中考数学专题复习方案设计与决策型问题.doc

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方案设计与决策型问题
一、选择题
1、（山东省德州二模）今年是祖国母亲60岁生日，小明、小敏、小新商量要在国庆前夕给祖国母亲献礼，决定画5幅国画表达大伙的爱国之情。小明说：“我来出一道数学题：把剪5幅国画的任务分配给3个人，每人至少1幅，有多少种分配方法?”小敏想了想说：“设各人的任务为x、y、z，可以列出方程x+y+z=4。”小新接着说：“那么问题就成了问这个方程有几个正整数解。”现在请你说说看：这个方程正整数解的个数是( )
A．7个 B．6个 C．5个 D．3个
答案：B
2、（2012山东省德州三模）现有边长相同的正三角形、正方形、正六边形、正八边形的地砖，要求至少用两种
不同的地砖作镶嵌 (两种地砖的不同拼法视为同一种组合), 则不同组合方案共有（ ）
A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种
答案：B
3、（山东省德州二模）今年是祖国母亲60岁生日，小明、小敏、小新商量要在国庆前夕给祖国母亲献礼，决定画5幅国画表达大伙的爱国之情。小明说：“我来出一道数学题：把剪5幅国画的任务分配给3个人，每人至少1幅，有多少种分配方法?”小敏想了想说：“设各人的任务为x、y、z，可以列出方程x+y+z=4。”小新接着说：“那么问题就成了问这个方程有几个正整数解。”现在请你说说看：这个方程正整数解的个数是( )
A．7个 B．6个 C．5个 D．3个
答案：B
4、（2012山东省德州三模）现有边长相同的正三角形、正方形、正六边形、正八边形的地砖，要求至少用两种
不同的地砖作镶嵌 (两种地砖的不同拼法视为同一种组合), 则不同组合方案共有（ ）
A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种
答案：B

二、解答题
1、（2012山东省德州三模）提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（，且），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．
背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角 形的“等分积周线”．
尝试解决：
A

B C
A

B C
图 1 图 2

（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．

（2） 小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．
（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB＝BC＝5 cm，AC＝6 cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．
答案：解：(1) 作线段AC的中垂线BD即可.………………………………………………2分
(2) 小华不会成功．
若直线CD平分△ABC的面积
那么
∴

∴ …………………………………………………………………4分
∵
∴
∴ 小华不会成功．………………………………………………………………5分
（3）① 若直线经过顶点，则AC边上的中垂线即为所求线段．……………………6分
② 若直线不过顶点，可分以下三种情况：
（a）直线与BC、AC分别交于E、F，如图所示
过点E作EH⊥AC于点H，过点B作BG⊥AC于点G
易求，BG=4，AG=CG=3
设CF=x，则CE=8-x
由△CEH∽△CBG，可得EH=
根据面积相等，可得……………………………7分
∴ （舍去，即为①）或
∴ CF=5，CE=3，直线EF即为所求直线．……………………………8分
（b）直线与AB、AC分别交于M、N, 如图所示
由 (a)可得，AM=3，AN=5，直线MN即为所求直线．
（仿照上面给分）
(c) 直线与AB、BC分别交于P、Q，如图所示
过点A作AY⊥BC于点Y，过点P作PX⊥BC于点X
由面积法可得， AY=
设BP=x，则BQ=8-x
由相似，可得PX=
根据面积相等，可得………………………………………11分
∴ （舍去）或
而当BP时，BQ=，舍去．
∴ 此种情况不存在．……………………………………………12分
综上所述，符合条件的直线共有三条．
（注：若直接按与两边相交的情况分类，也相应给分）

2、（2012山东省德州三模）提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（，且），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．
背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角 形的“等分积周线”．
尝试解决：
A

B C
A

B C
图 1 图 2

（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．

（2） 小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．
（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB＝BC＝5 cm，AC＝6 cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．
答案：解：(1) 作线段AC的中垂线BD即可.………………………………………………2分
(2) 小华不会成功．
若直线CD平分△ABC的面积
那么
∴

