高中数学概念教学常见问题的分析.pdf

投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 7 月（下旬）问题探索59投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 7 月（下旬）什么直线斜率代表的是倾斜角的正切值袁而非正弦值或余弦值呢钥 随着几个知识点的类比分析以及思考袁学生会逐渐认识斜率概念的来龙去脉.通过此例不难看出袁教师对概念的认识和重视程度决定着学生对概念的掌握和理解程度.概念应用不灵活概念是解题的基础袁如果学生没有完全理解概念的本质袁那么在应用过程中难免会出现各种问题.例如学生对概念的理解不透彻袁常常出现野小题大做冶的现象袁甚至有些教师设计问题时袁也存在这种现象.案例2 野向量冶的教学.一次偶然的机会袁笔者在叶数学通报曳中看到了一篇文章叶满足xOA+yOB+zOC=0的点在何处曳咱1暂.笔者仔细拜读后袁认为这篇文章中的命题3可以作为野向量冶的概念教学的典型案例使用.例1渊文咱1暂中的命题3冤 设O是吟ABC内的一点袁且xOA+yOB+zOC=0袁那么S吟BOC颐S吟COA颐S吟AOB=x颐y颐z.在得到该命题之前袁文咱1暂先证明了前面两个命题渊文咱1暂中的命题1和命题2冤.从证明的过程来看渊参考文咱1暂冤袁得到该命题确实花费了不少精力.若换一个角度来思考袁如直接用 野向量加法的平行四边形法则冶很容易就能得到该命题.如图1所示袁根据xOA+yOB+zOC=0与OA+姿OB+滋OC=0等价袁姿=yx袁滋=zx袁延长AO到E点使AO=OE袁再作平行四边形DEFO袁并分别连接EB袁EC.ABCDEFO图1假设S吟COB=S1袁S吟AOC=S2袁S吟BOA=S3袁则S吟AOC=S吟EOC=S2袁S吟BOA=S吟BOE=S3.根据OD=姿OB袁 可得S吟DOE=姿S吟BOE=姿S3袁同理可得S吟FOE=滋S吟COE=滋S2.因为S吟DOE=S吟FOE袁所以姿S3=滋S2袁也就是S2颐S3=姿颐滋.在平行四边形DEFO中袁S1=S吟COB=12OBOCsin蚁COB=12窑OD姿窑OF滋sin蚁COB=2滋S22姿滋=S2姿袁所以S1颐S2=1颐姿袁所以S1颐S2颐S3=1颐姿颐滋袁即S吟COB颐S吟AOC颐S吟BOA=x颐y颐z.若从野建立直角坐标系冶的角度来推导该命题袁则过程更简单袁具体方法为院以O为原点袁OC为x轴建立直角坐标系袁假设点A渊a1袁a2冤袁B渊b1袁b2冤袁C渊c袁0冤.因为xOA+yOB+zOC=0袁所以x渊a1袁a2冤+y渊b1袁b2冤+z渊c袁0冤=渊0袁0冤袁所以xa2+yb2=0袁b2颐a2=x颐y袁所以S吟COB颐S吟AOC=12OC窑b2颐12OC窑a2=b2颐a2=x颐y.同理有S吟COB颐S吟AOB=x颐z.综上所述袁S吟COB颐S吟AOC颐S吟BOA=x颐y颐z.通过上述分析不难看出袁从野向量加法的平行四边形法则冶与野建立直角坐标系冶的角度来证明例1是一件非常简洁明了的事情袁但为什么文咱1暂会提出野命题1寅命题2寅命题3冶的情况呢钥 笔者认为袁主要原因就在于文咱1暂针对的是没有完整掌握野向量冶概念尧性质与法则的学生袁当他们遇到实际应用时袁便会出现思考复杂的现象.这个例子并非个案袁无独有偶袁近期教学中笔者就遇到了一个与野向量冶概念相关的问题.例2 如图2所示袁已知吟ABC为圆O的内接三角形袁点M为BC边的中点袁设AC=3袁AO窑AM=4袁那么AB=_.生1院延长AO袁并与圆O相交于点D袁分别连接BD与CD.因为AO窑AM=12AD窑12渊AB+AC冤=14渊AB+BD冤窑渊AB+AC冤=14咱AB2+AC窑 渊AB+BD冤暂=14渊AB2+AC窑AD冤=14咱AB2+AC窑 渊AC+CD冤暂=14渊AB2+AC2冤=4袁所以AB=7 姨.师院有没有更简单的解题方法钥渊学生沉默冤师院若从向量的数量积的角度来思考呢钥生2院因为AO窑AM=12AD窑12窑渊AB+AC冤=14渊ADABcos蚁BAD+ADACcos蚁CAD冤=14渊AB2+AC2冤=4袁所以AB=7 姨.由上述两道例题可以看出袁之所以会出现耗时费力的解答过程袁是因为部分学生对概念的直接应用意识不强袁缺乏野直接应用概念冶的习惯.当他们遇到实际问题时袁常选择烦琐的方式解题袁这不仅耗时费力袁还容易出错.其实袁灵活应用概念袁不仅能将复杂的问题简单化袁还能从中探寻出一定的解题技巧袁简化解题过程袁实现高效解题.概念学习缺乏反思反思是促进思维发展的重要途径袁是学生对已经掌握的内容再次进行深思与反省的过程.高中数学概念逻辑性比较强袁抽象程度高袁学生在掌握与应用上确实容易出现各种问题袁而适时反思能有效避免这些问题的发生.