热力学大题.doc

1-2 假设定压膨胀系数和等温膨胀系数分别为（a） ； （b）;其中a,b,c均为常数,是证明两种情况下的物态方程是,（a） ； （b）这里C和B为两个积分常数,不必确定它们.证明：若将体积V考虑成温度T和压强P的函数,则 （a）将此情况下的和表示式代入上式,有 对两边进行不定积分,故得（b）将此情况下的和表示式代入上式,有 得 对两边进行不定积分,故得 得 14、某气体和k分别为 其中，n,R，都是常量。求此气体的物态方程。解：首先写出V(T,p)的微分式： 再根据已知条件以及和k的定义代换上式中的偏导，我们有 左右移项，整理后pdV+Vdp=nRdT-apdp左右两边均为全微分式，则可写成 进行不定积分： 其中，C为任意常数，利用p0时，非理想气体应该趋于满足理想气体的物态方程，即Pv=vRT，由此可知C=0,于是结果为： 1-7.已知某系统的内能及物态方程分别为 U = b , pV = 其中，b为常量。试求熵的表达式，设T = 0 K时，熵为零。解：首先，写出热力学第一定律： TdS = dU + pdV题中告诉了物态方程和内能，则有 P =b , dU = bdV + 4 bVdT把以上两式带入第一定律微分式中，有 dS = bdV + 4bVdT = bdV + b = d两边积分，得到 S - = bV 其中为积分出来的熵常数，根据已知条件，当T = 0 时，S = 0 。因此 = 0 。于是，熵的表达式为： S = bV18、 某热力学系统，其热容为温度的函数：若取T=0K时，熵=0，试证明温度为T时，。证明;首先，根据熵的定义 把已知条件代入，两边积分，就得到 因为T=0K时，熵=0，所以=0，故 22、证明以下各式： a) b) c) d) e) f) g) (a)、根据热力学第一定律及将看成和的函数,有 把的微分式代入其中，得到因此，当不变即时，有 再利用麦氏关系就得到要求证结果 （b）、在上一题的微分式中，当时，有利用麦氏关系得到（c）、根据热力学第一定律，把写成关于的全微分式： 当不变即时，我们得到 再利用麦氏关系就获得所要求证的结果： （d）、先把欲证明之式中的偏导写出：再利用自由能与熵之间满足的关系式：-S=，有进而两边乘以（-T），故（e）、 于是，以上两式相等就得到 （f）、根据，可以得到 使用三变量偏导循环关系得到最后利用麦氏关系，就可以得到要证明的等式：（e） 于是，以上两式相等就得到24、求证 证明：根据定容热容量的定义: 有等式右边的量表示成这里用到了麦氏关系，现交换求导顺序，有两式比较，故原等式得证。28、证明理想气体在节流前后证明：根据焦- 汤系数：再把理想气体物态方程：代入，就得到212、计算热辐射在等温过程中，体积从变到时所吸收的热量.解：根据热辐射系统的第一定律微分方程：对于等温过程，上式中.因此有则该过程中的吸热等于3-2、在p-V图上将范氏气体等温线上的极大点与极小点连成一条曲线ABC.证明这条曲线的方程为并说明这条曲线分割的区域、的意义.证明：由范氏气体物态方程：曲线ABC表示：.于是有再把物态方程代入，就得到即其中，区域表示过热液体，区域表示不存在的态，区域表示过冷气体.38、求单元一级相变在相平衡时的解：根据克拉珀隆方程：再把理想气体物态方程代入就得经分离变量并积分，可得其中为积分常数。再对上式求二阶导数 例题：（a）证明蒸汽的两相平衡膨胀系数为 其中L为汽化热； (b)当温度较低时，说明其意义。解：（a）两相平衡时，有p=p(T)，那么蒸气的体积v可看作v=vT，p(T)，所以 （3.20）由pv=RT及克拉珀龙方程，有 ，代入方程（3.20），得 (b)若T较低，LRT，则，这表明蒸汽的摩尔体积随温度的增加而减少。因为(饱和蒸汽压），所以T增加导致P上升，p对v的影响超过了T对v的影响。故尽管T增加，但v仍变小。