∴ …………………………………………………………………4分
∵
∴
∴ 小华不会成功．………………………………………………………………5分
（3）① 若直线经过顶点，则AC边上的中垂线即为所求线段．……………………6分
② 若直线不过顶点，可分以下三种情况：
（a）直线与BC、AC分别交于E、F，如图所示
过点E作EH⊥AC于点H，过点B作BG⊥AC于点G
易求，BG=4，AG=CG=3
设CF=x，则CE=8-x
由△CEH∽△CBG，可得EH=
根据面积相等，可得……………………………7分
∴ （舍去，即为①）或
∴ CF=5，CE=3，直线EF即为所求直线．……………………………8分
（b）直线与AB、AC分别交于M、N, 如图所示
由 (a)可得，AM=3，AN=5，直线MN即为所求直线．
（仿照上面给分）
(c) 直线与AB、BC分别交于P、Q，如图所示
过点A作AY⊥BC于点Y，过点P作PX⊥BC于点X
由面积法可得， AY=
设BP=x，则BQ=8-x
由相似，可得PX=
根据面积相等，可得………………………………………11分
∴ （舍去）或
而当BP时，BQ=，舍去．
∴ 此种情况不存在．……………………………………………12分
综上所述，符合条件的直线共有三条．
（注：若直接按与两边相交的情况分类，也相应给分）

4、(2012温州市泰顺九校模拟)(本题l2分) 为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造，根据预算，共需资金1575万元，改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元.
（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？
（2）我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担。若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元。请你通过计算求出有几种改造方案？

（1）解：设改造一所A类和一所B类学校所需资金分别为x万元和y万元
由题意得…………………………4分
解得……………………………………………2分
答：改造一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为60万元和85万元。

（2）设今年改造A类学校x所，则改造B类学校（6-x）所，
由题意得：…………………………4分
解得
∵x取整数
∴ x=1,2,3,4.
即共有四种方案……………………………………………2分

5．（2012年江苏沭阳银河学校质检题）如图，在直径为AB的一块半圆形土地上，画出一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆上，其它两边长分别为6cm和8cm，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中DE在AB上，如图所示的设计方案是使AC=8cm，BC=6cm。
（1）求△ABC中AB边上的高h；
（2）设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？
第1题图
（3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85m处有一棵大树，则这棵大树是否位于最大矩形的边上？如果在，为了保护大树，请你设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中建最大矩形水池能避开大树。
答案：（1）h=
（2）当x=时，水池DEFN的面积最大为12
（3）设计方案改为AC=6cm，BC=8cm
6. （2012年宿迁模拟）某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1500元．
(1)求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元；
(2)据市场调研，1株甲种花木的售价为760元，1株乙种花木的售价为540元，该花农决定在成本不超过30000元的前提下培育甲乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株，那么要使总利润不少于21600元，花农有哪几种具体的培育方案？
答案：400,300 三种方案 .
8、(2012温州市泰顺九校模拟)为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造，根据预算，共需资金1575万元，改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元.
（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？
（2）我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担。若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元。请你通过计算求出有几种改造方案？
答案：（1）解：设改造一所A类和一所B类学校所需资金分别为x万元和y万元
由题意得…………………………4分
解得……………………………………………2分
答：改造一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为60万元和85万元。

（2）设今年改造A类学校x所，则改造B类学校（6-x）所，
由题意得：…………………………4分
解得
∵x取整数
∴ x=1,2,3,4.
即共有四种方案……………………………………………2分

9（2012年4月韶山市初三质量检测）某电脑经销商计划同时购进一批电脑音箱和液晶显示器，若购进电脑音箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑音箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4120元．
(1)每台电脑音箱、液晶显示器的进价各是多少元?
(2)该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金
不超过 22240元．根据市场行情，销售电脑音箱、液晶显示器一台分别可获利10元
和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于 4100元．试问：该经销
商有哪几种进货方案? 哪种方案获利最大? 最大利润是多少?
【答案】(1)设每台电脑音箱的进价是x元，液晶显示器的进价是y元，得
，解得
答：每台电脑音箱的进价是60元，液晶显示器的进价是800元
(2)设购进电脑音箱x台，得
，解得24≤x≤26
因x是整数，所以x=24,25,26
利润10x+160(50-x)=8000-150x，可见x越小利润就越大，故x=24时利润最大为4400元
答：该经销商有3种进货方案：①进24台电脑音箱，26台液晶显示器；②进25台电脑音箱，25台液晶显示器；③进26台电脑音箱，24台液晶显示器。第①种方案利润最大为4400元。