遗憾的是袁 教学中真正能及时反思的师生并不多.ABCDMO图2问题探索60投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 7 月（下旬）问题探索案例3 野数列冶的教学.数列是高中阶段的一个重要知识点袁于学生而言难度确实不小.纵观近些年的高考试题袁处处都有数列的身影袁尤其是综合性问题袁难度都比较大.这些综合性问题袁很大一部分考查学生的逆向思维袁显然大多数学生在这方面的能力明显不足袁导致失分较多.这与教师对概念反思教学的重视程度不够有一定的关系袁使学生也忽视了这一方面袁例如下面这道题.例3 如果部分正整数组成的集合为M袁a1=1为数列喳葬灶札的第一项袁且杂灶为数列喳葬灶札的前n项和.若对任意整数k沂M袁在nk时袁Sn+k+Sn原k=2渊Sk+Sn冤恒成立.问题院渊1冤假设M=喳1札袁a2=2袁则a5的值是多少钥渊2冤假设M=喳3袁4札袁则数列喳an札的通项公式是什么钥解析 渊1冤略.渊2冤当k=3袁n3时袁有Sn+3+Sn原3=2渊S3+Sn冤淤袁则Sn+4+Sn原2=2渊S3+Sn+1冤于袁由于-淤袁可得an+4+an原2=2an+1渊n3冤.由此可见袁当n逸4时袁an原2袁an+1袁an+4为一个等差数列袁也就是从数列喳葬灶札的第2项开始每隔三项的数组成的数列为等差数列.与上面步骤类似袁当k=4袁n4渊也就是n逸5冤时袁有Sn+4+Sn原4=2渊S4+Sn冤袁可得an+5+an原3=2an+1渊n4冤袁也就是从数列喳葬灶札的第2项开始每隔四项的数组成的数列为等差数列.不少学生对本题只能解答到这一步袁至于接下来该怎么做则手足无措.实际上袁不论是新知教学还是复习教学袁大多数教师都强调过院一个等差数列隔等项所取出的数袁排列在一起可以组成一个新的等差数列.因此袁大多数学生都理解院任何一个等差数列每隔三项或四项所取出的数袁排列在一起都可以组成等差数列.换个角度思考袁如果一个数列每隔三项或四项所取出的数袁排列在一起组成了等差数列袁那么原数列是否为等差数列呢钥 显然袁这是大家在解决本题前都忽略掉的问题.如果之前反思过这个问题袁那么学生解决本题就能得心应手.式淤移项后可得Sn+3原Sn=2S3+Sn原Sn原3袁即an+3+an+2+an+1=2S3+an+an原1+an原2袁也就是an+1原an=2S3+渊an原1原an+3冤+渊an原2原an+2冤.由于n逸5时袁野an原1与an+3冶野an原2与an+2冶均为四项相隔袁因此它们的差均为同一常数袁又2S3也为常数袁故an+1原an于n逸5时是常数袁所以数列喳葬灶札自第5项起为等差数列.剩下的求解过程就是验证a1到a5组成的数列也是等差数列.再例如下面这道题.例4 已知两个数列喳葬灶札袁喳遭灶札的各项都是正数袁且都满足an+1=an+bna2n+b2n姨袁n沂N*.问题院渊1冤假设bn+1=bnan+1袁n沂N*袁证明院数列bnan 2为一个等差数列曰渊2冤假设bn+1=2 姨窑bnan袁n沂N*袁同时喳葬灶札为一个等比数列袁则a1袁b1的值分别是多少钥解析 渊1冤略.渊2冤不少学生能从an+1=an+bna2n+b2n姨袁n沂N*这个条件袁联想到渊an+bn冤22臆a2n+b2n渊an+bn冤2这一步袁得到11时袁如果n寅+肄袁那么an寅+肄曰而当q1时袁如果n寅+肄袁那么an寅0.现对于坌n沂N*有1an+1臆2 姨袁学生难以将此与之前所接触过的两类情况联系起来袁更考虑不到以上两类情况不出现的情形.换个角度来看袁唯有q=1时袁此数列才是常数列.学生若能想到这一点袁本题就没有任何难度了.当然袁学生想不到这一点的根源在于教师日常对学生思维的训练没有到位袁学生没有及时反思概念的习惯.高中生具有较大的学习潜能袁在概念教学时袁教师不能将概念孤立起来袁而应带领学生在掌握概念的基础上进行思考尧应用与反思袁让学生在概念本质与原有认知结构中的概念之间建立合理的联系袁才能从真正意义上揭示概念本质.数列教学袁除了注重数列相关概念内涵与外延的研究袁还要注重数列与函数之间关系的分析袁在学生的认知结构中增加野定义域是正整数集N*或有限子集冶 的函数模型.在与函数相关联的背景下袁数列的图象尧表达形式尧单调性尧通项公式与有界性等特征就有了野本冶.事实证明袁注重教学中的反思袁是实现自我完善与发展的重要过程袁也是教师吐故纳新尧与时俱进的有效途径.学生一旦形成了良好的反思能力袁就能在解题时从不同维度进行思考分析袁从真正意义上发展融会贯通的能力.总之袁概念是数学学习的基础袁以上几个典型例题的解答失误都与学生概念掌握不牢固有关袁而且都离不开教师对概念的教学态度与教学方法的影响.作为核心素养背景下的高中数学教师袁应清醒地认识到深刻理解尧灵活应用与及时反思概念的重要性袁唯有如此才能从真正意义上帮助学生夯牢根基袁促进教学相长.参考文献院1孙大志.满足xOA+yOB+zOC=0的点在何处 J.数学通报，2012，51（08）：44-45+55.61