“揭开神秘的面纱,圆来是熟悉的它”——道填空压轴题的前世今生.pdf

圆作为平面几何的基本图形之一，是中小学学习的重要几何模型，因其几何性质较多，容易与代数知识结合形成综合题，但在历年来的综合题中，它并不总是直白地出现在几何题目中，反而经常隐含在题目里，发现隐圆，并加以应用，可以起到事半功倍的作用.一、试题呈现如图1,线段AB的长为2,C为AB上一个动点，分别以AC、BC 为斜边在AB的同侧作两个等边三角形A C D 和BCE,连接AE、BD 交于点P，则APB周长的最大值是DAC图1二、试题分析从图形的基本特征来看，图中只有线段、等边三角形这两种基本的几何图形，图形结构简洁，构思新颖，但关系复杂，思路难寻.有的学生做完这道题说自已犹豫不决，无从下手，其实就是对基本知识运用不合理，对基本模型掌握不够彻底.首先明确目的,要求APB周长的最大值，因为线段AB的长为定值，就是要求线段PA、线段PB和的最大值.题目条件可知ACD和BCE是两个等边三角形，图形直观看出两个等边三角形共顶点C，所以不难发现“手拉手”模型，可得ACED CB，由全等三角形的性质可得EPB=60做到这里不少同学停滞不前，究其原因是不能合理分析并且将知识网络化，可以有以下思路：遇到6 0 不难联想到等边三角形，因此10可以延长PE至点Q构造等边三角形，根据等边三角形的性质，不仅将PB这条线段进行转移，而且明确ZPQB=60化繁为简将两条线段之和的最大值转化到求一条线段AQ的最大值，发现Q的运动轨迹是如图2 所示的AQB，最值也就迎刃而解.从考查知识方面来看，本题以等边三角形为基本图形，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外接圆与外心.这些知识点都是数学课程标准规定的基础且核心的内容,因此本题注重对基础知识的考查，从数学思想和基本方法来看，本题着重将复杂问题剖析成一个个简单的基础知识，化繁为简；如何合理转化ZPQB=60也是本题的重点；隐圆的使用帮助同学们从直观角度找到思路，真正发挥了几何直观的作用；结合形与数最终计算出正确答案.因此,本题将CBB图2基础知识、基本方法、基本技能和数学核心素养融合，具有很强的综合性，对培养学生的逻辑推理能力具有一定的价值，三、解法探究根据上面的分析，我们有解法1：延长PE至Q,使得PQ=PB,连接BQ.由ACD和BCE是两个等边三角形，可得AC=DC,BC=EC,ZACD=BCE=60，进而得ZACE=Z DCB.在ACE 和DCB 中,AC=DC,ZACE=ZDCB,CE=CB,可得ACED C B.由全等得ZAEC=ZDBC,因而ZEPB=ZPAB+ZPBA=ZPAB+ZPEC=ZECB=60所以BPQ是等边三角形，得/PQB=60作AQB的外接圆，作直径AR，连接BR，得科学中考技法点拨ZARB=ZPQB=60ZABR=90.在 RtARB 中,AB=2,可得 AR=AGsin60CAAPB的最大值为：AP+PB十AB=AR+AB=2+4V33.在做这个题目是时候，笔者发现这个题目是有“前世”的，这道压轴题是在译林出版社出版的苏科版九年级上册课课练第50 页11题的基础上进行改编，原题如下：如图3，OO是ABC的外接圆,D是ACB的中点,DE/BC交AC的延长线于点E,AE=10,ZACB=60,求BC的长,此题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质.由D是ACB的中点,DE/BC，ZA C B=6 0 可得ADB和ECD是等边三角形，继而得证EADCBD，即可证得结论.学生在做这道题时正确率较高.题目做对不是终点，对于这类可塑性较强的几何题，我是否可以多加引导，可以让学生有更多的发现，如AC、CD、BC这三条线段的关系？我是否可以重视学生的逆向思维，从结论人手，探究证明方法？我是否可以组织小组讨论，让学生总结这个题目中的基本知识和技能以及如何去解决这一类题？在这个图的基础上，完全可以作适当拓展，乙ACB=ZBCD=60利用解法1中6 0 度的解题思路我们可以得到AC+CD=BC这个结论.所以对于这道填空压轴题，若将乙EPB=60进而得到其补角/APB=120，可得到点P的运动轨迹是如图4所示的AB,对于填空题可以直接利用结论PA十PB=PF,也可得PAB周长的最大值为：PA十PB+AB=PK+AB=2+1E3ED0A图3我们通过剖析条件，找出几何图形中的隐圆来解决4/3综合问题，往往方法巧妙，事半功倍，当然此类题也可以3.有其他方法，但不太容易找到思路且运算量较大，对于一道填空题来说，未免耽误时间.将对几何学习的静态研究发展到动态几何问题，以几何知识和图形为背景，渗透运动变化观点也是学生认识的一大飞跃，四、问题反思这道题学生得分率不高，我有几点思考：1作为一名青年教师，我们对综合题的讲解也仅限于就题讲题，在课堂上，往往讲完一道题学生都感觉豁然开朗，觉得自己掌握了答题技巧，但是做到下一道题又会重复上演无从下手、犹豫不决，所以这种教学对大部分学生并没有实际性的帮助.为了胜任数学教学工作，教师必须在基本功上狠下功夫，特别是作为毕业班的老师，首先要让自已成为解题高手，多做题是提升数学教师专业素养的有效途径之一。2.在课堂教学中注意引导学生学会思考、学会钻研、学会自主.引导学生去了解综合题的“前世今生”，明白这道题“从哪儿来”“将去往何处”才能帮助他们形成知识网络，游刃有余地解决综合题.教师在讲解综合题时，可以带领学生以图形为依托，进行再创造；可以重视学生逆向思维的训练，多角度发现并解决问题；多组织小组合作，激发学生的主动性和合作意识.3数学是一门化繁为简的学科,压轴题的共性要分析透彻,从复杂的问题中剖析出简单的“基本模型”,发现它缺失或者变形的部分，合理构造辅助线，形成“基本模型”，从而找出解题思路.新课标指出要引导学生关注知识的发生发展过程,这种由师生一起发现并分析的“数学模型”，让学生在解题中感受“数学建模”，会产生事半功倍的效果.E总而言之,压轴题的讲解须以基础知识和基本技能为根基，着重策略与方法的渗透，重视学生数学修养的提120BCBFK图4升，切实提高做题效率。2023711