例4.3一维线性谐振子的哈密顿量H=，求能量为E的等能线所包围的相体积。解：将等能线H=E写成标准椭圆方程的形式： 则相体积就是椭圆的面积 能量在EE+E之间的相体积精确等于 则态密度为一与能量无关的常量，即 D(E)=4-8. 计算经典转子能量曲面所包围的相体积.解：一个经典转子的能量为 体积等于 = = =4-9当粒子的能量与动量之间的关系取以下形式时，计算其态密度： 答案：相体积为积分出空间部分，即,在对动量的积分利用极坐标，有在考虑代入相体积表达式，有而后直接对相体积求导，并除以相格的体积，给出态密度的表达式，4-10 (a) 一个粒子处于一个体积的箱子内,试列表求出最低的12能级的量子数的值;(b) 每个能级的简并度为多少?(c) 以 为单位,求出每个能级的能量;(d) 能级之间的间隔是多少?解:(a)三个量子数的平方和等于 我们列表求出前几个能级的简并度: (b)每个能级的能量 （c）能级之间的间隔是 例5.2 理想气体由可看成质点的N个单原子分子组成，体积为V，分子能量为，计算系统的U、C、F、S和p。解：单元子分子可以处理为质点，有3个平动自由度（r=3），6维相空间广义坐标为x，y，z；p，p，p，相体积元是,则单元子分子的配分函数为 系统的内能、定容热容、自由能、熵和压强分别是5-1 一维谐振子的能谱为若系统的温度足够低，（a）求振子处于第一激发态与基态的概率之比：（b）如果振子仅可能占据基态和第一激发态，计算平均能量。解：（a）,所以，系统第一激发态（n=1）与基态的概率之比是（b）平均能量为5-2 服从玻尔兹曼分布的某种理想气体粒子的能量和动量关系为，其中c为光速。若单位体积中包含N个粒子，计算此气体的定容热容。 解：此题应该、将笛卡尔坐标换成球坐标来解。内能和定容热容量分别是5-7. 经典转子的能量为 =+，计算相体积、配分函数和定容热容。解：转子的哈密顿量为H=+，等能面为一椭圆方程：/(2)+/(2I)=1，相体积等于= = 粒子的配分函数： 内能和定容热量分别为,6-1 在体积V中有N个可区分的粒子，系统的能量为，其中c为光速，为第i粒子的动量，若气体的温度为T，试求：（a）物态方程；（b）内能。解：系统的配分函数： 内能、熵、压强和化学势分别为： 6-3 求证 证明：正则系统处于能量间隔的概率为 ， 等式两边消去，取对数有对能量求导 对上式两边取平均，所以 分布密度函数正比于态密度和能量指数衰减因子的乘积，前者使，后者保证系统的能量去无穷的概率为零.6-5 （a）求证巨正则系统的粒子束的方均涨落为证明：巨配函数为 平均粒子数 那么即 7-2假设极端相对论性电子的能量与动量p之间有如下的关系=cp其中c是光速.计算T=0K时，该理想电子气体的费米能级和内能.解：（a）T=0K极限情况下，费米分布写作 只考虑电子的平动， 利用系统具有N个这样的电子的条件，有 所以，费米能是 内能 7-3 有N个费米子，在面积为A的二维空间中自由运动。若能谱为，自旋可以取向上和向下两种方向。计算（a） 态密度D（）；（b） T=0 K时的化学势；（c） 单粒子的平均能量。解：（a）对于二维运动的自旋简并度为2的费米子，仅考虑平动，所以态密度为（b）时，有（c）单粒子的平均能量为7-5 有一相对论完全退化的电子气体, 其能量-动量关系为 ,式中 为光速, 为电子的静止质量, 试用费米能级将数密度表示出来.解: 在T = 0 K时,平均每单粒子态占据的粒子数是动量在pp + dp之间的电子态密度是则费米动量以下的粒子数为又因为, 所以.7-7 对于光子气体，试证明存在下列关系式： 式中p为压强，V为体积，U为内能。并分析与非相对论结果不同的原因。解：已知光子的能量 ，由此可得 之间的态函数为 （1）那么，光子气体的内能为对于光子气，其热力学势为 （2） 对（2）式进行分部积分，有 （3）又因为,比较（1）式与（3）式，可以看成如下等式成立