10（2012年中考数学新编及改编题试卷）某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程。若甲、乙两个工程队合作8天,则其余的工作乙要10天才能完成,这样共需装修费用为41200元；若甲先做10天.，然后乙做15天才能完成这工程，这样共需装修费用为41000元。
(1) 只要求在规定的时间内完成工程，若只请一个工程队，请问可以请哪个工程队？
(2) 在规定的时间内完成工程，按 方案 A：单独请一个工程队单独完成此项工程；方案B、：请甲、乙两个工程队合作完成此项工程。 试问哪一种方案花钱少？
答案：（1）设甲工程队单独做需天完成，乙工程队单独做需天完成，
由题可得
解的
∵
∴ 甲乙两个工程队都可以请
（2）设甲工程队每天的装修费用为元，乙工程队每天的装修费用为 元，
由题可得
解的
单独请甲工程队需 20×2000=40000元
单独请乙工程队需30×1400=42000元
甲乙合作需元
∵40000＜40800＜42000
∴单独请甲工程队完成所需的费用最少
11、 （2012年浙江省杭州市一模）（本题满分12分） 小王家是新农村建设中涌现出的 “养殖专业户”．他准备购置80只相同规格的网箱，养殖A、B两种淡水鱼（两种鱼不能混养）．计划用于养鱼的总投资不少于7万元，但不超过7.2万元，其中购置网箱等基础建设需要1.2万元．设他用x只网箱养殖A种淡水鱼，目前平均每只网箱养殖A、B两种淡水鱼所需投入及产业情况如下表：

项目类别
鱼苗投资
（百元）
饲料支出
（百元）
收获成品鱼（千克）
成品鱼价格
（百元/千克）
A种鱼
2.3
3
100
0.1
B种鱼
4
5.5
55
0.4
（1）小王有哪几种养殖方式？
（2）哪种养殖方案获得的利润最大？
（3）根据市场调查分析，当他的鱼上市时，两种鱼的价格会有所变化，A种鱼价格上涨a%（0＜a＜50），B种鱼价格下降20%，考虑市场变化，哪种方案获得的利润最大？（利润=收入-支出．收入指成品鱼收益，支出包括基础建设投入、鱼苗投资及饲料支出）
解：（1）设他用x只网箱养殖A种淡水鱼．
由题意，得(2.3+3)x+(4+5.5)(80-x)+120≥700，且(2.3+3)x+(4+5.5)(80-x)+120≤720，
∴39≤x≤42．
又∵x为整数，
∴x=39，40，41，42． （3分）
所以他有以下4种养殖方式：①养殖A种淡水鱼39只，养殖B种淡水鱼41只；②养殖A种淡水鱼40只，养殖B种淡水鱼40只；③养殖A种淡水鱼41只，养殖B种淡水鱼39只；④养殖A种淡水鱼42只，养殖B种淡水鱼38只． （4分）

（2）A种鱼的利润=100×0.1-（2.3+3）=4.7（百元），B种鱼的利润=55×0.4-（4+5.5）=12.5（百元）．
四种养殖方式所获得的利润：①4.7×39+12.5×41-120=575.8（百元）；
②4.7×40+12.5×40-120=568（百元）；
③4.7×41+12.5×39-120=560.2（百元）；
④4.7×42+12.5×38-120=552.4（百元）．
所以，A种鱼39箱、B种鱼41箱利润最大．（4分）
方法二：设所获的利润为y百元，则y=4.7x+12.5(80-x)-120=-7.8x+880
∴当x=39时，y有最大值为575.8.
所以，A种鱼39箱、B种鱼41箱利润最大．（4分）
（3）价格变动后，A种鱼的利润=100×0.1×（1+a%）-（2.3+3）（百元），
B种鱼的利润=55×0.4×（1-20%）-（4+5.5）=8.1（百元）．
设A、B两种鱼上市时价格利润相等，则有100×0.1×（1+a%）-（2.3+3）=8.1，
解得a=34． （2分）
由此可见，当a=34时，利润相等；当a＞34时第④种方式利润最大；当a＜34时，第①种方式利润最大． （ 4分）
12、(2012年福州模拟卷) (满分12分)某文化用品商店计划同时购进一批A、B两种型号的计算器，若购进A型计算器10只和B型计算器8只，共需要资金880元；若购进A型计算器2只和B型计算器5只，共需要资金380元．
(1) 求A、B两种型号的计算器每只进价各是多少元？
(2) 该经销商计划购进这两种型号的计算器共50只，而可用于购买这两种型号的计算器的资金不超过2520元．根据市场行情，销售一只A型计算器可获利10元，销售一只B型计算器可获利15元．该经销商希望销售完这两种型号的计算器，所获利润不少于620元．则该经销商有哪几种进货方案？
解：(1) 设A型计算器进价是x元，B型计算器进价是y元， 1分
得：， 3分
解得：． 5分
答：每只A型计算器进价是40元，每只B型计算器进价是60元． 6分
(2) 设购进A型计算器为z只，则购进B型计算器为(50－z)只，
得：， 9分
解得：24≤z≤26，
因为z是正整数，所以z＝24，25，26． 11分
答：该经销商有3种进货方案：① 进24只A型计算器，26只B型计算器；② 进25只A型计算器，25只B型计算器；③ 进26只A型计算器，24只B型计算器． 12分