天安排名工人进行蔬菜精加工．
（1）求每天蔬菜精加工后再出售所得利润（元）与（人）的函数关系式；
（2）如果每天精加工的蔬菜和没来得及精加工的蔬菜全部售出的利润为元，求与的函数关系式，并说明如何安排精加工人数才能使一天所获的利润最大？最大利润是多少？
【解析】（1），．
（2），
由题意知：
解得

随的增大而增大
当时，有最大值，（元）
安排60人进行精加工，40人采摘蔬菜，一天所获利润最大，最大利润5760元．
【点悟】本题从知识角度看，将一次函数与不等式有机结合起来，着重考查学生分析问题、求函数解析式、求不等式的特殊解、求函数的最值等解题能力．解这类问题时要求学生熟练掌握一次函数的增减性质，还要有一定的生活常识．
【例6】荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支万元．每公顷蔬菜年均可卖万元．
（1）基地的菜农共修建大棚（公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为（万元），写出关于的函数关系式．
（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）
（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施年内不需增加投资仍可继续使用．如果按年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．
【解析】（1）．
（2）当时，即，，
从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建公顷大棚．
（3）设年内每年的平均收益为（万元）

不是面积越大收益越大．当大棚面积为公顷时可以得到最大收益．
建议：①在大棚面积不超过公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益．
②大棚面积超过公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．
③当时，，．大棚面积超过公顷时，不但不能收益，反而会亏本．
【点悟】本题从知识角度看，考察了二次函数获取最值的知识．这类题目既考察学生对基础知识的掌握情况，又考查学生的思维能力和分析判断能力．
四、利用几何知识进行方案设计
【例7】高为12米的教学楼前有一棵大树，如图（）．
（1）某一时刻测得大树、教学楼在阳光下的投影长分别是米，米，求大树的高度；
（2）现有皮尺和高为米的测角仪，请你设计另一种测量大树高度的方案，要求：
①在图11（）中，画出你设计的测量方案示意图，并将应测量的数据标记在图上（长度用字母表示，角度用希腊字母表示）；

Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｆ
Ｅ
Ａ
Ｂ
图（）
图（）
②根据你所画出的示意图和标注的数据，求出大树的高度（用字母表示）．

【解析】（1）连结，，则

即大树高是米
（2）解法一：
①如图1（）（标注，，画草图也可给相同的分）
②在中，

Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｅ
Ｄ
Ｆ
Ａ
Ａ
Ｂ
Ｂ
Ｍ
Ｍ
Ｃ
Ｃ
Ｄ
Ｄ

图1（）
图1（）
图1（）

解法二：
①如图1（）（标注，也可画草图）
②

【点悟】这是一道与现实生活联系紧密的测量问题，试题具有开放性，要求学生既动脑思考又动手画图，它着重考查学生应用数学知识解决问题的能力．对于参加中考的同学们来说，解题的方法并不惟一．同学们可以利用多种几何性质设计出多种测量方案．
【例8】在一次科学探究实验中，小明将半径为5cm的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形．
（1）取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为6cm，开口圆的直径为6cm．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明；
（2）假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为6cm，开口圆直径为7.2cm，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？

图1

图2

【解析】（1）解法一：
　　　　表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形，
　　　　表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．
　　　　由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系．将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为圆，则围成的圆锥形的侧面积
．
　　　　它的侧面展开图是半圆，其圆心角为．
　　　　如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，
　　　　展开的扇形弧长为．
　　　　该侧面展开图的圆心角为．
　　　　由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等．

　　　　该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁．
解法二：
　　　　圆锥可以看作是等腰三角形围绕其对称轴旋转而成的几何图
形，其正视图和侧视图皆为全等的等腰三角形，
　　　　如滤纸片能紧贴漏斗内壁，由其两母线和开口圆的直径构成
的等腰三角形必与漏斗两母线和开口圆的直径构成的等腰三角
形相似或顶角相同．
　　　　根据题意可得，滤纸围成的圆锥形开口圆的圆周长应为
（cm）．
　　　　由此可得其开口圆的直径为5cm．
　　　　滤纸圆锥的两母线长和开口圆的直径都是5cm；漏斗两母线长和开口圆的直径都
是6cm．两三角形皆为等边三角形．
　　　　故两等边三角形相似且角相等，所以滤纸片能紧贴漏斗内壁．
　 （2）如果抽象地将母线长为6cm，开口圆直径为7.2cm的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面
展开，得到的扇形弧长为cm，圆心角为．
　　　　滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为，
　　　　又重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的
面积的差的一半，
　　　　滤纸重叠部分每层面积．
【点悟】本题是今年中考最出彩的一道题.作为一道实验操作与几何说理题,主要考查圆锥图形及其侧面展开图的认识、变换、计算与说明．其中包含深刻的图形变换思想，需要学生具有丰富的空间想象能力．相当一部分学生感到题目新颖、生动有趣，但运用数学基础知识解答此问题时有一定的困难，平时基础扎实且头脑灵活的学生回答该题情况良好，而读死书做成套题的学生虽感到题目背景熟悉，但却不知用什么数学知识来解释“紧贴”这一数学模型及事实．由于本题源于化学中的简单实验操作，背景简单且设计非常新颖，所以在命题时设计了一定的铺垫．通过考后调查分析，该题确实重点考查了学生的观察图形能力、抽象思维能力、空间想像能力、运算能力和解决实际问题的能力，对引导学生注意学习生活中所包含的朴素的数思想，激发他们开拓思维、增强创新能力大有裨益．如果学生没有透彻理解圆锥及其侧面展开图和圆心角之间的关系，或不具备灵活运用数学知识的能力，是较难答全本题的．通过本题可提醒学生，平时多注意灵活运用数学基础知识解决身边的数学问题．
备用例题
1．如图甲，李叔叔想要检测雕塑底座正面四边形是否为矩形，但他随身只带了有刻度的卷尺，请你设计一种方案，帮助李叔叔检测四边形是否为矩形（图乙供设计备用）．

（图甲）
（图乙）

答案：解：方案如下：
①用卷尺分别比较与与的长度，当，且时，四边形为平行四边形；否则四边形不是平行四边形，从而不是矩形．
②当四边形是平行四边形时，用卷尺比较对角线与的长度．当时，四边形是矩形；否则四边形不是矩形．
说明：（1）考生设计以下方案，请参照给分．
方案一：先用勾股定理逆定理测量一个角是否为直角，然后用同样的方法再测量另外两个角是否也为直角，并给出判断；
方案二：先测量四边形是否为平行四边形，再用勾股定理逆定理测量其中一个角是否为直角，并给出判断．
2．操作与探究：
（1）图①是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按如图方法折叠，是点A与点C重合，DE为折痕．试证明△CBE等腰三角形；
（2）再将图①中的△CBE沿对称轴EF折叠(如图②)．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个形，另一个是拼合(指无缝无重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图③中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图③中画出折痕；
（3）请你在图④的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；
（4）有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四条边上)．请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足何条件是，一定能折成组合矩形？
(第28题图)
A
A
A
B
C
B
B
D
C
E
E
D
C
F
图①
图②
图③
图④

【解析】（1）∵∠ECB＝90°－∠DCE，∠B＝90°－∠A，又由对称性知，∠A＝∠DCE，∴∠ECB＝∠B，∴△BCE是等腰三角形．

答图1 答图2
（2）如答图1所示（共有三种折法，折痕画对均可）
（3）如答图2所示（答案不唯一，只要体现出一条边与该边上的高相等即可）
（4）当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个组合矩形．