第1章-有理数知识点小结.doc

第一章有理数知识点小结
一、正数和负数
(1)正数：大于0的数叫做正数。负数：小于0的数叫做负数。0既不是正数，也不是负数。
(2)写法区别：正数前的‘+’可写可不写，但通常不写；负数前的‘—’必须写。
(3)表示意义：在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。
例如：气温零上与零下，海拔以上与海拔一下，收入与支出，向北与向南……
二、有理数及其分类
(1)有理数定义：整数和分数统称为有理数。
注意：1、关于分数：包括真分数、假分数、带分数、百分数、有限小数、无限循环小数。切记无限不循环小数（目前只知道∏）不属于分数，所以∏也不属于有理数。
注意：2、小学学过的零表示没有，而引入负数后，就不能把“零”完全当作没有了，如0℃就是一个特定的温度；现在我们学过的数，除和与有关的数外，其他的数都是有理数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大到整数。
(2)有理数分类：两种分类方法

正整数 正整数
整数 零 正有理数
a、 有理数 负整数 b、有理数 正分数
（按定义分类） （按符号分类）零
正分数 负整数
分数 负有理数
负分数 负分数

有理数最终可分为5类：正整数、正分数、零、负整数、负分数。
(3)其他常见分类方法：例如：非正数、非负整数、非负有理数……
非正数：（不是正数）=>负数和零
非负整数：（不是负的整数）=>正整数和零
非负有理数：（不是负的有理数）=>正有理数和零
三、数轴
(1)数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的的直线叫数轴，原点、正方向、单位长度为数轴的三要素，缺一不可。
(2)数轴画法：a、画一条直线，在直线上任取一点表示0，作为原点。
b、规定正方向（通常向右）。
c、任取适当的长度为单位长度，注意数轴上每一个表示的长度必须一致。
(3)数轴上的点与有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但是数轴上的点所表示的数并不是有理数。
(4)数轴上两点间的距离：较大的数减去较小的数即是两点间的距离。例如5与-3之间的距离为5-（-3）=8
四、相反数
(1)相反数的代数定义：只有符号不相同的两个数叫做互为相反数例如a与-a，其中一个叫做另一个的相反数。
(2)相反数的几何定义：在数轴上位于原点两旁，且到原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数。
(3)互为相反数的两个数的和为零。a与b互为相反数，则a+b=0。
※(4)互为相反数的两个数常见表示方法：a与-a互为相反数；a+b=0，a与b互为相反数；a=-b，a与b互为相反数。
※※五、绝对值（嗷嗷重要）
(1) 绝对值定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a |。
| 7 |：数轴上表示7的点到原点的距离，值为7。
(2) 绝对值的非负性：由绝对值的定义知，绝对值用来表示一段距离，因此对于任何一个数a都有| a |≥0；并且互为相反数的两个数的绝对值相等。
(3) 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。即（翻译成数学符号语言）
a ，a>0
| a |= 0 ，a=0
-a，a<0
绝对值的求法：先判断绝对值里边的代数式是正数、负数、还是零，再根据正数和0直接去掉绝对值，负数和0去掉绝对值后再在代数式前加上一个’-’。
六、非负数
若数a≧0，则称a为非负数。
非负数的性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。

七、倒数
乘积为1的两个有理数互为倒数。
倒数的求法：求一个数的倒数，直接可写成这个数分之一；求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒即可；求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数，再将分子、分母颠倒；求一个小数的倒数，应先将小数化成分数，然后再求倒数。
只有零没有倒数，其他任何有理数都有倒数。正数的倒数为正数，负数的倒数为负数。
八、有理数大小的比较：
1.利用数轴比较大小：数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。于是：正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数。
2任意有理数大小的比较法则：正数都大于零，负数都小于零，正数大于 一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。比较两个负数大小的步骤是：首先分别求出两个负数的绝对值；再比较两个绝对值的大小；最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确判断。
九、基本运算
1、有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把其绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得零；一个数与零相加，仍得这个数。
注意：运算时应先判断正负，再考虑绝对值的加减问题。
2、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
3、有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把其绝对值相乘；任何数与零相乘，都得零；几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正。
注意：有理数乘法运算时，应先判断结果符号，再计算结果。
4、有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把其绝对值相除；零除以任何一个不为零的数，都得零；除以一个数等于乘以这个数的倒数（零不能作除数）。
十、乘方
乘方的定义：求几个相同因数积的运算。乘方的结果叫做幂。在an中a叫做底数，n叫做指数。读作a的n次方，看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。
有理数乘方法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0（0的0次幂不存在）。
注意：有理数乘方运算时，先判断幂的符号，再计算幂的绝对值。
十一、有理数运算律
①加法的交换律 a+b=b+a；
　　②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；
　　③存在数0，使 0+a=a+0=a；
　　④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；
　　⑤乘法的交换律 ab=ba；
　　⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；
　　⑦分配律 a(b+c)=ab+ac；
　　⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a；
　　⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。
⑩0a＝0 文字解释：一个数乘0还于0。

十二、有理数的运算顺序
先乘方、开方，后乘除，最后加减；有括号时，先算括号里面的；同级运算按从左至右的顺序进行，同时注意运算律的灵活应用。
说明：加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方、开方是三级运算。

十三、近似数、有效数字与科学计数法
近似数：一个与实际数比较接近的数，称为近似数。
有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字开始，到最末一个数字止，都是这个近似数的有效数字。
科学计数法：把一个数记作a×10n形式（其中1≤ a ≤10，n为整数。）